1、概率论与数理统计概率论与数理统计讲课系系统制作：河海大学理学院制作：河海大学理学院数学系列基础课程数学系列基础课程CAICAI课题组课题组二二000000年七月年七月南京南京1/161概率概率论与数理与数理统计 河海大学数学系列基础课程河海大学数学系列基础课程CAICAI2/161本课程与其它数学基础课关系本课程与其它数学基础课关系l微积分微积分 （高等数学）高等数学）l线性代数线性代数3/161一一.确定性数学确定性数学初等数学、高等数学初等数学、高等数学初等数学、高等数学初等数学、高等数学(微积分微积分微积分微积分)、线性代数等、线性代数等、线性代数等、线性代数等二二.随机数学随机数学-以
2、概率论为代表以概率论为代表 1.1.1.1.赌博赌博赌博赌博 人口统计人口统计人口统计人口统计 出生率出生率出生率出生率 性别等性别等性别等性别等 2.2.2.2.非确定性现象非确定性现象非确定性现象非确定性现象:抛硬币抛硬币抛硬币抛硬币 掷骰子掷骰子掷骰子掷骰子 发大水等发大水等发大水等发大水等 3.3.3.3.研究和揭示随机现象统计规律性科学研究和揭示随机现象统计规律性科学研究和揭示随机现象统计规律性科学研究和揭示随机现象统计规律性科学 -概率论概率论概率论概率论4/161三三.理论联络实际最活跃学科理论联络实际最活跃学科 1.1.应用性应用性:概率统计理论一直在广泛地应用于工农业、军事、
3、科技概率统计理论一直在广泛地应用于工农业、军事、科技等领域等领域 2.2.渗透性渗透性:与基础学科、工程学科结合可产生新学科和研究方向。与基础学科、工程学科结合可产生新学科和研究方向。比如：信息论、系统论、控制论、排队论、可靠性理论、可靠度分析、平差分析、统计物理、水文统计、数量经济等5/161四四.概率论内容组成概率论内容组成基础部分基础部分-概率论概率论:古典概率古典概率 随机变量及其分布随机变量及其分布 分布函数分布函数 数字特征等数字特征等应用部分应用部分-数理统计数理统计:统计量结构统计量结构 参数预计参数预计 假设检验假设检验 回归分析等回归分析等深入部分深入部分-随机过程随机过程
4、:马尔可夫过程马尔可夫过程 平稳过程平稳过程 随机分析等随机分析等 本课程内容在数学上属于概率论范围，它由以下三本课程内容在数学上属于概率论范围，它由以下三本课程内容在数学上属于概率论范围，它由以下三本课程内容在数学上属于概率论范围，它由以下三个部分所组成个部分所组成个部分所组成个部分所组成本课程只介绍基础部分和应用部分。本课程只介绍基础部分和应用部分。本课程只介绍基础部分和应用部分。本课程只介绍基础部分和应用部分。6/161概概 率率 论论l第一章 随机事件与概率l第二章 离散型随机变量及其分布l第三章 连续型随机变量及其分布l第四章 随机变量数字特征l第五章 大数定律和中心极限定理 7/1
5、61第一章 随机事件和概率l随机试验随机试验l样本空间、随机事件样本空间、随机事件l频率和概率频率和概率l古典概型古典概型l几何概型几何概型l概率公理化结构概率公理化结构l条件概率条件概率l事件独立性事件独立性l贝努里概型贝努里概型8/1611.1 随机试验随机试验一、随机试验一、随机试验(简称简称“试验试验”)例子例子 随机试验可表为随机试验可表为E E1:抛一枚硬币，分别用“H”和“T”表示出正面和反面;E2:抛两枚硬币，考虑可能出现结果；E3:掷一颗骰子，考虑可能出现点数i;E4:掷两颗骰子，考虑可能出现结果及点数之和；9/161二、随机试验特征二、随机试验特征E5:统计电话交换台一分钟
6、内接到呼叫次数；E6:对一目标进行射击，直到命中为止，考虑其结果;E7:在一批灯泡中任取一只，测其寿命。1.可在相同条件下重复进行;2.试验结果不止一个,但能确定全部可能结果;3.一次试验之前无法确定详细是哪种结果出现。10/1611.2 样本空间、随机事件样本空间、随机事件一、样本空间一、样本空间 1、样本空间：全部基本事件组成集合称为样本空间，记为=；2、样本点:样本空间元素称为样本点，样本点即基本事件，记为.比如比如 对应E1样本空间为=H，T；对应E2样本空间为 =(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)；对应E5样本空间为=0,1,2,；11/161二、随机事件二、随机事件 1
7、.定义定义 试验中可能出现或可能不出现事情叫“随机事件”,简称“事件”.2.基本事件基本事件:不可能再分解事件,即试验结果，常记为“”.3.两个特殊事件两个特殊事件:必定事件、不可能事件.任何事件均是一些样本点组成集合任何事件均是一些样本点组成集合.例例 对于试验E2与E5，以下A、B即为两个随机事件:A“最少出一个正面”(H,H),(H,T),(T,H)；B“最少m次少于n次”m,m+1,n1。12/161三、事件之间关系三、事件之间关系 1.包含关系包含关系:“A发生必造成发生必造成B发生发生”记为记为A B AB A B且且B A.2.和事件和事件:A B3.积事件积事件:A BAB4.
8、差事件、对立事件差事件、对立事件(余事件余事件)：AB称为称为A与与B差事件差事件 5.互不相容性：互不相容性：AB A、B互为互为对立事件对立事件 A B ,且且AB 13/161四、事件与集合对应关系类比四、事件与集合对应关系类比 概率论概率论 集合论集合论 样本空间样本空间 事件事件 子集子集 事件事件A A发生发生 A 事件事件A A不发生不发生 A 必定事件必定事件 不可能事件不可能事件 事件事件A A发生造成事件发生造成事件B B发生发生 A B14/161概率论概率论 集合论集合论事件A与B最少有一个发生 AB事件A与B同时发生 AB(或AB)事件A发生而B不发生 AB事件A与B
9、互不相容 AB15/161五、事件运算五、事件运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律、结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶、对偶(De Morgan)律律：16/1611.3 频率与概率频率与概率一、频率一、频率 1.定义定义 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现频率，记为fn(A).即 fn(A)nA/n.17/1612.频率性质频率性质(1)非负性：fn(A)0；(2)规范性：fn()1；(3)可加性：若AB ，则 fn(AB)fn(A)
10、fn(B).实践证实：当试验次数实践证实：当试验次数n增大时，增大时，fn(A)逐步逐步 趋向一个定值趋向一个定值。18/161二二.概率概率 历史上曾有些人做过试验,试图证实抛掷匀质硬币时，出现正反面机会均等。试验者试验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 1 6019 0.5016K.Pearson 24000 1 0.500519/1611.定义定义 若对随机试验E所对应样本空间中每一事件 A，均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件：(1)非负性非负性：对任一事件A，有P(A
11、)0；(2)规范性规范性：P()1；(3)可列可加性可列可加性：设A1，A2,是一列两两互不相容事件，即AiAj，(ij),i,j1,2,有 P(A1 A2 )P(A1)P(A2)+.(1.1)则称P(A)为事件A概率概率。20/161 2.概率性质概率性质(1)不可能事件概率零不可能事件概率零：P()0；(1.2)(2)有限有限可加性可加性：设A1，A2,An,是n个两两互不相容事件，即AiAj ，(ij),i,j1,2,n,则有 P(A1 A2 An)P(A1)P(A2)+P(An);(1.3)(3)单调不减性单调不减性：若事件BA，则P(B)P(A),且 P(BA)P(B)P(A)；(1
12、.4)21/161(4)互补性互补性：P(A)1 P(A)，且P(A)1;(1.5)(5)加法公式加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)P(A)P(B)P(AB)(1.6)公式(1.6)可推广到任意n个事件A1，A2，An情形；(6)可分性可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)P(AB)P(AB).(1.7)22/161普通，有以下定义定义定义 事件组A1，A2，An(n可为)，称为样本空间一个划分(或完备事件组)，若满足：23/1611.4 古典概型古典概型一、古典概型特征一、古典概型特征1.有限性：样本空间1,2 ,n;2.等可能性：P(i)1/n,(i1,2,n).古典概型也称为
13、古典概型也称为等可能概型。等可能概型。24/161二、古典概型计算公式二、古典概型计算公式 P(A)设事件设事件A中包含中包含k个样本点个样本点(基本事件基本事件)25/161例例1、掷一颗骰子，求出6点概率。例例2、做试验E：“将一枚硬币连抛2次”,观察出正、反面情形。(1)写出E样本样本空间；(2)设A1“恰有一次出正面”，求P(A1)；(3)设A2“最少出一次正面”，求P(A2).26/161例例3、袋中有6只乒乓球，其中4白2红，现从中取二次，每次取一只(分别考虑有放回有放回和无放回无放回取球情形)。求(1)全是白球概率；(2)两球色相同概率；(3)最少一只白球概率。27/161三、古
14、典概型几类基本问题三、古典概型几类基本问题1、抽球问题、抽球问题 设袋中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，问这n个球中恰有k个白球概率是多少?2、取数问题、取数问题 设有17七位数字，从中任取三个不一样数字组成一个三位数，求这三位数是偶数概率。28/1613、分配问题、分配问题 把n个球随机地分配到m个盒子中去，问每盒中至多有一球概率是多少？4、配对问题、配对问题 从五双不一样鞋子中任意地取出四只，问其中至少有两只成双概率是多少?29/161例例4、设有n 个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中任意一间去住(nN)，求以下事件概率：(1)指定n个房间每个房间各有一人;(2)恰好有n
15、个房间，每个房间各有一人。例例5、某班级有n 个人(n365)，问最少有两个人生日在同一天概率有多大？30/161例例6、(De Mere问题)一颗骰子掷4次最少得一个六点与两颗骰子掷24次最少得一个双六，这两件事，哪一个有更多机会碰到？31/1611.5 几何概型几何概型一、几何概型特征一、几何概型特征1.基本事件数无限基本事件数无限：，充满区域，且可测；2.等可能性等可能性：随机点落在某区域g概率与区域g测度(长度、面积、体积等)成正比，而与其位置及形状无关。32/161二、几何概型计算公式二、几何概型计算公式其中Ag表示“在区域中随机地取一点落在区域g中”这一事件。33/161 例例2、
16、(蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国科学家蒲丰提出了以下著名问题：平面上画着一些平行线，它们之间距离都等于a，向此平面上任投一长度为l(I0，(i1，n)，则对任何事件BF，有 式(1.7.5)就称为全概率公式全概率公式。42/161例例3、某厂有三个车间生产同一个产品，已知三个车间产量分别占总产量1/4、1/4、1/2，且次品率分别为 2、1、3，试求该厂这种产品次品率。定理定理2、设A1，,An是一个划分，且P(Ai)0，(i1，n)，则对任何事件BF，有 式(1.7.6)就称为贝叶斯公式贝叶斯公式或逆概率公式逆概率公式。43/161例例4、在无线电通讯中，因为随机原因影响，当发
17、出短号“”时,收到“”、“不清”和长号“”概率分别是0.7、0.2和0.1，当发出长号“”时，收到“”、“不清”和“”“概率分别是0.9、0.1和0.若在整个发报过程中信号“”及“”出现概率分别是0.6和0.4，当收到信号“不清”时，试推测原发信号。44/1611.8 事件独立性事件独立性一、两事件独立一、两事件独立定义定义1、设A、B是两事件，若 P(B)P(B|A)(1.8.1)则称事件A与B相互独立。式(1.8.1)等价于：P(AB)P(A)P(B)(1.8.2)45/161二、多个事件独立二、多个事件独立定理、定理、以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(2)事件A、B相互独立；(
18、3)事件A、B相互独立；(4)事件A、B相互独立。定义定义2、若三个事件A、B、C满足：(1)P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称事件A、B、C两两相互独立两两相互独立；若在此基础上还满足：(2)P(ABC)P(A)P(B)P(C),(1.8.3)则称事件A、B、C相互独立相互独立。46/161三、事件独立性应用三、事件独立性应用 普通地，设A1，A2，An是n个事件个事件，假如对任意k (1kn),任意1i1i2 ik n，含有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik)(1.8.4)称n个事件个
19、事件A1，A2，An相互独立相互独立。1、加法公式简化加法公式简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 P(A1A2 An)(1.8.5)2、在可靠性理论上应用在可靠性理论上应用47/1611.9贝努里概型贝努里概型一、贝努里一、贝努里(Bernoulli)概型概型 1.只有两个可能结果试验称为只有两个可能结果试验称为贝努里试验贝努里试验，常记为，常记为E。E也叫做也叫做“成功成功失败失败”试验试验,“成功成功”概率惯用概率惯用pP(A)表示，其中表示，其中A“成功成功”。2.把把E重复独立地进行重复独立地进行n次，所得试验称为次，所得试验称为n重贝努里重贝努里试验试验，记为，记为En。3.把
20、把E重复独立地进行可列屡次，重复独立地进行可列屡次，所得试验称为可列重所得试验称为可列重贝努里试验贝努里试验，记为，记为E。48/161二、贝努里概型中几个主要事件概率二、贝努里概型中几个主要事件概率以上三种贝努里试验统称为贝努里概型贝努里概型。1.En中成功中成功k次概率是次概率是3.E中第中第r次成功发生在第次成功发生在第k次试验概率是次试验概率是2.E中首次成功发生在第中首次成功发生在第k次试验概率是次试验概率是49/161第二章第二章 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布l随机变量概念随机变量概念l一维离散型随机变量分布律一维离散型随机变量分布律l二维离散型随机变量二维离散型随
21、机变量l离散型随机变量函数分布律离散型随机变量函数分布律50/1612.1 随机变量概念随机变量概念实例实例 做试验抛一枚匀质硬币，其样本空间H,T 可要求随机变量 XX()随机变量实际上是定义在样本空间上一个实函数。51/161定义定义 设随机试验E样本空间是，XX(),是定义 在上一个单值实函数。若对任意实数x，样本点 集合|X()xXx是一随机事件，则X()称为随机 变量，简记为X.随机变量普通用英文大写字母X、Y、Z 等表示，也可用希腊字母、等表示。随机变量分类：随机变量分类：随机变量52/1612.2 一维离散型随机变量分布律一维离散型随机变量分布律一、分布律一、分布律1.定义定义
22、若随机变量X取值x1,x2,xn,且取这些值概率依次为p1,p2,pn,则称X为离散型随机变量，而称PX=xk=pk,(k=1,2,)为X分布律或概率分布。可表为 X PX=xk=pk,(k=1,2,)，或 X x1 x2 xn P p1 p2 pn 53/1612.分布律性质分布律性质(1)pk 0,k1,2,;(2)例例1 设袋中有5只球，其中有2只白3只黑。现从中任取3只球(不放回)，求抽得白球数X为k概率。解解 k可取值0，1，254/161二、几个惯用离散型分布1.退化分布退化分布(单点分布单点分布)XPXa1，其中其中a为常数。为常数。2.(01)分布分布(两点分布两点分布)XPX
23、kpk(1p)1k,(0p1)k0，13.几何分布几何分布 XPXk(1p)k1 p,(0p1)k1,2,4.二项分布二项分布B(n,p)XPXk pk(1p)nk,(0p1)k0,1,2,n55/161 pr(1p)kr,kr,r+1,(r 1,0p0,则称 pi|j 为Y yj条件下，X条件分布律条件分布律;63/161同理，同理，若对固定i,pi.0,则称 pj|i 为X xi条件下，Y条件分布律条件分布律;条件分布律也满足分布律性质条件分布律也满足分布律性质例例1 一射手进行射击，命中目标概率为p(0p1)，射击进行到命中目标两次为止，现用X表示首次命中目标所进行射击次数，用Y表示总共
24、进行射击次数。试求X和Y联合分布律及边缘分布律。解解 由题意知（X，Y）分布律为 PX=m,Y=np2(1p)n2，m=1,2,n1；n=2,3,X服从参数为p几何分布，其分布律为 PX=mp(1p)m1，m=1,2,64/161Y服从参数为 2、p负二项分布，其分布律为 PY=n(n1)p2(1p)n2，n=2,3,(X和Y边缘边缘分布律分布律普通可由联合普通可由联合分布律分布律求得)。另外，当n=2,3,时 Pm|nPX=m|Y=n 当m=1,2,时 Pn|mPY=n|X=m 65/161四、离散型随机变量相互独立性 设随机变量X与Y联合分布律联合分布律为 (X,Y)PXxi,Y yj p
25、ij，(i,j1,2,)，若对任意任意i、j，有pij pi.p.j，即 PXxi,Y yj PXxiPY yj则称随机变量X与Y相互独立相互独立。上述概念不难推广到n维离散型随机变量情形。例如，设X1，X2，,Xn分别可取值对任意i1,i2,in成立，则称随机变量X1，X2，,Xn相互独立相互独立。66/1612.4 离散型随机变量函数分布律离散型随机变量函数分布律一、一维离散型随机变量函数分布律一、一维离散型随机变量函数分布律定理定理1 设X一个随机变量，若若yg(x)是一元单值实函数，则Yg(X)也是一个随机变量。若 XPXxkpk,k1,2,则 Yg(X)PYg(xk)pk，k1,2,
26、其中g(xk)有相同，其对应概率合并。显然，Y分布律也满足分布律性质。67/161二、多维离散型随机变量函数分布律二、多维离散型随机变量函数分布律定理定理2 设X1，X2，,Xn是一个n维随机变量，若若yg(x1,x2,xn)是一个n元实值函数，则Yg(X1，X2，,Xn)也是一个随机变量。以二维为例，若 (X,Y)P(Xxi,Yyk)pik，i,k1,2,则 Zg(X,Y)PYzl68/161 例例1 设XP(1),YP(2)，且X与Y相互独立，求ZXY分布律。解 PZk PX+Y=k k0,1,2,以上划线部分称为整值随机变量卷积公式卷积公式。69/161 例例2 设随机变量(X，Y)分布
27、律为 (1)求PX=2|Y=2,PY=3|X=0;(2)求WXY分布律;(3)求Vmax(X,Y)分布律；(4)求Umin(X,Y)分布律。解解 (1)因为 PY=20.25,PX=00.03,故 PX=2|Y=25/251/5;PY=3|X=01/3.Y X 0 1 2 3 4 5 0 0.00 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.0570/161(2)因为WXY可取值0,1,2,.,8,故其分
28、布律为 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0.00 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05(3)因为Vmax(X,Y)可取值0,1,2,3,4,5,故其分布律为 V 0 1 2 3 4 5 P 0.00 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(4)因为Umin(X,Y)可取值0,1,2,3,故其分布律为 U 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.1771/161第三章第三章 连续型随机变量及其分布连续型随机变量及其分布l分布函数分布函数l一维连续型随机变量及其分布一维连续型随机变量及其分布l二维连续型随机变量及其分布二
29、维连续型随机变量及其分布l连续型随机变量函数密度函数连续型随机变量函数密度函数72/1613.1 分布函数分布函数一、分布函数概念一、分布函数概念 定义定义 设X为随机变量，对任意实数x，事件Xx概率P Xx称为随机变量X分布函数。记为F(x)，即 F(x)P Xx.易知，对任意实数a,b(ab),P aXbPXbPXa F(b)F(a).73/161例例1 设随机变量X具分布律为 X 0 1 2 P 0.1 0.6 0.3试求出X分布函数。解解其图形以下：F(X)1O 1 2 X 74/161二、分布函数性质二、分布函数性质 1、单调不减性：若x1x2,则F(x1)F(x2);2、非负规范性
30、：对任意实数x，0F(x)1，且 3、右连续性：对任意实数x0，反之，含有上述三个性质实函数，必是某个随机变量分布函数。故该三个性质是分布函数充分必要性质分布函数充分必要性质。75/161 分布函数概念可推广到n维随机变量情形。事实上，对n维随机变量(X1,X2,Xn)，F(X1,X2,Xn)P(X1 x1,X2 x2,Xn xn)称为n维随机变量(X1,X2,Xn)分布函数，或随机变量X1,X2,Xn联合分布函数。普通，对离散型随机变量 XPX=xkpk,k1,2,其分布函数为76/161例例2 设陀螺陀螺顶面圆周为单位圆，现在其上从01均匀刻度，若让X表示陀螺静止时其顶面圆周与地面接触点，
31、则X是随机变量，求X分布函数。解解易知，有其图形为：77/1613.2 一维连续性随机变量及其分布一、密度函数一、密度函数 1.定义定义 对于随机变量X，若存在非负可积函数f(x)，(-x+)，使对任意实数x，都有则称X为连续型随机变量，f(x)为X概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为 X f(x),(-x+)密度函数几何意义为78/1612.密度函数性质密度函数性质 (1)f(x)0，(-x)；(2)性质(1)、(2)是密度函数充要性质；(3)若x是f(x)连续点，则f(x)3.对任意实数b，若X f(x)，(-x)，则PX=b0实际上，从而，79/161二、几个惯用连续型分布二、几
32、个惯用连续型分布1.均匀分布均匀分布 若Xf(x)则称X在(a,b)内服从均匀分布。对任意实数c,d(acdb)，都有 这说明X落在(a,b)中任一区间概率只与该区间长度成正比，而与该区间位置无关，这就是均匀分布概率意义。80/1612.指数分布指数分布 若 X求(1)k值;(2)P|X|0指数分布。易知，例例 已知 X解解 (1)由得,k1/2;(2)81/1613.伽马分布伽马分布 若 X则称X服从参数为0，0伽马伽马分布，记为 (,)。易知，()称为伽马函数，伽马函数，它含有以下几个性质：(1)(+1)=();(2)(n+1)=n!;82/1614.正态分布正态分布 若随机变量其中 0，
33、为实数，则称X服从参数为2，正态分布,记为N(,2)，可表为XN(,2).易知 f(x)0;令可得 正态分布有三个特征：83/161(1)单峰对称单峰对称 其图形关于直线x=对称；f()max f(x).(2)有两个拐点有两个拐点 (，f()；(，f()，(3)大小直接影响概率分布大小直接影响概率分布越大，曲线越平坦，概率分布越分散，曲线又矮又胖；越小，曲线越陡峻，概率分布越集中，曲线又高又瘦。正态分布也称为高斯(Gauss)分布。84/1615.标准正态分布标准正态分布 参数0，21正态分布称为标准正态分布，可表为N(0,1)。为了区分于普通正态分布，其密度函数表示为分布函数表示为 普通概率
34、统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅(x)值。85/161注解注解：(1)(x)1(x)；(2)若XN(,2)，则F(x)PXx 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多分布之一，故它在概率统计中占有特别主要地位。86/1613.3二维连续型随机变量及其分布一、联合分布及边缘分布一、联合分布及边缘分布1、联合分布函数联合分布函数 设(X,Y)是二维随机变量，(x,y)R2,则称 F(x,y)=PXx,Yy为(X,Y)分布函数，或X与Y联合分布函数。几何意义：对于(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),有 Px1X x2，y1yy2 F(x2,y2)F(x1,y2
35、)F(x2,y1)F(x1,y1).87/161分布函数F(x,y)含有以下性质：(1)非负规范非负规范 对任意(x,y)R2,0 F(x,y)1,且F(+,+)1;F(,)F(x,)F(x,y)F(,y).(2)单调不减单调不减 对任意y R,当x1x2时，F(x1,y)F(x2,y)；对任意x R,当y1y2时，F(x,y1)F(x,y2).88/161 (3)右连续右连续 对任意yR,反之，任一满足上述四个性质二元函数F(x,y)都能够 作为某个二维随机变量 (X,Y)分布函数。(4)矩形不等式矩形不等式对于任意(x1,y1),(x2,y2)R2,(x1 x2，y1y2),F(x2,y2
36、)F(x1,y2)F(x2,y1)F(x1,y1)0.y y2y1 0 x1 x2 x 对任意xR,x1X x2,y1 0且y0时，有综上得 (3)由f(x,y)性质知（见下列图）94/161 y 2 1 D 0 1 2 3 x 2x+3y=62x+3y=6 3.两个惯用二维连续型分布两个惯用二维连续型分布 (1)二维均匀分布二维均匀分布 若二维随机变量(X,Y)密度函数为则称(X,Y)在区域G上(内)服从均匀分布。该分布密度函数显然满足密度函数两个 充要性质,即非负性和完备性。95/161 其中，1、2为实数，10、20、|1，则称(X,Y)服从参数为1,2,1,2,二维正态分布，可记为 (
37、2)二维正态分布二维正态分布N(1,2,1,2,)若二维随机变量(X,Y)密度函数为 能够验证：f(x,y)满足密度函数两个充要性质，事实上，(1)f(x,y)0；(2)96/161三、边缘密度函数三、边缘密度函数 设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则称为(X,Y)关于X边缘密度函数；同理，称为(X,Y)关于Y边缘密度函数。易知N(1,2,1,2,)边缘密度函数fX(x)是N(1,1)密度函数，而fY(y)是N(2,2)密度函数，故二维正态分布边缘分布也是正态分布。97/161四、条件密度函数四、条件密度函数 FX|Y(x|y)PXx|Y=y 称为已知Yy条件下，X条件分布函数。若已知
38、(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,则因为98/161可见，为已知Yy条件下，X条件密度函数条件密度函数;同理，称为已知Xx条件下，Y条件密度函数条件密度函数。99/161五、随机变量独立性五、随机变量独立性 1、随机变量相互独立普通定义、随机变量相互独立普通定义 设X1，X2，Xn为n 个随机变量，若对任意(x1,x2,xn)Rn，有 PX1x1,XnxnPX1x1 PXnxn即 F(x1,x2,xn)FX1(x1)FX2(x2)FXn(xn),则称X1，X2，Xn相互独立。2、随机变量相互独立等价定义、随机变量相互独立等价定义 对于离散型随机变量情形，在第二章对于离散型随机变量情形，在
39、第二章2.3节中节中 已经给予介绍。已经给予介绍。100/161若对任意整数i1,i2,in及实数 则称离散型随机变量X1,X2,Xn相互独立。定理定理1 设(X,Y)f(x,y),(x,y)R2,fX(x),fY(y)分别为X与Y边缘密度，则X与Y相互独立等价于 f(x,y)fX(x)fY(y)，对任意(x,y)R2几乎处处成立。易知，对任意(x,y)R2 f(x,y)fX(x)fY(y)fX|Y(x|y)fX(x)或 fY|X(y|x)fY(y).101/161 定理1能够推广到n维连续型随机变量情形:设X1，X2,Xn为n 个连续型随机变量，若对任意(x1,x2,xn)Rn，f(x1,x
40、2,xn)fX1(x1)fX2(x2)fXn(xn)几乎处处成立，则称X1，X2,Xn相互独立。定理定理2 设(X1,X2,Xn)与(Y1,Y2,Yn)相互独立，则Xi(i=1,2,m)与Yj(j=1,2,n)相互独立；又若h,g是连续函数，则h(X1,X2,Xn)与g(Y1,Y2,Yn)相互独立.102/1613.4 连续型随机变量函数连续型随机变量函数密度函数密度函数l一维变量情形一维变量情形 普通方法普通方法分布函数法分布函数法 公式法公式法l多个随机变量函数密度函数多个随机变量函数密度函数 普通方法普通方法分布函数法分布函数法 几个惯用函数密度函数几个惯用函数密度函数103/1613.
41、4 连续型随机变量函数密度函数连续型随机变量函数密度函数一、一维变量情形一、一维变量情形 1、普通方法 若Xf(x),-xz 1 PX1z,Xnz 1PX1z PXnz 1111/161 尤其，当X1,X2,Xn独立同分布(分布函数相同)时，则有 FM(z)F(z)n;FN(z)11F(z)n.深入地，若X1,X2,Xn独立且具相同密度函数f(x)，则M和N密度函数分别由以下二式表出 fM(z)nF(z)n1f(z)；fN(z)n1F(z)n1f(z).112/161第四章第四章 随机变量数字特征随机变量数字特征l数学期望l方差l协方差和相关系数l矩l几个主要随机变量期望和方差113/1614
42、.1数学期望数学期望l加权平均数加权平均数l离散型随机变量数学期望离散型随机变量数学期望l连续型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望l数学期望性质数学期望性质114/1614.1数学期望数学期望一一 加权平均数加权平均数 分数 40 60 70 80 90 100 人数 1 6 9 15 7 2则学生平均成绩是总分总人数(分)。即例例 设某班40名学生概率统计成绩及得分人数以下表所表示：115/161 后一个计算方法可认为是40,60,70,80,90和100这六个数加权平均数。普通地说，加权平均数加权平均数可为i称为数xi权重,可见平均值即加权平均数。116/161 X 40 60 70
43、80 90 100 P 1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40 于是平均成绩平均成绩为40PX=40+60PX=60+70PX=70+80PX=80+90PX=90+100PX=100 即取值乘取值概率相加即得平均值。这就是r.v.数学期 望概念现引进r.v.X表示学生得分，则X有分布律117/161二二.离散型随机变量数学期望离散型随机变量数学期望 1.定义定义 若XPX=xk=pk,k=1,2,绝对收敛，则称该和式为r.v.X数学期望，简称期望或均值。记为E(X)或EX，即 118/161 2.定理与推论定理与推论 定理定理1 若 XPX=xk=pk,k=1,2,则Y
44、=g(X)期望推论推论 若(X,Y)PX=xi,Y=yj,=pij,i,j=1,2,则Z=g(X，Y)期望119/161三三.连续型随机变量数学期望连续型随机变量数学期望1.离散化分析离散化分析 设Xf(x),-x,现在a,b上考虑r.v.X期望：E*(X)。把a,b等分成n个小区间，插入分点：a=x0 x1 xn=b,其中xi=xi-xi-1=(b-a)/n,i=1,2,n，则于是X落在(xi-1,xi上概率可认为是X集中在点xi处概率。120/161故从而2.定义定义 若Xf(x),-x,绝对收敛，则称其为连续型r.v.X数学期望。即121/161四四 数学期望性质数学期望性质 3 定理与
45、定理与推论推论 定理定理2 若Xf(x),-x,则Y=g(X)期望推论推论 若(X,Y)f(x,y),-x,-y0,DY0，则称为X与Y相关系数相关系数.(5)D(X Y)=D(X)+D(Y)2cov(X,Y).134/161 若XY=0，则称X与与Y不相关不相关，不然称X与Y相关。称为X标准化，易知EX*=0，DX*=1.Cov(X*,Y*)称为X与Y标准化协方差，易知引理引理 对于r.v.X,Y,有E(XY)2E(X2)E(Y2).即E(XY)2E(X2)E(Y2).该不等式称为柯西柯西(Cauchy)不等式不等式.135/1612.相关系数性质相关系数性质 (1)|XY|1；(2)|XY
46、|=1存在常数a,b 使PX=aY+b=1；(3)X与Y不相关 cov(X,Y)=0;(4)X与Y独立，则X与Y不相关，反之不然。证证(1)由引理知(2)“”若|XY|=1，则由引理知：判别式136/161（3）、（4）显然137/161例例 设(X,Y)在D=(X,Y)：x2+y21上服从均匀分布，则X与Y不相关，但不是相互独立。138/161139/161三三.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 若r.v.X期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式。不等式。它有以下几个等价形式：记2=D(X),=E(X),则对k0,有 140/1614.4 矩、协方差
47、矩阵矩、协方差矩阵l矩矩l协方差矩阵协方差矩阵141/1614.4 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵一一.矩矩1.K阶原点矩阶原点矩 k=E(Xk),k=1,2,而E(|X|k)称为XK阶绝对原点矩；2.K阶中心矩阶中心矩 k=EX-E(X)k,k=1,2,而E|X-E(X)|k称为XK阶绝对中心矩；易知 E(X)=1,D(X)=2.142/1613.K+l阶混合原点矩阶混合原点矩 E(Xk Yl),k,l=0,1,2,；4.K+l阶混合中心矩阶混合中心矩 EXE(X)kYE(Y)l,k,l=0,1,2,；易知 cov(X,Y)=EXE(X)YE(Y)是1+1阶混合中心矩阶混合中心矩。可见矩对于随
48、机变量而言是普通数字特征，而数学期望、方差、协方差等都是一些特殊矩。143/161二.协方差矩阵协方差矩阵1.定义定义 设X1，,Xn为n个r.v.,记cij=cov(Xi,Xj),I,j=1,2,n.则称由cij组成矩阵为r.v.X1，,Xn协方差矩阵C。即2.协方差矩阵性质协方差矩阵性质记记则则144/161(1)C=C,其中C为C转置;(2)C是非负定矩阵非负定矩阵，即对任意n维实向量 =(1,n).有 C0.证：(1)显然；(2)C=E(X)(X)=E (X)(X)=E(X)(X)0，其中X=(X1,Xn),=(1,n),i=Xi。145/161X=(X1，X2)概率密度为146/16
49、1147/161故 XY=.可见，若（X，Y）服从二维正态分布，则X与Y独立独立充分必要条件是X与Y不相关不相关。另外，由协方差矩阵能够证实：相互独立正态随机变相互独立正态随机变量线性组合还是正态随机变量量线性组合还是正态随机变量。即若X1，Xn相互独立，且，则对任意常数1，n148/161第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理l依概率收敛依概率收敛l大数定律大数定律l依分布收敛依分布收敛l中心极限定理中心极限定理149/1615.1 大数定律大数定律l依概率收敛依概率收敛l几个惯用大数定律几个惯用大数定律 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 伯努里伯努里大数定律大数定律 辛
50、钦大数定律辛钦大数定律150/1615.1 大数定律大数定律一一.依概率收敛依概率收敛设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若对任意0,有则称Xn依概率收敛依概率收敛于于X.可记为可记为151/161二二.几个惯用大数定律几个惯用大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设Xn为独立随机变量序列，若EXk，DXkC，C为正数,k=1,2,(称Xn为方差一致有界),则Xn服从大数定律。即152/161 推论推论1 若Xn为独立同分布随机变量序列,且EXk=,DXk=2，k=1,2,则Xn服从大数定律。推论推论2 若Xn为独立随机变量序列,满足马尔可夫条件：则Xn服从大数定律。2.伯努里伯努里大
