1、l 由图可知，插值多项式 与原函数 之间 有一定误差。那么，怎样预计这个误差？l依据上节例题，是否能够得出结论：插值多项式次数越高，计算结果越准确？l 插值余项公式和对高次插值多项式问题分析 给出了上述两个问题答案。1/171第三章 插值法和最小二乘法 3.2 插值多项式中误差插值多项式中误差2/172一、插值余项满足插值条件：3/173这就意味着插值多项式存在着截断误差,而通常情况下f(x)准确值都是未知，那么我们该怎样预计这个截断误差呢？定理：设 在含节点 区间a,b上n+1次可微，是关于给定n+1个节点n次插值多项式，则对于 ，存在与x相关 ，使得n次插值多项式 余项（即截断误差）为：4
2、/174证:(1)(2)待定函数5/175(3)(4)6/176依据Rolle定理,再由Rolle定理,因为依这类推所以7/177所以(5)(5)式代入(2)式，得：(6)8/178设实用插值余项预计式：则(7)则(7)则(7)则(7)9/179解:例:则(6)(7)10/171011/1711二、高次插值多项式问题 用 f(x)插值多项式迫近 f(x)时，是否插值节点越密（即多项式次数越高），误差越小？从余项表示式能够看出，插值多项式与被插值函数迫近程度与节点数目和位置是相关。对一些函数，适当提升插值多项式次数，会提升计算精度，但并非插值多项式次数越高，其精度就越高。原因以下：12/1712
3、1）加密插值节点即使能够使插值函数与被插值函在更多节点上取值相等，但却可能使插值多项式函数在一些非节点处震荡加大，因而可能使非节点处误差变大。2）节点加密（多项式次数增高）会增加计算次数，不利于控制舍入误差.13/1713龙格现象(Runge现象)：插值多项式不收敛现象例式，并作图比较.解:14/1714不一样次数 Lagrange 插值多项式比较图-5-4-3-2-1012345-1.52-1-0.500.511.5n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)Runge现象15/1715Runge现象表明：并不是插值多项式次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数提升而升高。在大范围内使用高次插值，迫近效果往往不理想。16/1716补充17/1717
