1、设曲面设曲面 S 方程为：方程为：如图，如图，4 Applications of Multiple Integral一、The Surface Area 第1页曲面曲面S面积元素面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：第2页设曲面方程为：设曲面方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：设曲面方程为：设曲面方程为：曲面面积公式为：曲面面积公式为：同理可得同理可得第3页利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,则则Eg.1计算圆柱面计算圆柱面 被圆柱面被圆柱面 所截部分面积所截部分面积.Sol.A1曲面方程曲面方程 第4页Sol.Eg.2 求球面求球面含在圆柱面含在圆柱面内部那部分面积
2、内部那部分面积.利用对称性利用对称性,考虑第一卦限部分考虑第一卦限部分,曲面方程曲面方程 则则第5页Sol.两曲面交线为圆周两曲面交线为圆周在在 x o y 平面上投影域为平面上投影域为:第6页第7页二、The Center of Mass of the Lamina第8页当薄片是均匀，重心称为当薄片是均匀，重心称为形心形心.由元素法由元素法第9页薄片关于薄片关于 轴对称轴对称Sol.Eg.4 第10页Sol.第11页所求形心坐标为所求形心坐标为 第12页 Eg.6 在均匀半径为R圆形薄片直径上,要接上一个一边与直径等长一样材料均匀矩形薄片个一边与直径等长一样材料均匀矩形薄片,使整个使整个另一
3、边长度应为多少另一边长度应为多少?Sol.建立坐标系如图建立坐标系如图.由对称性知由对称性知由此解得由此解得问接上去均匀矩形薄片问接上去均匀矩形薄片即有即有薄片重心恰好落在圆心上薄片重心恰好落在圆心上,第13页 Eg.7 计算二重积分其中其中D 是由曲是由曲所围成平面域所围成平面域.Sol.其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域线线形心坐标利用重心公式简化重积分计算利用重心公式简化重积分计算第14页 三、The Moments of Inertia of the Lamina第15页薄片对于薄片对于 轴转动惯量轴转动惯量薄片对于薄片对于 轴转动惯量轴转动惯量第16页Sol.第
4、17页()The Center of Mass 四、Applications of Triple Integral 第18页()The Moments of Inertia 第19页Sol.取球心为原点取球心为原点,z 轴为轴为 l 轴轴,则则球体质量球体质量Eg.9 求均匀球体对于过球心一条轴 l 转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标)第20页薄片对薄片对 轴上单位质点引力轴上单位质点引力为引力常数为引力常数五、引力第21页Sol.由积分区域对称性知由积分区域对称性知第22页所求引力为所求引力为第23页几何应用：曲面面积几何应用：曲面面积物理应用：重心、转动惯量、物理应用：重心、转动惯量、对质点引力对质点引力（注意审题，熟悉相关物理知识）（注意审题，熟悉相关物理知识）小结第24页解解1补充题补充题:计算计算第25页解解 2:其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:积分区域积分区域形心坐标形心坐标第26页练练 习习 题题第27页第28页练习题答案练习题答案第29页
