1、数学发展简史数学发展简史第1页数学家庞加莱说：数学家庞加莱说：“若想预见数学未来，正确若想预见数学未来，正确方法是研究它历史和现实状况方法是研究它历史和现实状况”法国人类学家斯特劳斯说：法国人类学家斯特劳斯说：“假如他不知道他假如他不知道他来自何处，那就没有些人知道他去向何方来自何处，那就没有些人知道他去向何方”数学史将告诉我们来自何处数学史将告诉我们来自何处庞加莱是法国近代最伟大数学家，庞加莱是法国近代最伟大数学家，18541854年年4 4月月2929日生于南锡，日生于南锡，19121912年年7 7月月1717日卒于巴黎日卒于巴黎 第2页数学发展史大致能够分为四个基本上本质不一样阶段第一
2、个时期：数学形成时期，这是人类建立最基本数学概念时期人类从数数开始逐步建立了自然数概念，简单计算法，并认识了最简单几何形式，算术与几何还没有分开第二个时期称为初等数学，即常量数课时期，这个时期基本、最简单结果组成现在中学数学主要内容这个时期从公元前5世纪开始，可能更早一些，直到17世纪，大约连续了两千年这个时期逐步形成了初等数学主要分支：算术、几何、代数、三角第三个时期是变量数课时期第四个时期是当代数学第3页一、一、数学文明发祥数学文明发祥数学文明发祥能够追溯到4千年前，甚至更久，世界公认四大文明古国：中国、埃及、巴比伦、印度，其文明程度主要标志之一就是数学萌芽埃及埃及几何故乡几何故乡已掌握了
3、加、减、乘、除四种运算会算一些平面图形面积及一些立体体积埃及金字塔，建于公元前三千年至公元前一千多年，这些古建筑留下了许多数学之谜：第4页塔底每边长230米，误差小于20厘米塔高146.5米，东南与西北角误差仅1.27厘米，直角误差仅有12，方位角误差在2到5之间这么准确度，当代建筑也望尘莫及用石达230万块之多，重量从2.5吨到50吨不等，石块间接缝处连铅笔刀也难插入塔高10亿倍恰好等于地球到太阳距离；底边与高度之比2倍近似等于3.14159，而这是公元3世纪时人才得到圆周率近似值穿过塔子午线恰好把地球上陆地和海洋分为均匀两半，塔重心恰好位于各大陆引力中心线上古埃及人靠什么计算方法和计算工具
4、到达如此准确度呢？科学研究表明，他们已含有丰富天文学和数学知识第5页巴比伦巴比伦代数源头代数源头会开平方、开立方，并有平方、平方根、立方和立方根表知道二次方程求根公式印度印度阿拉伯数字诞生地阿拉伯数字诞生地印度数学发展晚于埃及、巴比伦、希腊和中国印度人特殊贡献有：阿拉伯数字是印度人发觉，他们大约在公元前4世纪就开始使用这种数字，直到公元8世纪才传入阿拉伯国家，后经阿拉伯人传入欧洲用符号“0”表示零是印度人一大创造第6页二、当代文明发祥地二、当代文明发祥地希腊希腊世界上曾经存在21种文明，但只有希腊文化转变成了今天工业文明，究其原因，乃是数学在希腊文明中提供了工业文明要素古希腊世界并不限于今天称
5、作“希腊”那部分，而是东部扩展到爱奥尼亚（土耳其西部），西部扩展到意大利南部和西西里，南部扩展到亚历山大（埃及）第7页希腊人从埃及和巴比伦人那里学习了代数和几何原理，不过埃及和巴比伦人数学基本上是经验总结，是零碎，希腊人将这些零碎知识组成一个有序系统整体他们努力使数学愈加深刻、愈加抽象、愈加理性化柏拉图说：“不论我们希腊人接收什么东西，我们都要将其改进，并使之完美无缺”到公元前3世纪，在最伟大古代几何学家欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯时代到达了顶峰，而终止于公元6世纪当初最光芒著作是欧几里得几何原本，尽管这部书是两千多年以前写成，不过它普通内容和叙述特征，却与现在我们通用几何教科书非常相近第
6、8页欧几里得（Euclid,约公元前300年）是古代最出色数学家之一，欧几里得几何原本出现是数学史上一个伟大里程碑自1482年第一个印刷本出版以后，至今已经有一千各种版本在我国，明朝时期意大利传教士利玛窦与我国徐光启合译前6卷，于1607年出版这部著作一直流传到今天，其影响远远超出了数学以外，对整个人类文明都带来巨大影响欧几里得几百条证实是仅仅靠几条公理推导出来这些演绎结果使得希腊人和以后文明了解到理性力量，受这一成就鼓舞，人们把理性利用于其它领域逻辑学家、哲学家、政治家和全部真理追求者都纷纷仿效欧几里得模式，来建立他们自己理论欧几里得可能不是第一流数学家，不过第一流教师，他写教科书连续使用了
7、两千多年，当今每一个有文化人无不受到他深刻影响第9页阿基米德大约于公元前287年出生在西西里岛叙拉古，阿基米德著作极为丰富，是希腊数学顶峰，他对数学做出最引人注目标贡献是，积分方法早期发展公元前212年罗马人攻陷叙拉古时阿基米德被害城被攻破时，他正在潜心研究画在沙盘上一个图形，一个刚攻进城罗马士兵向他跑来，身影落在沙盘里图形上，他挥手让士兵离开，以免弄乱了他图形，结果那士兵就用长矛把他刺死了这位科学巨人阿基米德死象征一个时代结束第10页怀特海对此评论道：“阿基米德死于罗马士兵之手是世界巨变象征务实罗马人取代了兴趣理论希腊人，领导了欧洲，罗马人是一个伟大民族，不过受到这么批评：讲求实效，而无建树
8、他们没有改进祖先知识，他们进步只限于工程上技术细节他们没有梦想，得不出新观点，因而不能对自然力量得到新控制”今后是千余年停滞今后是千余年停滞第11页伴随希腊科学终止，在欧洲出现了科学萧条，数学发展中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家在这些地方从5世纪到15世纪一千年中间，数学主要因为计算需要而得到发展印度人创造了当代记数法（以后传到阿拉伯，从发掘出来材料来看，中国是使用十进制最早国家），引进了负数到了16世纪，欧洲文艺复兴时代，欧洲人向阿拉伯学习，并依据阿拉伯文翻译熟识了希腊科学，从阿拉伯沿袭过来印度记数法逐步在欧洲确定下来，欧洲科学终于越过了先人成就第12页变量数学产生于17世纪，大致上经历
9、了两个决定性重大步骤：第一步是解析几何产生；第二步是微积分创建。到16世纪，封建制度开始消亡，资本主义开始发展并兴盛起来，在这一时期中，家庭手工业、手工业作坊逐步地转化为以使用机器为主大工业实践需要和各门科学本身发展使自然科学转向对运动研究，所以对数学提出了新要求对各种改变过程和各种改变着量之间依赖关系研究，在数学中产生了变量和函数概念，数学对象这种根本扩展决定了数学向新阶段，即向变量数课时期过渡数学中专门研究函数领域叫做数学分析（它主要内容是微积分），所以，从17世纪开始数学新时期变量数课时期能够定义为数学分析出现与发展时期三、变量数课时期三、变量数课时期第13页变量数学建立第一个决定性步骤
10、出现在1637年笛卡儿著作几何学，这本书奠定了解析几何基础，从而变量进入了，运动进入了数学恩格斯指出：“数学中转折点是笛卡儿变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学”笛卡儿(RenDescartes)(1596-1650)法国科学家、哲学家,数学家，1596年3月13日，生于法国西部希列塔尼半岛上图朗城，3天后，母亲逝世，从小便失去母亲笛卡儿一直体弱多病。1649年10月，勒内.笛卡儿应瑞典女王克里斯蒂娜邀请来到瑞典首都斯德哥尔摩，为这位19岁姑娘讲授哲学和数学，很遗憾因为笛卡儿对女王生活习惯不适应，加上严寒冬天威胁，这位伟大数学家、物理学家和哲学家病倒了。1650年2月11
11、日，这位科学巨人与世长辞了。第14页变量数学发展第二个决定性步骤是牛顿和莱布尼茨在17世纪后半叶建立了微积分微积分诞生含有划时代意义，是数学史上分水岭和转折点，对此恩格斯是这么评价：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分发觉那样被看作人类精神最高胜利了，假如在某个地方我们看到人类精神纯粹和唯一功劳，那正是在这里”第15页数学发展第一时期与第二时期主要结果，即初等数学中主要内容已经成为中小学教育内容第三个时期基本结果，如解析几何（部分已放入中学）、微积分（部分已放入中学）、微分方程、高等代数、概率论（部分已放入中学）等已成为高等学校理工科教育主要内容当代数课时期，大致从19世纪上
12、半叶开始数学发展当代阶段开端，以其全部基础代数、几何、分析中深刻改变为特征四、当代数学四、当代数学第16页几何学深入发展：几何学深入发展：欧氏几何到非欧几何，现实空间到抽象空间欧氏几何到非欧几何，现实空间到抽象空间在19世纪上半叶，罗巴切夫斯基建立了非欧几何学，1854年著名德国数学家黎曼继罗巴切夫斯基之后在这个方向上完成了最主要步骤，在这些研究基础上，产生了各种新“空间”和它们“几何”：罗巴切夫斯基空间、射影空间、黎曼空间、拓扑空间等等，并找到自己应用第17页直到19世纪上半叶以前，几何真正发展没有走上正路，一直想在欧氏几何完全正确地方进行修正，这就是关于欧氏几何第五公设研究几何原本共有五条
13、公设：给定两点，可连接一线段线段可无限延长给定一点为中心和经过另一点能够作一圆全部直角彼此相等同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧两个内角之和小于180，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交第五公设第五公设又称为平行公设，与下述命题等价：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行第18页长久以来，数学家们发觉第五公设第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见有些数学家还注意到欧几里得在几何原本一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在几何原本中能够不依靠第五公设而推出前二十八个命题
14、。所以，一些数学家提出，第五公设第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证实第五公设？这就是几何发展史上最著名，争论了长达两千多年关于“平行公理”讨论。第19页因为证实第五公设问题一直得不到处理，人们逐步怀疑证实路子走对不对？第五公设到底能不能证实？到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证实第五公设过程中，他走了另一条路子。欧氏几何第五公设第五公设为：过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行否定否定否定否定它，得到新公设：过过直线外一点，最少能够作两条直线和已知直线平行；直线外一点，最少能够作两条直线和已知直线平
15、行；过直线外一点，不能作直线和已知直线平行过直线外一点，不能作直线和已知直线平行第20页罗巴切夫斯基用罗巴切夫斯基用“过直线外一点，最少能够作两条直线和已知直线平过直线外一点，最少能够作两条直线和已知直线平过直线外一点，最少能够作两条直线和已知直线平过直线外一点，最少能够作两条直线和已知直线平行行行行”来代替第五公设，然后与欧氏几何前四个公设结合成一个公理系统，来代替第五公设，然后与欧氏几何前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列推理。他认为假如以这个系统为基础推理中出现矛盾，就等于展开一系列推理。他认为假如以这个系统为基础推理中出现矛盾，就等于证实了第五公设证实了第五公设 不过，在他极为细致
16、深入推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷不过，在他极为细致深入推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾命题。所思，但在逻辑上毫无矛盾命题。最终，罗巴切夫斯基得出两个主要结论：最终，罗巴切夫斯基得出两个主要结论：第一，第五公设不能被证实第一，第五公设不能被证实 第二，在新公理体系中展开一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾第二，在新公理体系中展开一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾新定理，并形成了新理论这个理论像欧氏几何一样是完善、严密几何学新定理，并形成了新理论这个理论像欧氏几何一样是完善、严密几何学 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称这种几何学被称为罗巴切夫
17、斯基几何，简称“罗氏几何罗氏几何”。这是第一个。这是第一个被提出非欧几何学被提出非欧几何学第21页因为两千年来，人们坚信欧氏几何是唯一可靠几何，其它任何与之矛盾几何是绝对不能接收，受这种传统偏见约束，要认可非欧几何是需要一定勇气高斯是真正预见到非欧几何第一人不幸是，毕其一生高斯没相关于非欧几何发表什么意见他先进思想是他与挚友通信、对他人著作评论，以及他死后从稿纸中发觉几份札记即使他抑制自己，没有发表自己发觉，不过他勉励他人坚持这方面研究预见到非欧几何第二人是匈牙人J.波尔约，他父亲与高斯长久交往甚厚，并对平行公设感兴趣J.波尔约受他父亲影响热衷于这项研究，大约在1825年建立起非欧几何思想，写
18、了一篇26页论文，作为附录附于他父亲一本书中第22页即使人们认可高斯和J.波尔约是最先料想到非欧几何人，但俄罗斯数学家罗巴切夫斯基实际上是有系统发表此课题著作第一人他赢得了“几何学上哥白尼几何学上哥白尼”称号罗氏几何除了一个平行公理之外采取了欧氏几何一切公理。所以，凡是不包括到平行公理几何命题，在欧氏几何中假如是正确，在罗氏几何中也一样是正确。在欧氏几何中，凡包括到平行公理命题，在罗氏几何中都不成立，他们都对应地含有新意义。下面举几个例子加以说明：第23页欧氏几何同一直线垂线和斜线相交。存在相同多边形。过不在同一直线上三点能够做且仅能做一个圆。罗氏几何同一直线垂线和斜线不一定相交。不存在相同多
19、边形。过不在同一直线上三点，不一定能做一个圆。第24页第二种非欧几何发觉者是德国数学空黎曼黎曼用“过直线外一点，不能过直线外一点，不能作直线和已知直线平行作直线和已知直线平行”来代替第五公设，从而产生了黎曼非欧几何黎曼于1826年9月17日，出生在德国一个农村。19岁到哥廷根大学读书，成为高斯晚年一名高才生。哥廷根大学在以后100多年里一直是世界数学研究中心。黎曼毕业后留校任教。15年后（1866年）死于肺结核。他在1851年所作一篇论文论几何学作为基础假设中明确提出另一个几何学存在，开创了几何学一片新辽阔领域。黎曼几何中一条基本要求是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学
20、中不认可平行线存在。第25页代数质变：代数质变：群、环、域等代数结构研究群、环、域等代数结构研究伽罗华在19世纪，代数也出现质改变以往代数是关于数字算术运算学说，现在这种算术运算是脱离了详细数字在普通形态上形式地加以考查当代代数理论是19世纪从许多数学家研究中形成，其中尤以法国数学家伽罗华著称群论群论与线性代数线性代数是当代代数中内容丰富两个分支第26页伽罗华伽罗华（EacutevaristeGalois，公元1811年-公元1832年）是法国对函数论、方程式论和数论作出主要贡献数学家，他工作为群论（一个他引进名词）奠定了基础；全部这些进展都源自他尚在校就读时欲证实五次多项式方程解（Solut
21、ionbyRadicals）不可能性（其实当初已为阿贝尔（Abel）所证实，只不过伽罗华并不知道），和描述任意多项式方程可解性普通条件打算。即使他己经发表了一些论文，但当他于1829年将论文送交法兰西科学院时，第一次所交论文却被柯西（Cauchy）遗失了，第二次则被傅立叶（Fourier）所遗失；他还因撰写反君主制文章而被开除，且因信仰共和体制而两次下狱。他第三次送交科学院论文亦为泊松（Poisson）所拒绝。伽罗华死于一次决斗，可能是被保皇派或警探所激怒而致，时年21岁。他被公认为数学界两个最具浪漫主义色彩人物之一。以后一些著名数学家们说，他死使数学发展被推迟了几十年。第27页分析也发生了深
22、刻改变首先，它基础得到了准确化，并产生了一系列新分支，如实变函数、复变函数论、函数迫近论、微分方程定性理论、积分方程论、泛函分析等等进入20世纪以来，数学研究对象，数学应用范围大大扩展，尤其是计算机出现产生了众多新而又新数学分支第28页中国数学史中国数学史中国数学史中国数学史第29页独立于西方世界，中国是世界上数学萌芽最早国家年4月28日光明日报报道：“河南舞阳贾湖遗址发掘与研究”中有这么几句话：“贾湖人已经有百以上整数概念，并认识了正整数奇偶规律、运算法则这为研究我国度量衡起源与音乐关系提供了主要线索”从数学家眼光来看，八千多年前，中国已经有了相当发展数学因为确定音律需要数学，而且不是简单数
23、学秦始皇焚书坑儒是历史上一大悲剧，许多主要著作被焚毁了，使无法了解中国古代数学终究还有哪些结果第30页从发掘出来材料来看，中国是使用十进制最早国家到周代已经有了四则运算记载春秋战国时代已经有了乘法口诀这里不系统地讨论中国数学发展史，只介绍一些对世界数学史产生重大影响著名问题这些问题已融入世界文化之中第31页两汉时期数学两汉时期数学1周髀算经与勾股定理在我国现存古代数学著作中，最早著作是周髀算经，成书年代不晚于公元前2世纪西汉时期其中最突出是勾股定理中国数学史上最先给出勾股定理证实是公元三世纪三国时期赵爽2九章算术九章算术是我国古典数学中最主要著作，它标志着我国初等数学已形成了体系，成书年代至迟
24、在公元前1世纪第32页魏晋、南北朝时期数学魏晋、南北朝时期数学从公元220年曹丕称帝到581年隋朝建立，称为魏晋、南北朝时期在中国历史上，这是一个动荡时期，政治上最混乱，社会上最痛苦时代但却是精神史上极自由、极解放最富于智慧，思想极活跃时期1刘徽数学成就刘徽是魏晋年间出色数学家，中国古典数学理论奠基者之一，籍贯与生卒年代不详最突出成就是割圆术和体积理论刘徽创造性地利用极限思想给出了计算圆周率方法割圆术就是用圆内接多边形去迫近圆刘徽从正6边形开始，然后将边数逐次加倍，计算正12边形，正24边形，正196边形面积由此算出3.14第33页2领先世界一千年祖冲之祖冲之（429500）是我国南北朝出色数
25、学家、天文学家，他在数学方面主要成就是关于圆周率计算他算出圆周率真值在3.1415926和3.1415937之间这两个近似值准确到小数第7位，是当初世界上最先进结果，直到15世纪，阿拉伯数学家卡西才得到更加好结果他还给出了圆周率密率355/113（3.1415929），而这个结果直到16世纪才被德国人奥托和荷兰人安托尼斯重新发觉第34页宋元时期数学宋元时期数学宋元时期是中国数学发展黄金时代究其原因，乃是国内经济发展，海外贸易大发展结果宋代各门科学也得到普遍发展四大创造三项指南针、火药和活字印刷在宋代完成这一时期涌现了一批数学家，其中最卓越代表有贾宪、杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰等宋元时期以后，中国数学走向衰落宋元时期以后，中国数学走向衰落中国中国古代数学发展由此停滞古代数学发展由此停滞第35页课后推荐阅读课后推荐阅读：张顺燕编著，数学美与理，北京大学出版社第36页
