1、 复变函数论多媒体教学课件复变函数论多媒体教学课件Department of Mathematics第二节第二节 用留数计算定积分用留数计算定积分第1页1留数定理应用留数定理应用-积分计算积分计算:（2）、利用留数计算积分，没有一些通用方法，我们主要经过例子进行讨论；（3）我们只讨论应用单值解析函数来计算积分，应用多值解析函数来计算积分在书本中有讨论。因为时间关系，我们不讨论应用多值解析函数来计算积分问题，同学们能够自学。利用留数计算积分特点：（1）、利用留数定理，我们把计算一些积分问题，转化为计算一些解析函数在孤立奇点留数，从而大大化简了计算；第2页2思想方法思想方法:封闭路线积分封闭路线积
2、分.两个主要工作两个主要工作:1)积分区域转化积分区域转化2)被积函数转化被积函数转化把定积分化为一个复变函数沿某条把定积分化为一个复变函数沿某条形如形如第3页3当当历经变程历经变程时时,正方向绕行一周正方向绕行一周.z 沿单位圆周沿单位圆周z有理函数有理函数,且在单位圆周上分且在单位圆周上分母不为零母不为零,满足留数定理条件满足留数定理条件.包围在单位圆周包围在单位圆周内诸孤立奇点内诸孤立奇点.注注:第4页4例例1 解解 故积分有意义故积分有意义.第5页5第6页6所以所以第7页7注注:此时此时例例2 计算积分计算积分解解则则第8页8第9页9由留数定理由留数定理例例3 计算计算解解 第10页1
3、0由留数定理由留数定理第11页11注注:例例4 计算积分计算积分解解 第12页12第13页13 在许多实际问题中，往往要求计算反常积分值，如 数学分析计算这些积分麻烦,无统一方法;用留数计算,较简捷.第14页141引理引理6.1证实证实因为因为于是有于是有第15页15于是有于是有第16页162定理定理6.7第17页17证实证实由条件由条件(1),(2)及数学分析结论及数学分析结论,知知x.依据留数定理得依据留数定理得:第18页18或写成或写成因为因为第19页19解解 例例5第20页20第21页21解解 例例6第22页22第23页23引理引理6.2xy.第24页24证实证实于是就有于是就有于是由
4、于是由Jordan不等式不等式第25页25将将(6.13)化为化为应用引理应用引理6.2,完全和证实定理完全和证实定理6.7一样可得一样可得第26页262定理定理6.8则有则有注注:将将(6.14)分开实虚部分开实虚部,就可得到形如就可得到形如积分积分.第27页27证实证实x.依据留数定理得依据留数定理得:第28页28或写成或写成因为因为第29页29例例7 计算积分计算积分解解 且在上半平面只有二级极点且在上半平面只有二级极点第30页30注意注意 以上两型积分中被积函数中以上两型积分中被积函数中R(x)在实轴在实轴上无孤立奇点上无孤立奇点.第31页31四四 计算积分路径上有奇点积分计算积分路径上有奇点积分引理引理6.3证实证实因为因为于是有于是有第32页32于是有于是有第33页33例例8 计算积分计算积分解解 即即第34页34由引理由引理6.2知知由引理由引理6.3知知第35页35解解 五五 杂例杂例例例9它是一个整函数它是一个整函数,则则第36页36而而第37页37比较两端实部与虚部即得比较两端实部与虚部即得弗莱聂尔弗莱聂尔(frensnel)积分积分即即第38页38本节结束本节结束 谢谢谢谢！Complex Function Theory Department of Mathematics第39页39
