1、第一节第一节 无穷积分收敛的概念无穷积分收敛的概念一、无穷积分收敛与发散概念一、无穷积分收敛与发散概念二、无穷积分与级数二、无穷积分与级数第1页l 基本积分公式基本积分公式基本积分公式基本积分公式第2页第3页一、无穷积分收敛与发散概念一、无穷积分收敛与发散概念1 1 定义定义1 1 设函数设函数 在区间在区间（或（或有定义，符号有定义，符号（或（或称为函数称为函数 无穷积分无穷积分。定义定义2 2 设设函数函数 在在 可积，可积，若极限若极限存在存在则称无穷积分则称无穷积分(不存在不存在)，收敛收敛（发散），（发散），第4页其极限称为无穷积分其极限称为无穷积分 (值值),),即即定义定义3 3
2、 设设 函数函数f(x)f(x)在在q,bq,b若极限若极限存在存在收敛收敛（值），即（值），即可积，可积，（不存在），（不存在），则称无穷积分则称无穷积分其极限称为无穷积分其极限称为无穷积分(发散发散)，第5页定义定义4 4 若若 两个无穷积分两个无穷积分都收敛都收敛则称无穷积分则称无穷积分 收敛收敛与与（最少有一个发散），（最少有一个发散），(发散发散)，且且几何意义几何意义:第6页例例1 1 求以下无穷积分求以下无穷积分:例例2 2 求以下无穷积分求以下无穷积分:2.2.例题例题注注:若要考查若要考查 在区间在区间 可积性可积性要验证下面两个极限要验证下面两个极限与与都存在都存在.第7页
3、计算方法计算方法:若函数若函数 在区间在区间存在原函数存在原函数 ,即即则则第8页3.练习练习(1)第9页例例3 3 判别无穷积分判别无穷积分例例4 4 判别无穷积分判别无穷积分敛散性敛散性.敛散性敛散性.第10页二二.无穷积分与级数无穷积分与级数敛散性都可归结为敛散性都可归结为形如形如 无穷积分无穷积分.收敛收敛收敛收敛 发散发散发散发散第11页定理定理1 1 无穷积分无穷积分 收敛收敛有有收敛于同一数，且收敛于同一数，且对任意数列对任意数列 有有而而 级数级数第12页证实证实必要性必要性 已知无穷积分收敛，即已知无穷积分收敛，即充分性充分性已知对任意数列已知对任意数列而而时，时，级数级数 收敛收敛于同一个数，即它部分和数列于同一个数，即它部分和数列第13页收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷收敛于同一个数。由海涅极限定理，无穷积分积分 收敛，收敛，收敛收敛,令令证实证实即证极限即证极限 存在存在.已证已证 收敛收敛.且且第14页练习练习:第15页
