1、无穷级数与函数迫近无穷级数与函数迫近 孙永健制作 二四年二月第1页 无穷级数与函数迫近 级数和演示 函数幂级数展开 傅立叶级数第2页定义 称为级数 前n项和(n=1,2,).简称部分和.由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数和，记为 .若 不存在，则称级数 发散.第3页 例1：观察 部分和序列 改变趋势，并求和。级数和演示第4页解：第5页程序1Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlotdata第6页运行后图象第7页图1第8页程序1 再求出其和来Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,
2、100;ListPlotdataNSum1/k2,k,Infinity第9页运行后得其和近似值为 1.644934066848第10页例2 求 和第11页第12页程序2sn_:=Sum(-1)k/k2,k,nd=Tablesn,n,100;ListPlotdNSum(-1)n/n2,n,1,Infinity第13页图2第14页图3第15页运行后得其和近似值为-0.82246703342411321第16页例3求幂级数 和。第17页程序3Sumxn/(n*3n),n,1,Infinity第18页运行后结果第19页函数幂级数展开例4 写出函数f(x)=sinx幂级数展开式，并利用图形考查幂级数部分
3、和迫近函数情况。第20页解：幂级数展开必为：即为Maclaurin级数第21页展开式为第22页故sinx可展开为第23页程序4fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,n第24页程序4fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2第25页运行后图象第26页图4第27页图5第28页图6第29页图7第30页图8第
4、31页结论1 从这些图能够比较清楚地看到幂级数展开式前n项部分和迫近函数情况，这里n=9，在区间-,上幂级数与函数本身看起来已没有什么差异。我们再来看分别在闭区间-,和-2,2 上在同一个坐标系中这些图象情况第32页程序4fx_:=Sinxfx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;gn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nsn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-DoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle
5、-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2 t=Tablesn,x,n,1,9,2;t=Tablesn,x,n,1,9,2;PlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2Pi第33页运行后图象第34页图9第35页图10第36页图11第37页结论2 从图中可看到，函数幂级数展开式前n项部分和函数迫近函数程度，伴随n增大而提升。但对
6、于确定n而言，它只在展开点附近一个局部范围内才有很好近似准确度。第38页傅立叶级数 自然界中许多现象是周期性重复，比如，声波是空气粒子周期性振动而产生，人们呼吸时肺部运动和心脏跳动也是周期性，交流电也表达了周期改变。对自然界这种周期改变现象能够用周期函数近似地描述。在数学上也就是用三角多项式迫近函数问题，傅立叶级数就是一个迫近方法第39页 以2为周期周期函数f(x)傅立叶级数由下式所定义：其中第40页例5设周期为2周期函数f(x)在一个周期内表示式为试生成f(x)傅立叶级数，并从图上观察该函数部分和迫近f(x)情况。第41页程序5fx_:=Whichx0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x4Pi,0fx_:=Whichx0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x50,PlotStyle-Pi,3Pi,PlotPoints-50,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4第42页运行后图象第43页图12第44页图13第45页图14第46页图15第47页图16第48页图17 第49页 感激大家 请提宝贵意见第50页
