1、2.1数学起源与发展数学起源与发展2.2数学基本内容数学基本内容2.3数学三次危机与发展数学三次危机与发展自然科学概论自然科学概论Chap.2数学数学第1页2.1.1数学起源数学起源1.最早书写记数系统最早书写记数系统最初数与形概念是在大约两万多年前旧最初数与形概念是在大约两万多年前旧石器时代晚期。石器时代晚期。人类先是产生了人类先是产生了“数数”朦胧概念。他们朦胧概念。他们狩猎而归，猎物或有或无，于是有了狩猎而归，猎物或有或无，于是有了“有有”与与“无无”两个概念。连续几天两个概念。连续几天“无无”兽兽可捕，就没有肉吃了，可捕，就没有肉吃了，“有有”、“无无”概概念便逐步加深。念便逐步加深。
2、自然科学概论自然科学概论2.1数学起源与发展数学起源与发展第2页以后，群居发展为部落。部落由一些组员以后，群居发展为部落。部落由一些组员极少家庭组成。所谓极少家庭组成。所谓“有有”，就分为，就分为“一一”、“二二”、“三三”、“多多”等四种（有部落甚至等四种（有部落甚至连连“三三”也没有）。任何大于也没有）。任何大于“三三”数量，他数量，他们都了解为们都了解为“多多”或者或者“一堆一堆”、“一群一群”。有些酋长虽是长者，却说不出他捕捉过多少种有些酋长虽是长者，却说不出他捕捉过多少种野兽，看见过多少种树，假如问巫医，巫医就野兽，看见过多少种树，假如问巫医，巫医就会编造一些词汇往返答会编造一些词汇
3、往返答“多少种多少种”问题，并煞问题，并煞有其事地吟诵出来。然而，不论怎样，他们已有其事地吟诵出来。然而，不论怎样，他们已经能够用双手说清这么话（用一个指头指鹿，经能够用双手说清这么话（用一个指头指鹿，三个指头指箭）：三个指头指箭）：“要换我一头鹿你得给我要换我一头鹿你得给我三枝箭。三枝箭。”这是他们当初没有算术知识。这是他们当初没有算术知识。自然科学概论自然科学概论第3页大约在大约在1万年以前，冰河退却了。一些从万年以前，冰河退却了。一些从事游牧石器时代狩猎者在中东山区内，开始事游牧石器时代狩猎者在中东山区内，开始了一个新生活方式了一个新生活方式农耕生活。他们碰到了农耕生活。他们碰到了怎样统
4、计日期、季节，怎样计算收藏谷物数、怎样统计日期、季节，怎样计算收藏谷物数、种子数等问题。尤其是在尼罗河谷、底格里种子数等问题。尤其是在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域发展起更复杂农业社斯河与幼发拉底河流域发展起更复杂农业社会时，他们还碰到交纳租税问题。这就要求会时，他们还碰到交纳租税问题。这就要求数有名称。而且计数必须更准确些，只有数有名称。而且计数必须更准确些，只有“一一”、“二二”、“三三”、“多多”，已远远不，已远远不够用了。够用了。大约距今五千年前，终于出现了最早书大约距今五千年前，终于出现了最早书写记数系统。写记数系统。自然科学概论自然科学概论第4页古代非洲尼罗河、西亚底格里斯河
5、和幼古代非洲尼罗河、西亚底格里斯河和幼发拉底河、中南亚印度河和恒河以及东亚黄发拉底河、中南亚印度河和恒河以及东亚黄河和长江，是数学发源地这些地域先民因河和长江，是数学发源地这些地域先民因为从事农业生产需要，从控制洪水和浇灌，为从事农业生产需要，从控制洪水和浇灌，测量田地面积、计算仓库容积、推算适合农测量田地面积、计算仓库容积、推算适合农业生产历法以及相关财富计算、产品交换等业生产历法以及相关财富计算、产品交换等等长久实践活动中积累了丰富经验，并逐步等长久实践活动中积累了丰富经验，并逐步形成了对应技术知识和相关数学知识形成了对应技术知识和相关数学知识2.四大文明古国数学四大文明古国数学第5页(1
6、)古埃及数学古埃及数学非洲东北部有一条举世闻名大河非洲东北部有一条举世闻名大河尼罗河它穿过尼罗河它穿过非洲北部撒拾拉沙漠，流入地中海，两岸狭长地带便成了非洲北部撒拾拉沙漠，流入地中海，两岸狭长地带便成了肥沃绿洲河下游经过地方，孕育了最古老文明之一埃及肥沃绿洲河下游经过地方，孕育了最古老文明之一埃及尼罗河三角州一带盛产一个水草，这种形状如同芦苇尼罗河三角州一带盛产一个水草，这种形状如同芦苇水生植物名字叫水生植物名字叫纸莎草古埃及人把这种草从纵面剖纸莎草古埃及人把这种草从纵面剖成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在成小条，拼排整齐，连接成片，压榨晒干，用来写字，在纸莎草上写字，叫纸草书
7、，有不少古埃及纸草书一直保留纸莎草上写字，叫纸草书，有不少古埃及纸草书一直保留到今天，成为我们考查埃及历史文化宝贵材料到今天，成为我们考查埃及历史文化宝贵材料第6页 埃及人大约在公元前三千五百年就已经有了文字埃及人大约在公元前三千五百年就已经有了文字保留下来最早统计数学知识纸草书，现在就珍藏在大英保留下来最早统计数学知识纸草书，现在就珍藏在大英博物馆写这份纸草书，是生活在公元前一千六百年到博物馆写这份纸草书，是生活在公元前一千六百年到一千八百年阿摩斯从纸草书上，人们发觉古代埃及人一千八百年阿摩斯从纸草书上，人们发觉古代埃及人已学会用数学来管理国家和宗教事物，确定付给劳役者已学会用数学来管理国家
8、和宗教事物，确定付给劳役者酬劳，求谷仓容积和田地面积，按土地面积应征收地税，酬劳，求谷仓容积和田地面积，按土地面积应征收地税，等等这些知识换成数学语言就是：加减乘除运算，分等等这些知识换成数学语言就是：加减乘除运算，分数运算；一元一次方程和一类相当于二元二次方程组特数运算；一元一次方程和一类相当于二元二次方程组特殊问题，纸草书上还相关于等差数列和等比数列问题殊问题，纸草书上还相关于等差数列和等比数列问题他们学会了计算矩形、三角形和梯形面积，长方体，圆他们学会了计算矩形、三角形和梯形面积，长方体，圆柱体，棱台体积等结果，与当代计算值相近，而且，他柱体，棱台体积等结果，与当代计算值相近，而且，他们
9、用公式们用公式A A（8/9d8/9d）2 2，（，（d d为直径）来计算圆面积，为直径）来计算圆面积，相当于取相当于取值为值为3.16053.1605 自然科学概论自然科学概论第7页第8页金字塔是法老坟墓，法老是古埃及皇帝今天，金字塔是法老坟墓，法老是古埃及皇帝今天，在尼罗河三角洲南面散布着七十多座金字塔齐阿在尼罗河三角洲南面散布着七十多座金字塔齐阿普斯皇帝金字塔是其中规模最大一座，塔原普斯皇帝金字塔是其中规模最大一座，塔原146.5米米（现因损坏还高（现因损坏还高137米）基底正方形每边长米）基底正方形每边长233米米（现为（现为227米）不过，各底边长度误差仅为米）不过，各底边长度误差仅
10、为1.6厘厘米，只是全长米，只是全长1/14000，基底直角误差只有，基底直角误差只有12，仅，仅为直角为直角1/27000另外，金字塔正个正面向着东南另外，金字塔正个正面向着东南西北，底面正方形两边与正北偏差，也分别只为西北，底面正方形两边与正北偏差，也分别只为230和和530塔内还有通道、石阶、墓室等这塔内还有通道、石阶、墓室等这座金字塔约建成公元前座金字塔约建成公元前2800年，在年，在1889年巴黎埃菲年巴黎埃菲尔铁塔建成以前尔铁塔建成以前4600多年间，它一直是世界上最高多年间，它一直是世界上最高建筑物建筑物自然科学概论自然科学概论第9页(2)古巴比伦数学古巴比伦数学巴比伦人是指曾居
11、住在底格里斯河与幼发拉底河西巴比伦人是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河西河之间及其流域上一些民族，大约在公元前河之间及其流域上一些民族，大约在公元前1800年，他们年，他们创建了自己国家创建了自己国家巴比伦王国首都巴比伦是今日伊拉巴比伦王国首都巴比伦是今日伊拉克一部分，到了公元前克一部分，到了公元前1700年左右，在汉穆拉比王统治时年左右，在汉穆拉比王统治时期国势强盛，文化得到了高度发展期国势强盛，文化得到了高度发展尽管巴比伦统治者频繁更替，不过，他们对数学知识尽管巴比伦统治者频繁更替，不过，他们对数学知识传输和使用，从远古时代起到亚历山大时代却一直没有间传输和使用，从远古时代起到亚历山大时代
12、却一直没有间断断第10页一百多年前，人们发觉巴比伦人是用楔形文一百多年前，人们发觉巴比伦人是用楔形文字来记数他们是用头部呈三角形木笔把字刻写在字来记数他们是用头部呈三角形木笔把字刻写在软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚韧如石，方软泥板上，然后，用火烧或晒干使它坚韧如石，方便保留下来进行知识交流因为字形状象楔子，所便保留下来进行知识交流因为字形状象楔子，所以人们称为楔形文字因为泥版书需要靠太阳或火以人们称为楔形文字因为泥版书需要靠太阳或火烧烘干，碰到风吹雨淋，难于保留原样，所以流传烧烘干，碰到风吹雨淋，难于保留原样，所以流传到现在泥版书并不多见，而且楔形文字书写也妨碍到现在泥版书并不多见，而且楔
13、形文字书写也妨碍了长篇论著编制了长篇论著编制巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定数巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定数学知识，并能应用于处理实际问题从数学本身看，学知识，并能应用于处理实际问题从数学本身看，他们数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结他们数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证实论和证实自然科学概论自然科学概论第11页在算术方面，他们对整数和分数有了较系统写在算术方面，他们对整数和分数有了较系统写法，在记数中，已经有了位值制观念，从而把算术法，在记数中，已经有了位值制观念，从而把算术推进到一定高度，并用之于处理许多实际问题，尤推进到一定高度，并用之于处理许多实际问题
14、，尤其是天文方面问题其是天文方面问题在代数方面，巴比伦人用特殊名称和记号来表在代数方面，巴比伦人用特殊名称和记号来表示未知量，采取了少数运算记号，解出了含有一个示未知量，采取了少数运算记号，解出了含有一个或较多个未知量几个形式方程，尤其是解出了二次或较多个未知量几个形式方程，尤其是解出了二次方程，这些都是代数开端方程，这些都是代数开端在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间百分比关系和初步毕达哥拉斯定理，会求出简单几百分比关系和初步毕达哥拉斯定理，会求出简单几何图形面积和体积并建立了在特定情况下底面是何图形面积和体积并建立了在特定情况下底面是正方形棱台体
15、积公式正方形棱台体积公式自然科学概论自然科学概论第12页当初古巴比伦和古埃及文明成了当初古巴比伦和古埃及文明成了以后希腊文明源泉以后希腊文明源泉第13页(3)中国古代数学中国古代数学我国是世界上最早文明国家之一我国是世界上最早文明国家之一很早以前，我们祖先从渔猎农事活动中，就接触了很早以前，我们祖先从渔猎农事活动中，就接触了计算和测量，在这方面积累了大量知识计算和测量，在这方面积累了大量知识万里长城和大运河是我国古代文明伟大成就长城万里长城和大运河是我国古代文明伟大成就长城由西至东，在险峻起伏山岭上绵延数千千米，是世界上由西至东，在险峻起伏山岭上绵延数千千米，是世界上仅有巨大土石建筑沟通南北大
16、运河，长达仅有巨大土石建筑沟通南北大运河，长达1700多千米，多千米，朴实壮观，是非常出色水利工程我国人民在长城和运朴实壮观，是非常出色水利工程我国人民在长城和运河建造过程中，积累了大量几何测量、数学计算和土木河建造过程中，积累了大量几何测量、数学计算和土木工程等方面知识工程等方面知识第14页中国早在五六千年前，就有了数学符号，到三中国早在五六千年前，就有了数学符号，到三千多年前商朝，刻在甲骨或陶器上数字已十分常见千多年前商朝，刻在甲骨或陶器上数字已十分常见这时，自然数计数都采取了十进位制甲骨文中这时，自然数计数都采取了十进位制甲骨文中就有从一到十、百、千、万等就有从一到十、百、千、万等13个
17、记数单位个记数单位我国古代计算，不是用记数文字进行，而是用我国古代计算，不是用记数文字进行，而是用算筹，很有特色算筹就是一些用木、竹制作匀称算筹，很有特色算筹就是一些用木、竹制作匀称小棍，算筹纵横布置，就能够表示任何一个自然数小棍，算筹纵横布置，就能够表示任何一个自然数据考证，最少在公元前据考证，最少在公元前8世纪到公元前世纪到公元前5世纪春秋世纪春秋时代，我国算筹记法就已经完备，而印度正式使用时代，我国算筹记法就已经完备，而印度正式使用0这一符号是在公元这一符号是在公元876年以后只有表示年以后只有表示0方法使方法使用后，十进制才算完备所以，中国是名副其实十用后，十进制才算完备所以，中国是名
18、副其实十进制故乡进制故乡自然科学概论自然科学概论第15页著名数学著作九章算术大约成书于著名数学著作九章算术大约成书于公元四五十年间东汉早期，全书采取问题形公元四五十年间东汉早期，全书采取问题形式编写，内容丰富多彩，包含了许多算术、式编写，内容丰富多彩，包含了许多算术、几何、代数和三角知识，是一部非常出色数几何、代数和三角知识，是一部非常出色数学专著，它对我国数学发展影响深远九学专著，它对我国数学发展影响深远九章算术不只在中国数学史上占有十分主要章算术不只在中国数学史上占有十分主要地位，而且影响远及国外朝鲜和日本都曾地位，而且影响远及国外朝鲜和日本都曾用它作为教科书，欧洲在中世纪一些算法，用它作
19、为教科书，欧洲在中世纪一些算法，比如分数和百分比，就可能是从中国传入印比如分数和百分比，就可能是从中国传入印度，再经阿拉伯传入欧洲在阿拉伯和欧洲度，再经阿拉伯传入欧洲在阿拉伯和欧洲早期数学著作中，把早期数学著作中，把“盈不足盈不足”称为称为“中国中国算法算法”就是一个证实就是一个证实自然科学概论自然科学概论第16页(4)古代印度数学古代印度数学印度在亚洲南部春天到来时候，北边喜玛拉雅印度在亚洲南部春天到来时候，北边喜玛拉雅山上积雪开始融化，聚集成五条急流，汇总流入印度河山上积雪开始融化，聚集成五条急流，汇总流入印度河很早以前，在丰饶印度河谷地，就出现了上古居民达很早以前，在丰饶印度河谷地，就出
20、现了上古居民达罗毗托人，世界上最古老文化之一就发源在这里在一罗毗托人，世界上最古老文化之一就发源在这里在一些方面，达罗毗托人文化比埃及文化要高，他们有自己些方面，达罗毗托人文化比埃及文化要高，他们有自己文字，有十进制算法大约公元前两千年时候，印度就文字，有十进制算法大约公元前两千年时候，印度就已经使用了五十一个字母组成文字，数学在印度曾被认已经使用了五十一个字母组成文字，数学在印度曾被认为是最主要科学之一印度是个信仰佛教国家，和许多为是最主要科学之一印度是个信仰佛教国家，和许多古老民族一样，它头一批数学家是僧侣古老民族一样，它头一批数学家是僧侣第17页在公元前在公元前3世纪，印度就有了数记号公
21、元世纪，印度就有了数记号公元2世世纪到纪到12世纪之间，古印度人就学会了应用数字符号世纪之间，古印度人就学会了应用数字符号和和0，而且和现在数字已很相同以后，印度引进，而且和现在数字已很相同以后，印度引进了十进制位值制，数运算大大地简化了，计数也愈了十进制位值制，数运算大大地简化了，计数也愈加简练加简练印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动印度人很早就会用负数表示欠债和反方向运动他们也接收了无理数他们知道含有实解二次方他们也接收了无理数他们知道含有实解二次方程有两种形式根他们用熟悉配方法统一了二次方程有两种形式根他们用熟悉配方法统一了二次方程代数解这种方法今天常称为印度方法程代数解这种方法今
22、天常称为印度方法印度人对几何学并不精通他们几何学多半是印度人对几何学并不精通他们几何学多半是凭经验，而且普通与测量相联络凭经验，而且普通与测量相联络自然科学概论自然科学概论第18页第19页古希腊地理范围，除了现在希腊半岛外，还包含古希腊地理范围，除了现在希腊半岛外，还包含整个爱琴海区域和北面马其顿和色雷斯、意大利半岛和整个爱琴海区域和北面马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前小亚细亚等地。公元前5、6世纪，尤其是希、波战争以世纪，尤其是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦领导地位，经济生活高度繁荣，后，雅典取得希腊城邦领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提升，在这个基础上产生了光芒灿烂
23、希腊文生产力显著提升，在这个基础上产生了光芒灿烂希腊文化，对后世有深远影响。化，对后世有深远影响。希腊数学发展历史能够分为三个时期。第一期从伊希腊数学发展历史能够分为三个时期。第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得到公元前三世纪；第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前起到公元前146年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历年，希腊陷于罗马为止；第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下时期，结束于山大后期，是罗马人统治下时期，结束于641年亚历山年亚历山大被阿拉伯人占领。大被阿拉伯人占领
24、。自然科学概论自然科学概论3.古希腊数学巨大成就古希腊数学巨大成就第20页(1)泰勒斯泰勒斯米利都是伊奥尼亚最大城市，也是泰勒斯故乡，米利都是伊奥尼亚最大城市，也是泰勒斯故乡，泰勒斯是公认希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾泰勒斯是公认希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来知识，并加以发扬。以后创建伊奥尼亚哲学学派，知识，并加以发扬。以后创建伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物根源。根源。当初天文、数学和哲学是不可分，泰勒斯同时当初天文、数学和哲学
25、是不可分，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南在今黑海、里海之南)、吕底亚、吕底亚(今土耳其西部今土耳其西部)两两国停顿战争，多数学者认为该次日食发生在公元前国停顿战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年年5月月28日。他在埃及时曾利用日影及百分比关日。他在埃及时曾利用日影及百分比关系算出金字塔高，使法老大为诧异。系算出金字塔高，使法老大为诧异。自然科学概论自然科学概论第21页泰勒斯在数学方面贡献是开始了命题证泰勒斯在数学方面贡献是开始了命题证实，它标志着人们对客观事物认识从感性上实，它标志着人们对客观事物
26、认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常飞跃。升到理性，这在数学史上是一个不寻常飞跃。伊奥尼亚学派著名学者还有阿纳克西曼德和伊奥尼亚学派著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对以后毕达哥拉斯有阿纳克西米尼等。他们对以后毕达哥拉斯有很大影响。很大影响。自然科学概论自然科学概论第22页(2)毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯公元前毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部克罗顿。在那里组织一个脱暴政，移居意大利半岛南部克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一秘密团体。以后在政治斗政治、宗教、哲学、数学合一秘密团体。以后
27、在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他学派还继续存争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他学派还继续存在两个世纪之久。在两个世纪之久。毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不但仅认为毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不但仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发觉勾股定万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发觉勾股定理理(西方叫做毕达哥拉斯定理西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此造成不闻名于世，又由此造成不可通约量发觉。可通约量发觉。第23页这个学派还有一个特点，就是将算术和这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联络起来。他们找到用三个正整数几何紧密联络起来。他们找到用三个正整数表示
28、直角三角形三边长一个公式，又注意到表示直角三角形三边长一个公式，又注意到从从1起连续奇数和必为平方数等等，这既是起连续奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何相关，他们还发觉五种算术问题，又和几何相关，他们还发觉五种正多面体。正多面体。伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著伊奥尼亚学派和毕达哥拉斯学派有显著不一样。前者研习数学并不单纯为了哲学兴不一样。前者研习数学并不单纯为了哲学兴趣，同时也为了实用。而后者却不重视实际趣，同时也为了实用。而后者却不重视实际应用，将数学和宗教联络起来，想经过数学应用，将数学和宗教联络起来，想经过数学去探索永恒真理。去探索永恒真理。自然科学概论自然科学概论第24
29、页（3）柏拉图与亚里士多德）柏拉图与亚里士多德公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面作用，他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面作用，而忽略其实用价值。他主张经过几何学习培养逻辑思维而忽略其实用价值。他主张经过几何学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈直观印象，将抽象逻辑规能力，因为几何能给人以强烈直观印象，将抽象逻辑规律表达在详细图形之中。律表达在详细图形之中。这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创建了百分比论，是欧几里
30、得前驱。柏学于柏拉图，他创建了百分比论，是欧几里得前驱。柏拉图学生亚里士多德也是古代大哲学家，是形式逻辑奠拉图学生亚里士多德也是古代大哲学家，是形式逻辑奠基者。他逻辑思想为日后将几何学整理在严密逻辑体系基者。他逻辑思想为日后将几何学整理在严密逻辑体系之中开辟了道路。之中开辟了道路。第25页（4）欧几里得）欧几里得公元前四世纪以后希腊数学，逐步脱离哲学和天公元前四世纪以后希腊数学，逐步脱离哲学和天文学，成为独立学科。数学历史于是进入一个新阶段文学，成为独立学科。数学历史于是进入一个新阶段初等数课时期。初等数课时期。这个时期特点是，数学这个时期特点是，数学(主要是几何学主要是几何学)已建立起自己已
31、建立起自己理论体系，从以试验和观察为依据经验科学过渡到演理论体系，从以试验和观察为依据经验科学过渡到演绎科学。由少数几个原始命题绎科学。由少数几个原始命题(公理公理)出发，经过逻辑出发，经过逻辑推理得到一系列定理。这是希腊数学基本精神。推理得到一系列定理。这是希腊数学基本精神。在这一时期里，初等几何、算术初等代数大致己在这一时期里，初等几何、算术初等代数大致己成为独立科目。和成为独立科目。和17世纪出现解析几何学、微积分学世纪出现解析几何学、微积分学相比，这一个时期研究内容能够用相比，这一个时期研究内容能够用“初等数学初等数学”来概来概括，所以叫做初等数课时期。括，所以叫做初等数课时期。第26
32、页从公元前四世纪到公元前从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，为地中海区域统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，到达它全盛时期。这里有巨大图书馆和浓厚学术空气，各到达它全盛时期。这里有巨大图书馆和浓厚学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大是亚历山地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。欧几里得几何原本是一部划时代著作。其伟大历欧几里得几何原本是一部划时代著作。其伟大历史意义在于它是用公理法建
33、立起演绎体系最早典范。过去史意义在于它是用公理法建立起演绎体系最早典范。过去所积累下来数学知识，是零碎、片断，能够比作砖瓦木石；所积累下来数学知识，是零碎、片断，能够比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间内在联络，整理在一个严密系统之中，比较，揭露彼此间内在联络，整理在一个严密系统之中，才能建成宏伟大厦。几何原本表达了这种精神，它对才能建成宏伟大厦。几何原本表达了这种精神，它对整个数学发展产生了深远影响。整个数学发展产生了深远影响。第27页阿基米德是物理学家兼数学家，他善于将抽象理论和阿基米德是物理学家
34、兼数学家，他善于将抽象理论和工程技术详细应用结合起来，又在实践中洞察事物本质，工程技术详细应用结合起来，又在实践中洞察事物本质，经过严格论证，使经验实际上升为理论。他依据力学原理经过严格论证，使经验实际上升为理论。他依据力学原理去探求处理面积和体积问题，已经包含积分学初步思想。去探求处理面积和体积问题，已经包含积分学初步思想。阿波罗尼奥斯主要贡献是对圆锥曲线深入研究。阿波罗尼奥斯主要贡献是对圆锥曲线深入研究。除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼大地测量和以他除了三大数学家以外，埃拉托斯特尼大地测量和以他为名为名“素数筛子素数筛子”也很知名。天文学家喜帕恰斯制作也很知名。天文学家喜帕恰斯制作“弦弦表
35、表”，是三角学先导。，是三角学先导。公元前公元前146年以后，在罗马统治下亚历山大学者仍能年以后，在罗马统治下亚历山大学者仍能继承前人工作，不停有所创造。海伦继承前人工作，不停有所创造。海伦(约公元约公元62)、门纳劳、门纳劳斯斯(约公元约公元100)、帕普斯等人都有主要贡献。天文学家托、帕普斯等人都有主要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯工作加以整剪发挥，奠定了三角学基础。勒密将喜帕恰斯工作加以整剪发挥，奠定了三角学基础。第28页晚期希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表晚期希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯人物有尼科马霍斯(约公元约公元100)和丢番图和丢番图(约约25
36、0)前者是杰前者是杰拉什拉什(今约旦北部今约旦北部)地方人。著有算术入门，后者算地方人。著有算术入门，后者算术是讲数理论，而大部分内容能够归入代数范围。它完术是讲数理论，而大部分内容能够归入代数范围。它完全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响全脱离了几何形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于几何原本。之大，仅次于几何原本。公元公元325年，罗马帝国君士坦丁大帝开始利用宗教作年，罗马帝国君士坦丁大帝开始利用宗教作为统治工具，把一切学术都置于基督教神学控制之下。为统治工具，把一切学术都置于基督教神学控制之下。公元公元529年，东罗马帝国皇帝查士年，东罗马帝国皇帝查士丁尼下令
37、关闭雅丁尼下令关闭雅典柏拉图学园以及其它学校，禁止传授数学。许多希腊学典柏拉图学园以及其它学校，禁止传授数学。许多希腊学者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重打击。者逃到叙利亚和波斯等地。数学研究受到沉重打击。641年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数年，亚历山大被阿拉伯人占领，图书馆再次被毁，希腊数学至此告一段落学至此告一段落。第29页2.1.2数学发展简史数学发展简史1.萌芽时期萌芽时期(算术和几何，公元前五世纪前算术和几何，公元前五世纪前)(1)关于数概念关于数概念(正整数正整数)起初人们对于数只是含糊地知道多、少，即这一物起初人们对于数只是含糊地知道多、少，即这一物体集
38、合与另一物体集合大小。这就把数与集合联络起来。体集合与另一物体集合大小。这就把数与集合联络起来。深入认识是数是物体集合性质，但没有当成抽象数，只深入认识是数是物体集合性质，但没有当成抽象数，只是与详细对象相类比。比如是与详细对象相类比。比如5，就是，就是手指数手指数，也可叫，也可叫脚指数脚指数所以数有不一样名称，都带有所以数有不一样名称，都带有名称名称(名数名数)，进，进而因为比较就产生了而因为比较就产生了对应对应，比如数一件东西弯一下手，比如数一件东西弯一下手指。于是这个阶段数概念是：每一个单个数，是物体集指。于是这个阶段数概念是：每一个单个数，是物体集合一个性质。合一个性质。第30页(2)
39、数计算、运算数计算、运算先发觉了单个数之间关系，比如先发觉了单个数之间关系，比如14是在是在10上上多一个多一个4。这么逐步建立了计算普通规律，还发。这么逐步建立了计算普通规律，还发觉了一规律觉了一规律14也能够是也能够是4上多一个上多一个10，(加法交换加法交换律律)，算术算术就成了含有一定关系和规律系统，就成了含有一定关系和规律系统，算术算术起源于希腊字起源于希腊字计算艺术计算艺术(TexHe-艺术艺术)。算术运算即是确定数之间一个联络，也能够说算算术运算即是确定数之间一个联络，也能够说算术是关于现实量关系科学，这种关系是抽象，是术是关于现实量关系科学，这种关系是抽象，是在纯粹形式上加以研
40、究。在纯粹形式上加以研究。第31页(3)数学符号出现数学符号出现伴随需要发展出现了抽象数物质外壳，比如伴随需要发展出现了抽象数物质外壳，比如阿拉伯数字阿拉伯数字8曾为曾为。数字符号成了抽象数概。数字符号成了抽象数概念详细化身。有了数字符号以后用念详细化身。有了数字符号以后用笔算笔算比比心心算算更轻易。有了数字符号，以后就出现了其它更轻易。有了数字符号，以后就出现了其它一些数学符号比如一些数学符号比如+、等。数学符号使计等。数学符号使计算成了机械动作。比如加法时进位能够算成了机械动作。比如加法时进位能够进点进点表示要进一位，数学符号推进了数学发展。表示要进一位，数学符号推进了数学发展。第32页(
41、4)几何产生几何产生几何产生历史本质上同算术一样，最初一些几何概念和知识也是在实践活动进程中产生。人从自然界本身提取出几何形式。月亮圆形和镰刀形，湖水平面，光线和整齐树木直，由这么抽象出几何图形，物体存在空间形式。几何量概念(长度、面积、体积)也是从实践活动中产生，由详细抽象出来。进而又发觉了一些几何关系，比如位置之间关系，数量之间关系等。当初几何只是一些规则聚集，不是由自己定理和证实理论科学几何学。第33页公元前七世纪时几何从埃及传到了希腊，当初公元前七世纪时几何从埃及传到了希腊，当初哲学唯物主义者法勒斯、德莫克利特等人将它发展，哲学唯物主义者法勒斯、德莫克利特等人将它发展，毕达哥拉斯门徒们
42、也做出了贡献、几何朝着积累新毕达哥拉斯门徒们也做出了贡献、几何朝着积累新事实和说明它们相互间关系方向发展，这些关系逐事实和说明它们相互间关系方向发展，这些关系逐步转变为从一些几何原理得到另一些原理逻辑推理，步转变为从一些几何原理得到另一些原理逻辑推理，用这种方法形成了关于几何定理及其证实概念本身，用这种方法形成了关于几何定理及其证实概念本身，追溯到了基本原理追溯到了基本原理(公理公理)，而成为了科学几何学。，而成为了科学几何学。到了欧几里得几何原本几何已经表述如此严密到了欧几里得几何原本几何已经表述如此严密系统，今后二千年都没有增加新内容，成为数学著系统，今后二千年都没有增加新内容，成为数学著
43、作典范。作典范。第34页2.初等数课时期（初等数课时期（前五世纪到十七世纪前五世纪到十七世纪）初等数学是指常量数学而言。从公元前五世纪到公元初等数学是指常量数学而言。从公元前五世纪到公元十七世纪大约历经了二千多年。这个时期又分为三个阶段十七世纪大约历经了二千多年。这个时期又分为三个阶段(1)希腊时期希腊时期(公元前公元前5世纪到世纪到6世纪世纪)这一阶段几何发展得很辉煌。欧几里得几何原本这一阶段几何发展得很辉煌。欧几里得几何原本在希腊人发展下已经成为更完整系统，而在此基础上他们在希腊人发展下已经成为更完整系统，而在此基础上他们研究了圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线；证实了一些射研究了圆锥曲线：椭
44、圆、双曲线、抛物线；证实了一些射影几何初步定理；以天文学需要为指南球面几何以及三角影几何初步定理；以天文学需要为指南球面几何以及三角学原理，吉巴尔赫在公元前二世纪计算出最初一些正弦表；学原理，吉巴尔赫在公元前二世纪计算出最初一些正弦表；还确定了一系列复杂图形面积和体积，还确定了一系列复杂图形面积和体积，(阿基米德计算证阿基米德计算证实了抛物线弓形面积实了抛物线弓形面积)。在算术和代数领域中，数论基础在算术和代数领域中，数论基础已出现。已出现。第35页(2)东方时期东方时期(公元五世纪公元五世纪-十五世纪十五世纪)伴随希腊在历史上消亡，希腊科学东渐到中亚和阿伴随希腊在历史上消亡，希腊科学东渐到中
45、亚和阿拉伯及印度等地域。这一阶段数学发展与当初航海及天文拉伯及印度等地域。这一阶段数学发展与当初航海及天文有着亲密关系尤其是计算上需要非常突出。不少数学家又有着亲密关系尤其是计算上需要非常突出。不少数学家又都是天文学家。印度人创造了当代计数法，他们引进了负都是天文学家。印度人创造了当代计数法，他们引进了负数、并把负数与正数对立起来与财产存欠和直线上两个方数、并把负数与正数对立起来与财产存欠和直线上两个方向对立联络起来，无理量被引入而且被运算，逐步建立了向对立联络起来，无理量被引入而且被运算，逐步建立了代数运算符号代数运算符号(已经有了求根符号已经有了求根符号)对数普通定义奥玛尔对数普通定义奥玛
46、尔海扬指明为：两个量任何比都能够称为数。海扬指明为：两个量任何比都能够称为数。(不论是通约不论是通约或不通约量或不通约量)，这就是牛顿在数学原理中把数，这就是牛顿在数学原理中把数了解为了解为单位集合，不如把数了解为某个量对另一个被取作单位量单位集合，不如把数了解为某个量对另一个被取作单位量抽象比。抽象比。这个数能够是整数，有理数或无理数。这个数能够是整数，有理数或无理数。第36页(3)欧洲发展欧洲发展(十五世纪十五世纪-十六世纪末十六世纪末)伴随文艺复兴，欧洲人把希腊和中东时期数学伴随文艺复兴，欧洲人把希腊和中东时期数学结果引入。到公元十六世纪已经越过了前人成就。结果引入。到公元十六世纪已经越
47、过了前人成就。意大利人在普通形式上解了三次方程和四次方程，意大利人在普通形式上解了三次方程和四次方程，这个时期开始利用虚数，创造了当代代数符号，用这个时期开始利用虚数，创造了当代代数符号，用字母表示已知数，十进小数也被使用。字母表示已知数，十进小数也被使用。1614年英国年英国人纳皮尔创造了供天文计算作参考对数，人纳皮尔创造了供天文计算作参考对数，1624年布年布利格计算出第一批十进位对数表，出现了利格计算出第一批十进位对数表，出现了组合论组合论，这个时期对常量数学，这个时期对常量数学(初等数学初等数学)基本上完成了。基本上完成了。第37页3.变量数学变量数学到十六世纪对于运动过程中量之间依赖
48、关系研究促到十六世纪对于运动过程中量之间依赖关系研究促进了函数发展。变量在改变过程中有主从关系和依赖关系，进了函数发展。变量在改变过程中有主从关系和依赖关系，从大量实际问题中抽象为从大量实际问题中抽象为y=f(x)这种数学关系，专门研究这种数学关系，专门研究函数领域叫数学分析，有些人把数学分析称为无穷小量分函数领域叫数学分析，有些人把数学分析称为无穷小量分析，因为无穷小量是研究函数主要工具，数学分析是在已析，因为无穷小量是研究函数主要工具，数学分析是在已形成着力学材料基础上，在几何问题和从代数中引出方法形成着力学材料基础上，在几何问题和从代数中引出方法问题和基础上建立起来。问题和基础上建立起来
49、。1637年笛卡儿在几何学这本年笛卡儿在几何学这本书中提出了一个基本思想，把书中提出了一个基本思想，把x2+y2=a2，中，中x，y看成变量，看成变量，它们又能够表示成它们又能够表示成F(x，y)=0，他又引进了直角坐标系和，他又引进了直角坐标系和点坐标，把平面上点与有序实数对点坐标，把平面上点与有序实数对(点坐标点坐标)联络起来，把联络起来，把方程方程(函数函数)和点轨迹联络起来，逐步形成了解析几何思想。和点轨迹联络起来，逐步形成了解析几何思想。第38页牛顿和莱布尼茨建立微积分也是变量数学发展，它研牛顿和莱布尼茨建立微积分也是变量数学发展，它研究函数本身性质。微积分起源于作曲线切线和求面积和
50、体究函数本身性质。微积分起源于作曲线切线和求面积和体积问题，其中极限概念很主要。积问题，其中极限概念很主要。同微分一道出现了级数理论，微分方程论，微分几何。同微分一道出现了级数理论，微分方程论，微分几何。微分方程研究方程中未知项已不是量而是函数，即一个量微分方程研究方程中未知项已不是量而是函数，即一个量对另几个量相依规律。这些都直接与力学中运动规律相关，对另几个量相依规律。这些都直接与力学中运动规律相关，以后变分学，微分方程定性理论，复变函数论相继出现。以后变分学，微分方程定性理论，复变函数论相继出现。到十七世纪射影几何，画法几何也问世了。再以后研究到十七世纪射影几何，画法几何也问世了。再以后
