1、4 旋转曲面面积 定积分全部应用问题,都可按“分一、微元法二、旋转曲面面积并用于导出旋转曲面面积计算公式.用“微元法”来处理.本节将介绍微元法,量积分形式,但在实际应用中,常可割、近似、求极限”三个步骤导出所求1/12则则,且且当当上连续函数时，若令上连续函数时，若令一、微元法现在恰好要把问题倒过来现在恰好要把问题倒过来:若所求量若所求量 是分布在是分布在区区或者说它是该区间端点或者说它是该区间端点x 函数函数,2/12其中其中 f 为某一连续函数为某一连续函数,而且当时而且当时,而且当而且当 x=b 时时,适为最终所求值适为最终所求值.那么只要把那么只要把计算出来计算出来,就是该问题所就是该
2、问题所即即在任意小区间上在任意小区间上,若能把若能把 微小增量近似表示为线性形式微小增量近似表示为线性形式3/12在普通情况下在普通情况下,要严格检验要严格检验以上方法通常称为以上方法通常称为微元法微元法,在用微元法时在用微元法时,应注应注意意:求结果求结果.(2)微元法关键是正确给出微元法关键是正确给出近似表示式近似表示式为为高阶无穷小量不是一件轻易事高阶无穷小量不是一件轻易事.(1)所求量所求量 关于分布区间必须是可加关于分布区间必须是可加.4/12这段曲线绕这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面轴旋转一周得到旋转曲面(以下列以下列图图).设平面光滑曲线设平面光滑曲线 C 方程为方程为二、
3、旋转曲面面积经过经过 x 轴上点轴上点 x 与与 分别作垂直于分别作垂直于 x 轴平轴平 5/12其中其中因为因为时时,此狭带面积近似于一圆台侧面积此狭带面积近似于一圆台侧面积,即即面面,它们在旋转曲面上截下一条狭带它们在旋转曲面上截下一条狭带.当很当很小小6/12所以由连续性能够确保所以由连续性能够确保所以得到所以得到假如光滑曲线由参数方程假如光滑曲线由参数方程7/12给出给出,且且则曲线则曲线 C 绕绕 x 轴旋转所得旋转轴旋转所得旋转曲面面积为曲面面积为例例1 求将椭圆求将椭圆绕绕 x 轴旋转轴旋转所得所得椭球面面积椭球面面积.解解 将上半椭圆写成参数方程将上半椭圆写成参数方程8/12令令9/1210/12例例2 求心脏线求心脏线绕极轴旋转所得曲绕极轴旋转所得曲面面积面面积.当然，这也可从上面已求得椭球面面积而得当然，这也可从上面已求得椭球面面积而得,解解 将曲线用参数方程表示将曲线用参数方程表示:于是于是请读者自行指出这应该怎么做？请读者自行指出这应该怎么做？11/1212/12
