1、一一含糊集合及其运算含糊集合及其运算二二二二含糊聚类分析含糊聚类分析三三三三含糊综合评判含糊综合评判四四四四含糊线性规划含糊线性规划Part2:含糊数学含糊数学第1页2024/11/14一、经典集合与特征函数一、经典集合与特征函数 集合：集合：含有某种特定属性对象集体。含有某种特定属性对象集体。通惯用大写字母通惯用大写字母A、B、C等表示。等表示。论域：论域：对局限于一定范围内进行讨论对象全体。对局限于一定范围内进行讨论对象全体。通惯用大写字母通惯用大写字母U、V、X、Y等表示。等表示。论域论域U中每个对象中每个对象u称为称为U元素元素。含糊集合及其运算含糊集合及其运算第2页2024/11/1
2、4在论域在论域U中任意给定一个元素中任意给定一个元素u及任意给定一个及任意给定一个经典集合经典集合A，则必有，则必有 或者或者 ，用函数表示为：，用函数表示为：其中其中函数函数 称为集合称为集合A特征函数。特征函数。含糊集合及其运算含糊集合及其运算第3页2024/11/14 罗素（罗素（Russell）悖论：）悖论：在一个孤岛上唯一一个剪在一个孤岛上唯一一个剪发师，其工作是发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子人刮胡专门替那些不给自己刮胡子人刮胡子子”，现问剪发师本人该不该给自己刮胡子？，现问剪发师本人该不该给自己刮胡子？取论域取论域U=全岛刮胡子人全岛刮胡子人，集合集合A=不给自己刮胡子人
3、不给自己刮胡子人，用特征函数刻画为，用特征函数刻画为问题：问题：显然剪发师显然剪发师 ，那么剪发师是否属于，那么剪发师是否属于A？含糊集合及其运算含糊集合及其运算第4页2024/11/14二、含糊集合及其运算二、含糊集合及其运算美国控制论教授美国控制论教授Zadeh教授正视了经典集合描述教授正视了经典集合描述“非此即彼非此即彼”清楚现象，提醒了现实生活中绝大多数清楚现象，提醒了现实生活中绝大多数概念并非都是概念并非都是“非此即彼非此即彼”那么简单，而概念差异常以那么简单，而概念差异常以中介过渡形式出现，表现为中介过渡形式出现，表现为“亦此亦彼亦此亦彼”含糊现象。含糊现象。基于此，基于此，196
4、5年，年，Zadeh教授在教授在Information and Control杂志上发表了一篇开创性论文杂志上发表了一篇开创性论文“Fuzzy Sets”,标志着含糊数学诞生。标志着含糊数学诞生。含糊集合及其运算含糊集合及其运算第5页2024/11/141、含糊子集、含糊子集定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上上含糊子集含糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数，称为称为 对对 隶属程度，简称隶属程度，简称隶属度隶属度。含糊子集含糊子集 由隶属函数由隶属函数 唯一确定，故认为二者唯一确定，故认为二者是等同。为简单见，通惯用是等同。为简单见，通惯用A来表
5、示来表示 和和 。含糊集合及其运算含糊集合及其运算第6页2024/11/14含糊子集通常简称含糊集，其表示方法有：含糊子集通常简称含糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对含糊集对含糊集A隶属度是隶属度是 。如如“将一将一1,2,3,4组成一个小数集合组成一个小数集合”可表示为可表示为可省略可省略含糊集合及其运算含糊集合及其运算第7页2024/11/14（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上含糊集表示为：为无限集，其上含糊集表示为：含糊集合及其运算含糊集合及其运算第8页2024/11/142、含糊集运算、含糊集运算定义
6、：定义：设设A，B是论域是论域U两个含糊子集，定义两个含糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。含糊集合及其运算含糊集合及其运算第9页2024/11/14几个惯用算子：几个惯用算子：（1）Zadeh算子算子（2）取大、乘积算子）取大、乘积算子（3）环和、乘积算子）环和、乘积算子含糊集合及其运算含糊集合及其运算第10页2024/11/14（4）有界和、取小算子）有界和、取小算子（5）有界和、乘积算子）有界和、乘积算子（6）Einstain算子算子含糊集合及其运算含糊集合及其运算第11页2024/11/143、含糊矩阵、含糊矩阵定义：定义
7、：设设 称称R为为含糊矩阵含糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当含糊方阵当含糊方阵 对角线上元素对角线上元素 都为都为1时，时，称称R为为含糊自反矩阵含糊自反矩阵。（1）含糊矩阵间关系及运算）含糊矩阵间关系及运算定义定义：设：设 都是含糊矩阵，定义都是含糊矩阵，定义相等：相等：包含：包含：含糊集合及其运算含糊集合及其运算第12页2024/11/14并：并：交：交：余：余：例：例：含糊集合及其运算含糊集合及其运算第13页2024/11/14（2）含糊矩阵合成）含糊矩阵合成定义：定义：设设 称含糊矩阵称含糊矩阵为为A与与B合成，其中合成，其中 。例
8、：例：含糊集合及其运算含糊集合及其运算第14页2024/11/14（3）含糊矩阵转置）含糊矩阵转置定义：定义：设设 称称 为为A转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。（4）含糊矩阵）含糊矩阵 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任意对任意 称称为含糊矩阵为含糊矩阵A 截矩阵，其中截矩阵，其中含糊集合及其运算含糊集合及其运算第15页2024/11/14例：例：含糊集合及其运算含糊集合及其运算第16页2024/11/14三、隶属函数确实定三、隶属函数确实定1、含糊统计法、含糊统计法含糊统计试验四个要素：含糊统计试验四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中一个固定元素中一个固定元素（3）U中一个随机运动集合中
9、一个随机运动集合（4）U中一个以中一个以 作为弹性边界含糊子集作为弹性边界含糊子集A，制约着制约着 运动。运动。能够覆盖能够覆盖 也能够不覆盖也能够不覆盖致使致使 对对A隶属关系是不确定。隶属关系是不确定。含糊集合及其运算含糊集合及其运算第17页2024/11/14特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定，而是固定，而 在随机变动。在随机变动。含糊统计试验过程：含糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）伴随）伴随n增大，频率展现稳定，此稳定值即为增大，频率展现稳定，此稳定值即为对对A隶属度：隶属度：含糊集合及其运算含糊集合及其运算第18页2024/11/142、指
10、派方法、指派方法这是一个主观方法，但也是用得最普遍一个这是一个主观方法，但也是用得最普遍一个方法。它是依据问题性质套用现成一些形式模方法。它是依据问题性质套用现成一些形式模糊分布，然后依据测量数据确定分布中所含参数。糊分布，然后依据测量数据确定分布中所含参数。3、其它方法、其它方法德尔菲法：教授评分法；德尔菲法：教授评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定次序，二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定次序，由此决定隶属函数大致形状。主要有以下方法：由此决定隶属函数大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。相对比较法、择优比较法和对比平均法等。含糊集合及其运算含糊集
11、合及其运算第19页2024/11/14含糊聚类分析含糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理第20页2024/11/14含糊聚类分析含糊聚类分析第21页2024/11/14例：设对于含糊等价矩阵例：设对于含糊等价矩阵含糊聚类分析含糊聚类分析第22页2024/11/14含糊聚类分析含糊聚类分析第23页2024/11/14例：设有含糊相同矩阵例：设有含糊相同矩阵含糊聚类分析含糊聚类分析第24页2024/11/14二、含糊聚类普通步骤二、含糊聚类普通步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵含糊聚类分析含糊聚类分析第25页2024/11/14（1）标准差标准化）标准差标准化含糊聚类分析含糊聚类分析第26
12、页2024/11/14（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值规格化其中：其中：含糊聚类分析含糊聚类分析第27页2024/11/14、建立含糊相同矩阵、建立含糊相同矩阵（1）相同系数法）相同系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法含糊聚类分析含糊聚类分析第28页2024/11/14（2）距离法）距离法Hamming距离距离Euclid距离距离Chebyshev距离距离含糊聚类分析含糊聚类分析第29页2024/11/14（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法含糊聚类分析含糊聚类分析第30
13、页2024/11/143 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）含糊传递闭包法）含糊传递闭包法步骤：步骤：含糊聚类分析含糊聚类分析第31页2024/11/14含糊聚类分析含糊聚类分析第32页2024/11/14解：解：由题设知特征指标矩阵为由题设知特征指标矩阵为采取最大值规格化法将数据规格化为采取最大值规格化法将数据规格化为含糊聚类分析含糊聚类分析第33页2024/11/14用最大最小法结构用最大最小法结构含糊相同矩阵得到含糊相同矩阵得到用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包含糊聚类分析含糊聚类分析第34页2024/11/14取取 ，得，得含糊聚类分析含糊聚类分析第35页202
14、4/11/14取取 ，得，得取取 ，得，得含糊聚类分析含糊聚类分析第36页2024/11/14取取 ，得，得取取 ，得，得含糊聚类分析含糊聚类分析第37页2024/11/14画出动态聚类图以下：画出动态聚类图以下：0.70.630.620.531含糊聚类分析含糊聚类分析第38页2024/11/14含糊聚类分析简明流程含糊聚类分析简明流程:YN第39页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别模式识别本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别对象。称为标准模式库；二是有待识别对象。所谓含糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓
15、含糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊，或说标准模式库中提供模式是含糊。糊，或说标准模式库中提供模式是含糊。第40页2024/11/14一一最最大大隶隶属属标标准准最大隶属标准最大隶属标准：最大隶属标准最大隶属标准：含糊模式识别含糊模式识别第41页2024/11/14按最大隶属标准，按最大隶属标准，该人属于老年。该人属于老年。解：解：含糊模式识别含糊模式识别第42页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别第43页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别第44页2024/11/14阈值标准：阈值标准：含糊模式识别含糊模式识别第45页2024/11/14二、择近标准二、择近标准1、贴近
16、度、贴近度表示两个含糊集表示两个含糊集A，B之间之间贴近贴近程程度度。含糊模式识别含糊模式识别第46页2024/11/14 C=C=故故B比比A更贴近于更贴近于.含糊模式识别含糊模式识别第47页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别第48页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别第49页2024/11/142、择近标准、择近标准含糊模式识别含糊模式识别第50页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别第51页2024/11/14含糊模式识别含糊模式识别第52页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判一、一级含糊综合评判一、一级含糊综合评判第53页2024/11/14含糊综合评判
17、含糊综合评判第54页2024/11/14依据运算不一样定义，可得到以下不一样模型：依据运算不一样定义，可得到以下不一样模型：含糊综合评判含糊综合评判第55页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第56页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第57页2024/11/14其中：其中：含糊综合评判含糊综合评判第58页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第59页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第60页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第61页2024/11/14二、多级含糊综合评判（以二级为例）二、多级含糊综合评判（以二级为例）问题：问题：对高等学校评定能够考
18、虑以下方面对高等学校评定能够考虑以下方面含糊综合评判含糊综合评判第62页2024/11/14二级含糊综合评判步骤：二级含糊综合评判步骤：含糊综合评判含糊综合评判第63页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第64页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第65页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第66页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第67页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第68页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第69页2024/11/14含糊综合评判含糊综合评判第70页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第71页2024/11/
19、14含糊线性规划含糊线性规划第72页2024/11/14解含糊线性规划基思想：化为普通线性规划。解含糊线性规划基思想：化为普通线性规划。请注意含糊线性规划（请注意含糊线性规划（2）与普通线性规划（）与普通线性规划（3）区分与联络。区分与联络。含糊线性规划含糊线性规划第73页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第74页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第75页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第76页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第77页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第78页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第79页2024/11/14含糊线性规划含糊线性规划第80页2024/11/14
