1、第第6章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分刘东毅刘东毅天津大学理学院数学系天津大学理学院数学系第1页第第6章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分主要目标：主要目标：r讨论数值积分基本理论与方法m代数精度概念m数值稳定性m插值型数值积分思想m复化求积方法思想m变步长求积方法mGuass 求积公式r讨论求数值微分各种方法主要内容主要内容:r数值积分公式及其代数精度r插值型数值积分公式 与 Newton-Cotes 公式r复化求积法r变步长梯形公式 与 Romberg 算法r Guass 求积公式r数值微分第2页6.1 数值积分公式及其代数精度数值积分公式及其代数精度1.数值积分公式定义：
2、数值积分公式定义：设 f(x)在节点 处函数值为f(xk)(k=0,1,.,n),取上述这些函数值带权和作为 近似值,称上式为数值积分公式数值积分公式。xk(k=0,1,.,n)称为求积节点。权 Ak 又称求积系数,Ak 仅与 xk 选取相关。称 为数值求积公式余项余项。(6.1.1)即令(6.1.2)第3页 2.数值积分公式代数精度数值积分公式代数精度 利用余项 R(f)能够描述数值积分公式精度,而刻画其精度另一概念是代数精度.定义定义6.1.1 若数值积分公式对于一切次数 m 代数多项式,都准确成立,称其最少含有 m 次代数精度;若数值积分公式对于一切次数m 代数多项式都准确成立,而对于某
3、个 m+1 次代数多项式不准确成立,则称此求积公式含有m 次代数精度.定理定理6.1.1 数值积分公式含有 m 次代数精度充分必要条件是当 f(x)=1,x,x2,.,xm 时数值积分公式准确成立,而当 f(x)=xm+1 时其不准确成立.按以上定义易知第4页中待定系数 A0,x1,A1,使其代数精度尽可能高,并指出所确定求积公式代数精度.解：令 f(x)=1,x,x2 使之准确成立,则有例例6.1.1.确定以下数值积分公式第5页取 f(x)=x3 时,上式左边=右边=1/4。取 f(x)=x4 时，上式左边=1/5，右边=5/24，左边 右边。所以确定求积公式含有3 次代数精度。下面确定数值
4、积分公式代数精度。第6页6.2 插值型数值积分公式与插值型数值积分公式与 Newton-Cotes 公式公式1.插值型数值积分公式插值型数值积分公式 设 f(x)在插值节点 a x0 x1 .0，m为正整数，步长h=(b-a)/2m。即将积分区间即将积分区间分割成分割成2m等份。等份。Step 2.计算 这里 Step 3.计算 这里 将每一将每一个小子个小子区间二区间二等分，等分，即步长即步长折半。折半。Step 4.假如，则停顿，输出值 ,不然，置 m=m+1，h:=h/2，转到Step 3。第30页例6.4.1 用变步长梯形公式计算积分（准确到10-6）解解:对于 ,定义 f(0)=1,
5、首先在区间 0,1 上用梯形公式（即步长 h=1）,求得将 0,1 对分,它中点函数值 ,则有假如 不成立，则 h=h/2=1/2，计算第31页如此继续下去,计算结果以下表假如 不成立，则 h=h/2=1/2，继续计算。第32页kkT 2kT 2k0123456789100.920 735 50.939 793 30.944 513 50.945 690 90.945 985 00.946 059 60.946 076 90.946 081 50.946 082 70.946 083 00.946 083 1从上表可看出,将积分区间对分了10次,求得 I 近似值为0.9460831(积分准确值
6、为0.9460831.),可见收敛速度比较迟缓。第33页2.Richardson外推算法外推算法 若用一个步长为 h 函数 I1(h)去迫近问题 I,设其截断误差可表示为 为了提升迫近精度，选取 q 为满足 正数,将上式(1)中 h 换为 qh,则有 其中 是与h无关常数,而且，(1)由(1)可知I1(h)迫近I误差为。(2)第34页(2)式减上式,得式(1)两端同乘以 得 (1)(2)第35页则 I2(h)迫近I 误差降为令其中 是与h无关常数,则有，如此继续。第36页 普通地,选取 q 为满足 正数,由此得到序列则 Im+1(h)迫近 I 误差由下面定理给出。定理定理 6.4.1 设 I1
7、(h)迫近 I 截断误差由下式给出则 Im+1(h)迫近 I 截断误差为其中 是与 h 无关常数。这种利用序列这种利用序列Im+1(h)逐步加速去迫近逐步加速去迫近 I 方法方法称为称为Richardson外推算法外推算法Richardson外推公式外推公式第37页3.Romberg 算法算法 Romberg 算法是利用变步长梯形求积序列 外推加速外推加速来迫近积分真值算法.考虑积分由复化梯形公式有现在将 Tn 记为 T1(h),即第38页 设 f(x)在区间 a,b 上任意次可微,依据 Euler-Maclaurin公式有其中 是与 h 无关常数。因为Pm=2m,带入上式整理后得易知 Tm+
8、1(h)迫近 I 误差为误差为 O(h2(m+1)，这种算法称为 Romberg算法算法。，。则有 选取 利用 Richardson 外推公式,第39页知T2(h)=Sn，当m=1时，由上式得则 T2(h)迫近 I 误差为 O(h4)。由 T1(h)=Tn 和故有这是因为 从二分前后两个复化梯形值生成复化 Simpson值 Sn,将误差 O(h2)变为O(h4),从而提升了逼近精度第40页 当 m=2 时,则 T3(h)迫近 I 误差为 O(h6)。由T2(h)=Sn,能够证实 T3(h)=Cn,故有能从二分前后两个复化Simpson值生成复化Cotes值Cn,将误差O(h4)变为O(h6),
9、从而提升了迫近精度。第41页则 T4(h)迫近 I 误差为 O(h8)。上式称为 Romberg 公式公式,利用此公式能从二分前后两个复化 Cotes值生成 Romberg 值 Rn,且 Rn 迫近迫近 I 误差为误差为 O(h8).由 T3(h)=Cn 知则有令 Rn=T4(h)，当 m=3 时,第42页 这么能够从变步长梯形序列 出发,可逐次 求 得 Simpson 序列 ,Cotes 序列 ,Romberg 序列 ，利用 Romberg 序列 还能够继续外推，但因为继续外推后组成新求积序列与原来序列差异不大,故通常只外推到 Romberg 序列为止。第43页 T 1 T 2 T 4 T
10、8 S 1 S 2 S 4 C 1 C 2 R 1其中 表示计算次序,k代表二分次数.假如 f(x)在区间 a,b 上充分光滑,能够证实上表中各列都收敛到积分 所以当同一列中相邻两个数所以当同一列中相邻两个数之差绝对值小于预给精度之差绝对值小于预给精度时终止计算时终止计算.Romberg 算法算法计算过程计算过程第44页例6.4.2 用 Romberg 算法计算以下积分解:由变步长梯形公式求得二分 3 次复化梯形值 T2,T4,T8,它们精度都很低.利用 Romberg 算法对其进行加工,结果列于下表.从此表能够看出,利用上述二分 3 次复化梯形值,采取 Romberg 算法加速三次取得了变步长梯形公式二分 10 次才能取得结果,所以加速效果是相当显著.0.920 735 50.939 793 30.944 513 50.945 690 90.946 145 90.946 086 90.946 083 40.946 083 00.946 083 10.946 083 1第45页第46页
