1、光学中数学方法光学中数学方法之之（渐近方法）（渐近方法）（渐近方法）（渐近方法）主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐主讲教师：白璐联络电话：联络电话：联络电话：联络电话：1529145699615291456996Email:bluxidian.edu.cEmail: nhttp:/ 渐近方法渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中近似方法，内容包本章渐进方法着重介绍数学物理中近似方法，内容包含积分渐近展开分析与常微分方程渐进解法两大部分。经含积分渐近展开分析与常微分方程渐进解法两大部分。经过本章学习目标是为提升数学分析能力和将理论应用于处过本章学习目标是为提升数学分析能力和将理论应用于
2、处理实际问题本事。该方法在力学、大气科学、物理海洋、理实际问题本事。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域含有广泛应用。光学、声学等研究领域含有广泛应用。渐近计算是数学计算近似方法之一，它是解析方法在渐近计算是数学计算近似方法之一，它是解析方法在一定条件下发展，其与数值方法相结合能够提升计算准确一定条件下发展，其与数值方法相结合能够提升计算准确程度及计算速度，尤其在非线性问题处理中渐近方法含有程度及计算速度，尤其在非线性问题处理中渐近方法含有主要地位。主要地位。2/511、量级符号；量级符号；2、渐近展开；渐近展开；3、渐近展开式运算；渐近展开式运算；4、积分渐近展开式；积分渐
3、近展开式；5、最陡下降法；最陡下降法；6、驻定相位法；驻定相位法；7、常微分方程渐近解；常微分方程渐近解；第二章第二章 渐近方法渐近方法3/51 因为一些特殊函数含有积分表示式，假如这些函数是因为一些特殊函数含有积分表示式，假如这些函数是微分方程解，就能够得到一个以它们拉普拉斯变换或傅立微分方程解，就能够得到一个以它们拉普拉斯变换或傅立叶变换积分表示式表示解。所以求解积分渐近展开式问题叶变换积分表示式表示解。所以求解积分渐近展开式问题在解析函数理论中就起尤其主要作用，它能够使我们得到在解析函数理论中就起尤其主要作用，它能够使我们得到积分解另一个表示，称此为渐近方法。积分解另一个表示，称此为渐近
4、方法。比较函数趋于某个极限时性质常定义：比较函数趋于某个极限时性质常定义：例：例：2 渐近方法渐近方法 2.1 量级符号量级符号 1)同量级同量级 4/51例：例：称函数称函数f(x)至多与至多与g(x)同阶。同阶。2 渐近方法渐近方法 2.1 量级符号量级符号 2)量级最多为量级最多为 也能够说若存在某个常数也能够说若存在某个常数A，使对定义域，使对定义域D某个内点某个内点x0邻域邻域V内全部内全部x，满足，满足5/51例：例：2 渐近方法渐近方法 2.1 量级符号量级符号 3)量级小于量级小于 也能够说若存在任一也能够说若存在任一 ，定义域，定义域D内点内点x0总有一邻域总有一邻域 存在，
5、使得全部存在，使得全部 ，满足，满足称函数称函数f(x)是函数是函数g(x)高阶小量。高阶小量。意义是说意义是说 f(x)有界，而有界，而 意义是说意义是说f(x)趋于零。趋于零。6/51 2.2 渐近展开渐近展开 下面给出渐近展开定义和它一些性质，讨论在扩充复平面上下面给出渐近展开定义和它一些性质，讨论在扩充复平面上进行。进行。一、一、渐近序列渐近序列 设设 ，是定义在区间，是定义在区间D上连续函数序列，上连续函数序列，是是D中一固定点，若对每一个固定中一固定点，若对每一个固定n，有，有则称则称 为为 点渐进序列。渐近序列能够是有限项也能点渐进序列。渐近序列能够是有限项也能够是无限项。够是无
6、限项。比如：比如：是对零点渐近序列。是对零点渐近序列。2 渐近方法渐近方法 是对于无穷渐近序列。是对于无穷渐近序列。7/51二、二、渐近展式渐近展式 设设 是一个给定函数，而是一个给定函数，而 是是 点一个渐近序列，点一个渐近序列，假如对每个固定整数假如对每个固定整数n，有，有那么称此为那么称此为 在在 点渐近展式。记为点渐近展式。记为注意：渐近展式与函数级数展式不一样：对确定注意：渐近展式与函数级数展式不一样：对确定z值，渐近展值，渐近展式项数无限增多时，所得级数普通是发散，但若满足渐近展式项数无限增多时，所得级数普通是发散，但若满足渐近展式定义式，则当式定义式，则当 时，取确定项数时，取确
7、定项数n会得到对函数非常会得到对函数非常好近似。好近似。2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 8/51例例1：求：求 当当 时积分值。时积分值。即求即求 时时 渐近展式。渐近展式。解解：余项：余项：2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 9/51所以，取展开式前所以，取展开式前n项，略去余项，当项，略去余项，当 时，其误差量时，其误差量级小于所取最终一项，符合渐近展式定义，可记为级小于所取最终一项，符合渐近展式定义，可记为 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 注意：注意：这个级数对于有限这个级数对于有限 x 值均不收敛。不过，取确定项值均不收敛。不过，取确定项数，
8、会得到对函数很好近似。假如仅用一项，给出相对误数，会得到对函数很好近似。假如仅用一项，给出相对误差为差为1/x,结果粗略一些，但已经足够用了。结果粗略一些，但已经足够用了。10/51三、三、展开式系数：展开式系数：当当 时，时，渐近展式渐近展式 系数为系数为证实略证实略 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 四、四、展开式组成展开式组成 设设 在区域在区域D中有定义，若中有定义，若 有定义且不为零，则有定义且不为零，则 是是 时，时，一个直到一个直到N项渐近展开式。项渐近展开式。当当 时，时，渐近展式渐近展式 系数为系数为四、四、展开式组成展开式组成 当当 时，时，渐近展式渐近展式
9、系数为系数为四、四、展开式组成展开式组成 当当 时，时，渐近展式渐近展式 系数为系数为四、四、展开式组成展开式组成 11/51证实：证实：首先证实首先证实 是一个渐近序列。由是一个渐近序列。由 定义得定义得 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 所以：所以：又因为：又因为：故存在一个故存在一个 邻域使邻域使z在其中时：在其中时：12/51所以所以 。由此，各个。由此，各个 都由这种方式定义得都由这种方式定义得 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 五、五、唯一性唯一性设设 是在是在D中，中，一个已知渐近序列，若一个已知渐近序列，若是当是当 时，时，直到直到N 项一个渐近展式
10、，则此展式是唯一。项一个渐近展式，则此展式是唯一。注意：注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示展开式唯一这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示展开式唯一性。不过可能有多个不一样渐近序列对应同一个函数渐近展式，性。不过可能有多个不一样渐近序列对应同一个函数渐近展式，它们能够不一样，而且能够是收敛也可是发散。反过来，一个它们能够不一样，而且能够是收敛也可是发散。反过来，一个已知渐近展式能够表示不止一个函数。已知渐近展式能够表示不止一个函数。13/51 一个一个渐近渐近幂级数展式幂级数展式，记为，记为 六、六、幂函数展式幂函数展式 2.2 渐近展开渐近展开 2 渐近方法渐近方法 则：则：是是D
11、中，中，时，时，其中一个主要特殊情形是在其中一个主要特殊情形是在D中，当中，当 时，假如时，假如则在则在D中，当中，当 时时14/51 2.3 渐近展式运算渐近展式运算若在若在D中，当中，当 时，直到时，直到N项有项有 则：则：和和1.加法：加法：2.乘法：乘法：2 渐近方法渐近方法 本节讨论渐近展开式普通运算，因为实际应用中，展式多用本节讨论渐近展开式普通运算，因为实际应用中，展式多用幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。15/513.除法：除法：即除法为两个函数渐近展开式分别保留到即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。项相除。推论：推论：2.3 渐
12、近展式运算渐近展式运算 2 渐近方法渐近方法 16/514.积分积分:当当 时，若时，若 则：则：其中积分沿从其中积分沿从 到到 一条直线路径。一条直线路径。推论推论:当当 时，若时，若 则：则：2.3 渐近展式运算渐近展式运算 2 渐近方法渐近方法 5.求导求导:当当 时，若时，若 ，且当，且当 时，在时，在D中中 存在并有存在并有17/51则在则在D中渐近展开式满足可逐项积分条件时，有中渐近展开式满足可逐项积分条件时，有推论推论1：在：在D中，当中，当 有有 且在且在D中中 2.3 渐近展式运算渐近展式运算 2 渐近方法渐近方法 存在并有存在并有若在若在D中，渐近幂级数满足逐项积分条件，则
13、中，渐近幂级数满足逐项积分条件，则18/51推论推论2：对对 ，当，当 时有时有 且且 存在于相同区域，当存在于相同区域，当 时，有时，有则则 对于解析函数对于解析函数 ，若在区域，若在区域当当 时有时有则在则在 中，当中，当有有 2.3 渐近展式运算渐近展式运算 2 渐近方法渐近方法 依据渐近展式定义和相关运算法则，就能够讨论在解析函数理论中惯用积分渐近展式。依据渐近展式定义和相关运算法则，就能够讨论在解析函数理论中惯用积分渐近展式。19/51 取得积分渐取得积分渐近展式方法近展式方法有两种有两种(1)把被积函数把被积函数一部分展开一部分展开为级数，然为级数，然后形式上逐后形式上逐项积分；项
14、积分；(2)重复地进行重复地进行分部积分。分部积分。一、一、逐项积分法：逐项积分法：瓦特森引理：设瓦特森引理：设 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 2 渐近方法渐近方法 20/51式式 对对Re(z)0 成立，因为在此定成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分渐近展开式。做变量代换，令其积分渐近展开式。做变量代换，令解：令解：令 则则例：求当例：求当 ，函数函数 渐近展式。近展式。2 渐近方法渐近方法 则对给定值则对给定值 上述变换给出两个解上述变换给出两个解s(u)和和(u)，其中，其中 2.4 积分渐
15、近展式积分渐近展式 即即且且21/51两个解分别位于最大值两个解分别位于最大值s=1两边其两边其中中于是于是 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 能够证实能够证实且因当且因当 时，时，故故 在在 有界有界22/51 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 则可得则可得 与与关系：关系：剩下要证实是剩下要证实是 其中其中 对小对小 有一个有一个麦克劳林展开式。再做代换，令麦克劳林展开式。再做代换，令。它在。它在 处是解析。因为当处是解析。因为当 时，有时，有即即与与 邻域有两个分支。邻域有两个分支。依据复变函数理论：若依据复变函数理论：若 解析，且解析，且 则
16、则 在在 邻域存在解析反函数邻域存在解析反函数 现在现在 在在 邻域解析，且邻域解析，且 在在 点不等于零，故在点不等于零，故在 23/51 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 另一支是另一支是注意到注意到 则对足够小则对足够小 有有 故故令令 邻域存在解析反函数邻域存在解析反函数 式中式中 是是 处处 留数，轻易算出留数，轻易算出 等等。将最终表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引将最终表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在理，在 时，有时，有24/51 23 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 式中式中二、二、分部积分法：分
17、部积分法：对对形式进行分部积分。在形式进行分部积分。在 ，且当，且当 时时 条件下得条件下得 。能够看出，。能够看出，所得积分与原来积分形式相同所得积分与原来积分形式相同，故可故可重复同一过程重复同一过程。25/51 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 在在 和和 一定假设条件下，式中第一项是一定假设条件下，式中第一项是 积分渐近形式。积分渐近形式。条件条件:（1）对）对 ，连续且有界：连续且有界：，同时，同时 （2）对）对 ，为实函数且连续；为实函数且连续；存在，且存在，且（3）（4）对全部正）对全部正 ，且当，且当 时，时，（5）对）对 ，存在，则对存在，则对 当当 时
18、时26/51 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 例：例：在在 ，条件下，求条件下，求误差函数误差函数渐近展开式。渐近展开式。令令 现在积分现在积分 和定理假设相符，重复地应用此和定理假设相符，重复地应用此定理，对于定理，对于 可得可得 27/51 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 假如假如 ，则应将方法修改。但对这种情形，能够采取，则应将方法修改。但对这种情形，能够采取下面两节方法，这里不再赘述。下面两节方法，这里不再赘述。以上只把分部积分法用于上限为以上只把分部积分法用于上限为 积分，现在考虑积分，现在考虑a和和b 有限，有限，且且 情形，即情形，
19、即 设设 ，而当，而当 ，时时 28/51 2 渐近方法渐近方法 2.4 积分渐近展式积分渐近展式 当当 ，时，因为时，因为故故29/51最徒下降法思绪：最徒下降法思绪：首先令：首先令：则：则：2 渐近方法渐近方法 2.5 最陡下降法最陡下降法 积分积分 其中其中C 是复平面是复平面Z 上路径，在其中假定上路径，在其中假定 缓变，且缓变，且f 和和g 均含有适当正则性。均含有适当正则性。其中其中 u 和和 v 是实函数。是实函数。当当S 很大时，沿积分路径微小位移所引发很大时，沿积分路径微小位移所引发 微小改变会引发微小改变会引发 注意到：注意到：30/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 也就
20、是说，也就是说，最徒下降法本质就是尽可能利用这么积分路径：使最徒下降法本质就是尽可能利用这么积分路径：使被积函数在这个路径上被积函数在这个路径上u为最大，而为最大，而等于常数。等于常数。这么能够确保这么能够确保被积函数改变最速下降，也就确保积分值只与被积函数改变最速下降，也就确保积分值只与u为最大点（鞍为最大点（鞍点）附近邻域相关，从而能够渐近计算。点）附近邻域相关，从而能够渐近计算。实际上，实际上，使使等于常数路径也就是等于常数路径也就是u改变最快路径改变最快路径。以下。以下对此证实：对此证实：2 渐近方法渐近方法 中复数项快速震荡。中复数项快速震荡。但如选择积分路径使在其上但如选择积分路径
21、使在其上 为常数，为常数，则震荡就会快速消失，则震荡就会快速消失，于是被积函数改变最速部分将为于是被积函数改变最速部分将为 ，而，而显然其主要贡献部分未来自显然其主要贡献部分未来自u为最大点邻域。因而此方法本为最大点邻域。因而此方法本质是尽可能地改变积分路径循着经过质是尽可能地改变积分路径循着经过u 为最大点，而为最大点，而等于常数等于常数 路线进行。路线进行。31/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 证实证实:令令 是在是在 邻近一点，于是由邻近一点，于是由得：得：当当 等于常数时等于常数时，应有，应有，即，即注意到注意到柯西黎曼柯西黎曼关系关系:可得可得 此式表明此式
22、表明所以，由极值条件，在所以，由极值条件，在 点，点，等于常数方向也正是等于常数方向也正是u 最大最大改变方向。改变方向。32/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 为寻找为寻找 最大点，令最大点，令，因而，因而 故当且仅当在该点故当且仅当在该点，时，取得极值，这么点称为时，取得极值，这么点称为驻点驻点驻点驻点。曲面曲面有极大极小值条件为有极大极小值条件为 而现在有而现在有，即，即，故，故，因而，因而 因为因为u是解是解析函数满足析函数满足拉普拉斯方拉普拉斯方程程表明表明这里驻点不是极值点这里驻点不是极值点而是而是鞍点鞍点，它连接曲面，它连接曲面“山谷山谷”和和“山脊山脊”
23、沿山脊上升和山谷下降均是沿山脊上升和山谷下降均是u最大改变方向最大改变方向最大改变方向最大改变方向。对我们有意义是对我们有意义是山谷下降路径，即最徒下降路径山谷下降路径，即最徒下降路径，因为只，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著贡献，所以这种渐近计有这一路径上在鞍点附近对积分有显著贡献，所以这种渐近计算方法称为：算方法称为：最徒下降法最徒下降法。33/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 鞍点鞍点若若 点为点为鞍点鞍点鞍点鞍点，即，即 此点此点等于常数曲线方程为等于常数曲线方程为，则，则经过经过，或，或 其中其中t是实数，是实数，t 为为正正代表下降路径，代表下降路径
24、，t 为为负负代表上升路径。代表上升路径。由由 在在 点点Tailor展开式展开式现在现在，若，若(A为正实数为正实数)，靠近，靠近 处处，则，则，（略去高阶项），（略去高阶项）34/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 因为：因为：还可得：还可得：由此能够画出由此能够画出实部实部 虚部虚部 时等高线如图所表示。假如时等高线如图所表示。假如，则图形将更复杂，则图形将更复杂，可能有三个或更多山谷在可能有三个或更多山谷在鞍点相会。鞍点相会。35/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 现在能够假定现在能够假定起止于无限远积分路径能变形到起点和终起止于无限远积分
25、路径能变形到起点和终点都在山谷路径点都在山谷路径，这是积分收敛要求这是积分收敛要求。积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷底积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。普通说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍普通说来，这种路径由一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。点到无穷或到某个奇点。以下假定以下假定 来计算一个这种路径对积分贡献。来计算一个这种路径对积分贡献。为此，设为此，设 其中其中。于是。于是最陡下降路径最陡下降路径最陡下降路径最陡下降路径由下式给出由下式给出或或(t为正实数）为正实
26、数）其中其中 取主值。计及取主值。计及，故得，故得 36/51 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 上式不一样符号对应于自鞍点出发两条最陡下降路径。若上式不一样符号对应于自鞍点出发两条最陡下降路径。若“+”号与第三象限路径相关，号与第三象限路径相关，“-”与第一象限路径与第一象限路径。相关相关考虑考虑负号负号时所代表路径如图所表示，所得积分是时所代表路径如图所表示，所得积分是负号所对应路径负号所对应路径 其中其中 是上式中取是上式中取负号负号 z值。另一路径积分值。另一路径积分 其中其中 是上式中取是上式中取正号正号z值。值。37/51 完整级数太繁，我们将只导出首项。完整级数
27、太繁，我们将只导出首项。于是，假如把于是，假如把C变形到经过鞍点，其方变形到经过鞍点，其方向如右图，则能够得到向如右图，则能够得到 2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 因为因为 和和 都可用都可用 t 表示表示，其中函数，其中函数 f 已假定是缓变，故已假定是缓变，故 和和 均可用均可用 代替。令代替。令 引理渐近计算积分式。引理渐近计算积分式。，则能够得到用，则能够得到用瓦特森瓦特森负号所对应路径负号所对应路径 此式即利用最徒下降法得到积分渐近展开此式即利用最徒下降法得到积分渐近展开此式即利用最徒下降法得到积分渐近展开此式即利用最徒下降法得到积分渐近展开。假如假如C经过鞍点方
28、经过鞍点方向与前图示相反话，结果反号即可。向与前图示相反话，结果反号即可。38/51例：求阶乘斯特林（例：求阶乘斯特林（Stirling)公式。（即阶乘渐近展式）公式。（即阶乘渐近展式）解：解：已知阶乘积分表示式已知阶乘积分表示式 符合前边积分形式，其中符合前边积分形式，其中 而积分路径而积分路径C为实轴。为实轴。2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 它在它在 时成立，现在我们只考虑时成立，现在我们只考虑 s此积分形式不适适用最陡下降法，但如用此积分形式不适适用最陡下降法，但如用sz 来代替来代替z就得出就得出 是实数情形。是实数情形。注意到注意到 有一鞍点，且在该处有一鞍点，且
29、在该处 39/51在在 时：时：所以积分路径应该是所以积分路径应该是 和和 （零点为奇点）两部分（零点为奇点）两部分依据公式：依据公式：2.5 最陡下降法最陡下降法 2 渐近方法渐近方法 这就是斯特林公式。这就是斯特林公式。40/51 2.6 驻定相位法驻定相位法 积分积分：2 渐近方法渐近方法 当参量当参量k 很大时能够用驻定相位法求解。从被积函数很大时能够用驻定相位法求解。从被积函数 形形式式上看，可看成波相位。上看，可看成波相位。当当k很大时，它表示一个快速振荡。很大时，它表示一个快速振荡。在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在部分，部分，处有平
30、坦处有平坦因而对积分主要贡献来自于因而对积分主要贡献来自于 点附近。点附近。使使 点称为点称为驻定相位点驻定相位点，所以这种用相位驻定邻近积分，所以这种用相位驻定邻近积分结果来近似代表整个区间准确结果方法称为结果来近似代表整个区间准确结果方法称为驻定相位法驻定相位法。为证实对积分主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量为证实对积分主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量z为实变量为实变量x情形。函数情形。函数 驻点驻点 是使是使 点，如点，如 ，而，而 则称则称 为为 N级驻点。级驻点。41/51考查积分：考查积分：2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 假如积分区间假如积分区间(a,b)
31、内内f(x)没有驻点没有驻点没有驻点没有驻点，g(x)在在(a,b)内可微，则内可微，则可作积分变量代换，而上面积分可记为可作积分变量代换，而上面积分可记为 由由f(x)反演反演x能够表示为能够表示为f 函数，故函数，故 在积分区间是在积分区间是可微。由可微。由分部积分分部积分，得，得 42/51 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 等号右边等号右边第一项第一项在在 时趋于零，其量级为时趋于零，其量级为 ；右边；右边第第二项二项形式上与原积分一样，形式上与原积分一样，可微能对它再进行分部积分，可微能对它再进行分部积分，积分后量级也是积分后量级也是 ，但其前面已经有系数，但其前面
32、已经有系数 ，故上式等，故上式等 号右边第二项量级为号右边第二项量级为，再继续进行分部积分，可见整个，再继续进行分部积分，可见整个 在在k很大时量级最多为很大时量级最多为1/k小量。小量。假如假如在积分区间内在积分区间内 有一个有一个一级驻点一级驻点一级驻点一级驻点，则因为，则因为 而使而使 在在 处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。43/51则：则：后一个积分中把后一个积分中把 f 作为积分变量，则作为积分变量，则 其中：其中：令令 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 它在它在驻点驻点 处处(为为 型型)极限极限为为 ，从而，从而
33、也在积分区间内可微。也在积分区间内可微。由此，上面后一个积分量级也是由此，上面后一个积分量级也是 现在来考虑前一个积分，将现在来考虑前一个积分，将 按按Taylor级数展开，则级数展开，则44/51 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 略去后面高阶项，计及略去后面高阶项，计及g(x)在区间内是在区间内是x缓变函数，于是上述缓变函数，于是上述 积分整个地可写为积分整个地可写为 令令，则，则 再令再令，同时考虑到，同时考虑到 时积分限时积分限，则得，则得 45/51 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 因为因为，得，得 当当 时，第一项量级为时，第一项量级为 积分贡
34、献。所以，与不包含驻点区间相比较，当积分贡献。所以，与不包含驻点区间相比较，当 时，时，也就是包含驻点区间对，也就是包含驻点区间对含驻点区间对积分贡献要主要多。含驻点区间对积分贡献要主要多。计及计及 可能为正或者负，通常把上述结果表示为可能为正或者负，通常把上述结果表示为假如区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点假如区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点都在其中，然后逐一用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。都在其中，然后逐一用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。46/51对于对于复变量复变量情形，积分可写成：情形，积分可写成：于是于是(即鞍点即鞍点)2.6 驻
35、定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 其中其中 是给定积分路径。由是给定积分路径。由 其中其中C 马上得出在马上得出在 点点 从前面讨论可知对积分主要贡献来自相位从前面讨论可知对积分主要贡献来自相位 稳定区域，稳定区域，即应来自即应来自极值点附近。所以希望在经过极值点附近。所以希望在经过 选出一个特定方向，沿此方向，相位选出一个特定方向，沿此方向，相位 能最快速地改变而在能最快速地改变而在 点全部方向中点全部方向中点取极值。点取极值。47/51 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 由由最陡下降法最陡下降法分析可知，如分析可知，如取取 为常数路径为常数路径必为必为 改变最激烈
36、路径。可见，在复变函数情形下驻相法实际改变最激烈路径。可见，在复变函数情形下驻相法实际上是上节最陡下降法取共轭路径结果。上是上节最陡下降法取共轭路径结果。在此路径上，因为在此路径上，因为 为常数，故为常数，故为纯虚数。再将为纯虚数。再将 在在 邻域展开为邻域展开为Taylor级数，略去级数，略去高阶小量，则高阶小量，则48/51 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 故故 也应是纯虚数。若令也应是纯虚数。若令 这里这里 只能取只能取 。当当，则，则在积分路径上令在积分路径上令，因为只沿微小路径进行，可认为，因为只沿微小路径进行，可认为 是直线段，是直线段，不变，因而不变，因而 原
37、积分渐近结果为原积分渐近结果为。应用驻相法，。应用驻相法，49/51即：即：令令 2.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 ，则当，则当 时，对应积分限可取时，对应积分限可取，这么，这么 因为因为 故式中故式中同理，若取同理，若取，也得相同算式。，也得相同算式。50/512.6 驻定相位法驻定相位法 2 渐近方法渐近方法 例：例：求求n阶第一类贝塞尔函数渐近展开，阶第一类贝塞尔函数渐近展开，n为整数。为整数。解：已知贝塞尔函数积分表示式解：已知贝塞尔函数积分表示式这里这里 得驻相点为得驻相点为，且，且，故当，故当 时有时有 所以，取实部并乘以所以，取实部并乘以，得第一类贝塞尔函数渐近展开为，得第一类贝塞尔函数渐近展开为51/51
