1、北北 师师 大大 八八 年年 级级 数数 学学(上上)1、你能证实它们吗、你能证实它们吗(1)北北北北 师师师师 大大大大 九九九九 年年年年 级级级级 上上上上 数数数数 学学学学 11/14/20241第1页本节课学些什么？本节课学些什么？重点重点:难点难点:2 2、了解作为证实基础几条公理内容，了解作为证实基础几条公理内容，了解作为证实基础几条公理内容，了解作为证实基础几条公理内容，掌握证实基本步骤和书写格式。掌握证实基本步骤和书写格式。掌握证实基本步骤和书写格式。掌握证实基本步骤和书写格式。3 3、经历经历经历经历“探索发觉猜测证实探索发觉猜测证实探索发觉猜测证实探索发觉猜测证实”过程
2、。过程。过程。过程。能够用综正当证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。能够用综正当证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。能够用综正当证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。能够用综正当证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。能够用综正当能够用综正当能够用综正当能够用综正当证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。证实等腰三角形相关性质定理和判定定理。了解作为证实基础几条公理内容，了解作为证实基础几条公理内容，了解作为证实基础几条公理内容，了解作为证实基础几条公理内容，掌握证实基本步骤和书写格式。掌握证实基本步骤和书写格式。掌握
3、证实基本步骤和书写格式。掌握证实基本步骤和书写格式。1 1、回顾与巩固上学期证实回顾与巩固上学期证实回顾与巩固上学期证实回顾与巩固上学期证实(一一一一)相关内容相关内容相关内容相关内容;11/14/20242第2页w w在生活实践中，人离不开交流在生活实践中，人离不开交流在生活实践中，人离不开交流在生活实践中，人离不开交流.w w交流必须对一些名称和术语有共同认识才能进行。交流必须对一些名称和术语有共同认识才能进行。交流必须对一些名称和术语有共同认识才能进行。交流必须对一些名称和术语有共同认识才能进行。w w比如比如比如比如:w w“含有中华人民共和国国籍人含有中华人民共和国国籍人含有中华人民
4、共和国国籍人含有中华人民共和国国籍人,叫做中华人民共和国公民叫做中华人民共和国公民叫做中华人民共和国公民叫做中华人民共和国公民”是是是是“中华人民共和国公民中华人民共和国公民中华人民共和国公民中华人民共和国公民”定义定义定义定义;w w为此为此为此为此,就要对名称和术语含义加以描述就要对名称和术语含义加以描述就要对名称和术语含义加以描述就要对名称和术语含义加以描述,作出明确要求作出明确要求作出明确要求作出明确要求,也就也就也就也就是给出它们是给出它们是给出它们是给出它们定义定义定义定义.w w“两点之间两点之间两点之间两点之间 线段长度线段长度线段长度线段长度,叫做这两点之间距离叫做这两点之间
5、距离叫做这两点之间距离叫做这两点之间距离”是是是是“两点之间距离两点之间距离两点之间距离两点之间距离”定义定义定义定义;w w“两组对边分别平行四边形叫做平行四边形两组对边分别平行四边形叫做平行四边形两组对边分别平行四边形叫做平行四边形两组对边分别平行四边形叫做平行四边形”是是是是“平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形”定义定义定义定义;w你还能举出曾学过你还能举出曾学过“定义定义”吗吗?名词、术语名词、术语 与与 定义定义11/14/20243第3页w w下列图表示某地一个浇灌系统下列图表示某地一个浇灌系统下列图表示某地一个浇灌系统下列图表示某地一个浇灌系统.w w上面上面上面上面“假如
6、假如假如假如,那么那么那么那么”都是对事情进行判断语句都是对事情进行判断语句都是对事情进行判断语句都是对事情进行判断语句.判断一件事情句子判断一件事情句子判断一件事情句子判断一件事情句子,叫做叫做叫做叫做命题命题命题命题.w w假如假如假如假如B B B B处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染,那么那么那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染;w w假如假如假如假如C C C C处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染,那么那么那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染;w w假如假如假如假如
7、D D D D处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染处水流受到污染,那么那么那么那么 处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染处水流便受到污染;w wA AB BC C E E F F H H GGD D K K J J I I I IC,E,F,GC,E,F,GE EKK做一做判断判断 与与 命题命题11/14/20244第4页以下句子都是命题吗？以下句子都是命题吗？(4)(4)不论不论不论不论n n为怎样自然数，式子为怎样自然数，式子为怎样自然数，式子为怎样自然数，式子n n2 2-n n+11+11值都是质数；值都是质数；值都是质数；值都是质数；(2)(2)(2)(2)任何一
8、个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；任何一个三角形一定有直角；(1)(1)(1)(1)熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；熊猫没有翅膀；(3)(3)(3)(3)对顶角相等；对顶角相等；对顶角相等；对顶角相等；w w反之反之反之反之,假如一个句子没有对某一伯事情作出任何判断假如一个句子没有对某一伯事情作出任何判断假如一个句子没有对某一伯事情作出任何判断假如一个句子没有对某一伯事情作出任何判断,那那那那么它就不是命题么它就不是命题么它就不是命题么它就不是命题.比如比如比如比如,以下句子都不是命题以下句子都不是命题以下句子都不是命题以下句子都不是命题:(1)
9、(1)(1)(1)你喜欢数学吗你喜欢数学吗你喜欢数学吗你喜欢数学吗?(2)(2)作线段作线段作线段作线段AB=CD.AB=CD.(5)(5)(5)(5)假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行也相互平行也相互平行也相互平行.w w命题普通都写成命题普通都写成命题普通都写成命题普通都写成“假如假如假如假如,那么那么那么那么”形式形式形式形式,你能把上面命题都写成你能把上面命题都写成你能把上面命题都写成你能把上面命题都写成“假如假如假如假如,那么
10、那么那么那么”形式吗形式吗形式吗形式吗?做一做命题命题 普通形式普通形式11/14/20245第5页命题命题 真真、伪、伪命题命题命题命题 组成组成组成组成组组成剖析成剖析成剖析成剖析命题表示形式命题表示形式命题表示形式命题表示形式假如假如假如假如那么那么那么那么真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题题设题设结论结论已知事项已知事项已知事项已知事项由已知事项推出事项由已知事项推出事项由已知事项推出事项由已知事项推出事项假如题设成立，那么结论一定成立假如题设成立，那么结论一定成立假如题设成立，那么结论一定成立假如题设成立，那么结论一定成立题设成立时，不能确保结论还是正确题设成立时，不能
11、确保结论还是正确题设成立时，不能确保结论还是正确题设成立时，不能确保结论还是正确 以下命题中是假命题是（）以下命题中是假命题是（）以下命题中是假命题是（）以下命题中是假命题是（）A A过已知直线上一点及该直线外一点直线与已知直线必是相交直线；过已知直线上一点及该直线外一点直线与已知直线必是相交直线；过已知直线上一点及该直线外一点直线与已知直线必是相交直线；过已知直线上一点及该直线外一点直线与已知直线必是相交直线；B B直角补角是直角；直角补角是直角；直角补角是直角；直角补角是直角；C C同旁内角互补；同旁内角互补；同旁内角互补；同旁内角互补；D D垂线段最短垂线段最短垂线段最短垂线段最短做一做
12、说明一个命题是假命题，只要举出一个即使具备题设条件，但说明一个命题是假命题，只要举出一个即使具备题设条件，但说明一个命题是假命题，只要举出一个即使具备题设条件，但说明一个命题是假命题，只要举出一个即使具备题设条件，但结论不成立例子（反例）结论不成立例子（反例）结论不成立例子（反例）结论不成立例子（反例）思绪分析思绪分析思绪分析思绪分析（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）（反例只需举出一个，就可说明原命题是假命题）C C 11/14/20246第6页1.1.两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截
13、两直线被第三条直线所截两直线被第三条直线所截,假如同位角相等假如同位角相等假如同位角相等假如同位角相等,那么这两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行那么这两条直线平行;2.2.两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截两条平行线被第三条直线所截,同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等;3.3.两边夹角对应相等两个三角形全等两边夹角对应相等两个三角形全等两边夹角对应相等两个三角形全等两边夹角对应相等两个三角形全等;4.4.两角及其夹边对应相等两个三角形全等两角及其夹边对应相等两个三角形全等两角及其夹边对应相等两个三角形全等两角及其夹边对应相等两个三
14、角形全等;5.5.三边对应相等两个三角形全等三边对应相等两个三角形全等三边对应相等两个三角形全等三边对应相等两个三角形全等;6.6.全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等,对应角相等对应角相等对应角相等对应角相等.公理、定理公理、定理 与与 证实证实【公理公理公理公理】【证实证实证实证实】【定理定理定理定理】公认真命题称为公理公认真命题称为公理公认真命题称为公理公认真命题称为公理(axiomaxiom).).经过证实真命题称为定理经过证实真命题称为定理经过证实真命题称为定理经过证实真命题称为定理(theorem).(theorem).(theorem)
15、.(theorem).除了公理外除了公理外除了公理外除了公理外,其它真命题正确性都经过推理方法证实其它真命题正确性都经过推理方法证实其它真命题正确性都经过推理方法证实其它真命题正确性都经过推理方法证实.推理过程称为证实推理过程称为证实推理过程称为证实推理过程称为证实.本套教材选取以下命题作为公理:11/14/20247第7页几何三种语言、平行线判定几何三种语言、平行线判定abc21abc12abc12公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论(推论推论推论推论),),),),以后能够直接利用以后能够直接利用以
16、后能够直接利用以后能够直接利用.【公理公理公理公理】同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.1=1=2,2,a ab.b.【判定定理判定定理判定定理判定定理 1 1】内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.1=1=2,2,a ab.b.【判定定理判定定理判定定理判定定理 2 2】同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行.1+1+2=1802=180 ,a ab.b.11/14/20248第8页几何三种语言、平行线性质几何三种语言、平行线性质【公理公理公理公理
17、】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,同位角相等同位角相等同位角相等同位角相等.abc21abc12abc12 a ab,b,1=1=2.2.a ab,b,1=1=2.2.【性质定理性质定理性质定理性质定理 1 1】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等内错角相等内错角相等.【性质定理性质定理性质定理性质定理 2 2】两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补同旁内角互补.a ab,b,1+1+2=1802=180 .公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它
18、们直接推出来结论(推论推论推论推论),),),),以后能够直接利用以后能够直接利用以后能够直接利用以后能够直接利用.11/14/20249第9页几何三种语言、几何三种语言、三角形内角和定理三角形内角和定理ABCABC中中中中,A+A+B+B+C=C=180180o o.A+A+B+B+C=C=180180o o 几个变形几个变形几个变形几个变形:w w A=A=180180o o (B+B+C).C).w w B=B=180180o o (A+A+C).C).w w C=C=180180o o (A+A+B).B).w w A+A+B=B=180180o o C.C.w w B+B+C=C=1
19、80180o o A.A.w w A+A+C=C=180180o o B.B.A AB BC C【三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理三角形内角和定理】三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于三角形三个内角和等于180180o o.公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论(推论推论推论推论),),),),以后能够直接利用以后能够直接利用以后能够直接利用以后能够直接利用.11/14/202410第10页几何三种语言、关注三角形外角几何三种语言、关注三角形外角 ABCABC中中中
20、中:1.1.1=1=2+2+3;3;2.2.112,2,113.3.A AB BC CD D1 12 23 34 4【三角形内角和定理推论三角形内角和定理推论三角形内角和定理推论三角形内角和定理推论】【推论推论推论推论1 1】三角形一个外角等于和它不相邻两个内角和三角形一个外角等于和它不相邻两个内角和三角形一个外角等于和它不相邻两个内角和三角形一个外角等于和它不相邻两个内角和.三角形一个外角大于任何一个和它不相邻内角三角形一个外角大于任何一个和它不相邻内角三角形一个外角大于任何一个和它不相邻内角三角形一个外角大于任何一个和它不相邻内角.直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互
21、余直角三角形两锐角互余.【推论推论推论推论2 2】【推论推论推论推论3 3】公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论公理、定理及由它们直接推出来结论(推论推论推论推论),),),),以后能够直接利用以后能够直接利用以后能够直接利用以后能够直接利用.11/14/202411第11页相关三角形全等一些结论相关三角形全等一些结论【公理公理公理公理】三边对应相等两个三角形全等三边对应相等两个三角形全等三边对应相等两个三角形全等三边对应相等两个三角形全等.(SSS)(SSS)两边及其夹角对应相等两个三角形全等两边及其夹角对应相等两个三角形全等两边及
22、其夹角对应相等两个三角形全等两边及其夹角对应相等两个三角形全等.两角及其夹边对应相等两个三角形全等两角及其夹边对应相等两个三角形全等两角及其夹边对应相等两个三角形全等两角及其夹边对应相等两个三角形全等.全等三角形确对应边、对应角相等.两角及其一角对边对应相等两个三角形全等两角及其一角对边对应相等两个三角形全等两角及其一角对边对应相等两个三角形全等两角及其一角对边对应相等两个三角形全等.(SAS)(SAS)(ASA)(ASA)(AAS)(AAS)【公理公理公理公理】【公理公理公理公理】【推论推论推论推论】【公理公理公理公理】利用上述公理和已经证实定理及其推论，利用上述公理和已经证实定理及其推论，
23、利用上述公理和已经证实定理及其推论，利用上述公理和已经证实定理及其推论，我们还能够证实相关三角形一些其它结论。我们还能够证实相关三角形一些其它结论。我们还能够证实相关三角形一些其它结论。我们还能够证实相关三角形一些其它结论。11/14/202412第12页驶向胜利彼岸驶向胜利彼岸驶向胜利彼岸驶向胜利彼岸学好几何标志是会学好几何标志是会“证实证实”证实命题普通步骤证实命题普通步骤:(1)(1)(1)(1)了解题意了解题意了解题意了解题意:分清命题条件分清命题条件分清命题条件分清命题条件(已知已知已知已知),),),),结论结论结论结论(求证求证求证求证););););(2)(2)(2)(2)依据
24、题意依据题意依据题意依据题意,画出图形画出图形画出图形画出图形;(3)(3)(3)(3)结合图形结合图形结合图形结合图形,用符号语言用符号语言用符号语言用符号语言 写出写出写出写出“已知已知已知已知”和和和和“求证求证求证求证”;”;”;”;(4)(4)(4)(4)分析题意分析题意分析题意分析题意,探索证实思绪探索证实思绪探索证实思绪探索证实思绪 (5)(5)(5)(5)依据思绪依据思绪依据思绪依据思绪,利用数学符号和数学语言利用数学符号和数学语言利用数学符号和数学语言利用数学符号和数学语言 条理清楚地写出证实过程条理清楚地写出证实过程条理清楚地写出证实过程条理清楚地写出证实过程;(6)(6)
25、(6)(6)检验表示过程是否正确检验表示过程是否正确检验表示过程是否正确检验表示过程是否正确,完善完善完善完善.(由由由由“因因因因”导导导导“果果果果”,”,”,”,执执执执“果果果果”索索索索“因因因因”.);”.);”.);”.);11/14/202413第13页等腰三角形性质等腰三角形性质验证与与证实议一议议一议(1)(1)你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？(2)(2)(2)(2)你能动手来证实这些结论吗吗你能动手来证实这些结论吗吗你能动手来证实这些结论吗吗你能动手来证实这些结
26、论吗吗？ABC底边底边底边底边腰腰腰腰腰腰腰腰顶角底角底角底角底角底角底角底角底角等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等等腰三角形两个底角相等.简称简称简称简称:等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角.等腰三角形性质等腰三角形性质等腰三角形性质等腰三角形性质验证方法验证方法验证方法验证方法用折纸重合法用折纸重合法用折纸重合法用折纸重合法.ABC以底边中线为折痕以底边中线为折痕以底边中线为折痕以底边中线为折痕11/14/202414第14页“等边对等角等边对等角”由由试验到到论证议一议议一议(1)(1)你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？你还记得我们探索过等腰三角形
27、性质吗？你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？你还记得我们探索过等腰三角形性质吗？(2)(2)你能动手来证实这些结论吗吗你能动手来证实这些结论吗吗你能动手来证实这些结论吗吗你能动手来证实这些结论吗吗？ABC(3)(3)你能利用已经有公理和定理你能利用已经有公理和定理你能利用已经有公理和定理你能利用已经有公理和定理 来证实来证实来证实来证实“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”这一结论吗这一结论吗这一结论吗这一结论吗？A把折好纸打开把折好纸打开把折好纸打开把折好纸打开BC不难发觉折痕两旁两个三角形全等。不难发觉折痕两旁两个三角形全等。不难发觉折痕两旁两个三角形全等。不难发觉折痕两旁两个三角形
28、全等。由此试验得到启发由此试验得到启发由此试验得到启发由此试验得到启发折痕就是折痕就是折痕就是折痕就是我们用于证实时要我们用于证实时要我们用于证实时要我们用于证实时要添加添加添加添加辅助线辅助线辅助线辅助线。做一做你现在能证实你现在能证实你现在能证实你现在能证实“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”这一结论吗？这一结论吗？这一结论吗？这一结论吗？注意注意注意注意千万不要忘记书写基本格式千万不要忘记书写基本格式千万不要忘记书写基本格式千万不要忘记书写基本格式写写写写“已知已知已知已知”、“求证求证求证求证”、“证实证实证实证实”。11/14/202415第15页等腰三角形等腰三角形 “三线
29、合一三线合一”ABCCBA想一想想一想想一想想一想在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕在上述问题中，折痕ADADD是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形ABCABC怎样线？怎样线？怎样线？怎样线？线段线段线段线段ADAD还含有怎样性质？还含有怎样性质？还含有怎样性质？还含有怎样性质？D为何？为何？为何？为何？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？由此你能得到什么结论？等腰三角形顶角平分线、底边上中等腰三角形顶角平分线、底边上中等腰三角形顶角平分线、底边上中等腰三角形顶角平分线、底边上中线、底边上高相互重合。线、底边上高相互重合。线、底边上
30、高相互重合。线、底边上高相互重合。“等边对等角等边对等角等边对等角等边对等角”定理定理定理定理 推论：推论：推论：推论：线段线段线段线段ADAD是是是是BCBC边中线、边中线、边中线、边中线、BACBAC平分线、平分线、平分线、平分线、边边边边BCBC上高。上高。上高。上高。11/14/202416第16页随堂练习随堂练习 学好数学诀窍学好数学诀窍1 1、证实：等边三角形三个角都相等，而且每个角都等于证实：等边三角形三个角都相等，而且每个角都等于证实：等边三角形三个角都相等，而且每个角都等于证实：等边三角形三个角都相等，而且每个角都等于6060。做题做题随堂练习随堂练习随堂练习随堂练习P42 2、如图，如图，如图，如图，ABDABD中，中，中，中，C C是是是是BDBD上一点，且上一点，且上一点，且上一点，且ACACBDBD。AC=BC=CDAC=BC=CD。(1)(1)求证：求证：求证：求证：ABDABD是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形是等腰三角形;(2)(2)求求求求BADBAD度数度数度数度数.ABCD11/14/202417第17页作业作业1 1、2 2。1 1 你能证实它们吗你能证实它们吗你能证实它们吗你能证实它们吗P 5习习习习 题题题题 1.1 1.111/14/202418第18页
