1、离散数学李书杰 合肥工业大学离散数学1/291&学习内容学习内容10.1 10.1 无向树无向树无向树无向树10.2 10.2 根树根树根树根树2/2923/293假如将上图看作一个图话，这个图就是一棵树，以下列图。假如将上图看作一个图话，这个图就是一棵树，以下列图。4/294定义定义10.2.1 10.2.1 无向树从无向图出发定义树无向树从无向图出发定义树n无向树无向树(树树):连通而无回路无向图，普通用连通而无回路无向图，普通用T表示表示n叶叶:树中度数为树中度数为1顶点顶点n分支点分支点/内部结点内部结点:树中度数树中度数1顶点顶点n森林森林:一一个个非非连连通通图图，假假如如其其每每
2、个个连连通通分分支支都都是是树树，则则称称为为森林森林n平凡树平凡树:平凡图，只有一个点且无边图平凡图，只有一个点且无边图n右图为一棵右图为一棵12阶树阶树.n申明申明:本章中所讨论回路均本章中所讨论回路均n 指简单回路或初级回路指简单回路或初级回路 5/295无向树性质无向树性质定定理理10.2.1 设设G=是是n阶阶m条条边边无无向向图图，则则下下面面各各命命题题是是等价：等价：（1）G是树是树(连通无回路连通无回路);（2）G中无回路且中无回路且m=n 1;（3）G是连通且是连通且m=n 1;（4）G中中没没有有回回路路,但但在在任任何何两两个个不不一一样样顶顶点点之之间间加加一一条条新
3、新边边,就会得到一条唯一基本回路就会得到一条唯一基本回路.（5）G是连通且是连通且G中任何边均为桥中任何边均为桥;（6）G中任意两个顶点之间存在惟一中任意两个顶点之间存在惟一 一条基本通路。一条基本通路。6/296(1)(2)证实假如G是无回路连通图，则G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数证实 归纳法。当n=2时，因为G连通无回路，所以只有m=1，故m=n-1成立。假设n=k-1时命题成立，当n=k时，因G是无回路且连通，则最少有一个度为1结点u，设与其关联边为(u,w)，删去u，得到一个k-1个结点连通无向图G，7/297(1)(2)证实（续）由归纳假设可知，G边数m=n-1=(k
4、-1)-1=k-2。再将结点u及(u,w)放入原位，恢复到图G，那么G边数m=m+1=(k-2)+1=k-1，结点数n=n+1=k，故m=n-1成立。8/298(2)(3)证实假如G中无回路且m=n1，其中m是边数，n是结点数，则连通且m=n1;只须证实G是连通。证实 设G有k个连通分枝G1,Gk(k1），Gi有ni个结点,mi条边，因为Gi连通无回路，所以有 mi=ni-1，n=n1+n2+nk m=m1+m2+mk=(n1-1)+(n2-1)+(nk-1)=n-k因为m=n-1，所以k=1，故G是连通。9/299(3)(4)证实假如G连通且m=n1，则G中无回路,但增加一条新边，得到一个且
5、仅有一个包含新边回路。证实 归纳法。当n=2时，m=n-1=1，必无回路，假如增加一边得到且仅得到一个回路。设n=k-1时命题成立。考查n=k时情况。因为G是连通，所以每个结点u有deg(u)1，下面证实最少有一个结点u0使deg(u0)=1。若不存在，则每个结点度最少为2，所以2n2m，即n m，这与m=n-1矛盾。10/2910(3)(4)证实首先证实G中也无回路删去u0及其关联边，得到含有k-1个结点图G，G连通且m=n1。由归纳假设知G无回路。在G中加入u0及其关联边恢复到G，则G无回路。再证实在G中任意两结点之间增加一条边，得到一条且仅有一条回路。若在G中增加一条边(ui,uj)，因
6、为G连通，则在G中存在一条从ui到uj路，那么这条路与新加入边(ui,uj)组成回路，而且这个回路是唯一。若不唯一，删掉边(ui,uj)边,G中必有回路，矛盾。11/2911(4)(5)证实假如G中无回路,但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含新边回路，则G连通且每条边均为桥。证实 反证法。假设G不连通，则存在结点ui与uj，在ui和uj之间没有路，所以增加边(ui,uj)不会产生回路，与已知矛盾。因为G无回路，故删掉任意条边e都使G-e为非连通，所以G中每条边都是桥。12/2912(5)(6)证实假如G连通且每条边均为桥，则G中任意两个结点之间存在惟一路径。证实 由G是连通可知，任意两个结点
7、间有一条路，若存在两点它们之间有多于一条路，则G中必有回路，删去该回路上任一边，图仍是连通，与G中每条边都是桥矛盾。13/2913(6)(1)证实假如G中任意两个结点之间存在惟一路径，则G是无回路连通图。证实 因为任意两结点间有唯一条路，则图G必连通。若G有回路，则在回路上任意两结点间有两条路，与已知矛盾。14/2914定理定理10.2.210.2.2 设设T T 是是n n阶非平凡无向树，则阶非平凡无向树，则T T中最少有两片树叶中最少有两片树叶.证证 设设T T有有x x片树叶，片树叶，m m条边。由握手定理及定理条边。由握手定理及定理10.2.110.2.1可知，可知，由上式解出由上式解
8、出x x 2.2.无向树性质无向树性质(续续)15/2915例题例题例例1 已已知知无无向向树树T中中,有有1个个3度度顶顶点点,2个个2度度顶顶点点,其其余余顶顶点点全是树叶全是树叶.试求树叶数试求树叶数,并画出满足要求非同构无向树并画出满足要求非同构无向树.解解 用树性质用树性质m=n 1和握手定理和握手定理.设有设有x片树叶，于是片树叶，于是 n=1+2+x=3+x,2m=2(n 1)=2(2+x)=1 3+2 2+x解出解出x=3，故，故T有有3片树叶片树叶.T度数列为度数列为1,1,1,2,2,3 有有2棵非同构无向树棵非同构无向树,如图所表示如图所表示16/2916例题例题例例2
9、已已知知无无向向树树T有有5片片树树叶叶,2度度与与3度度顶顶点点各各1个个,其其余余顶顶点点度数均为度数均为4.求求T阶数阶数n.解解 设设T阶阶数数为为n,则则边边数数为为n 1,4度度顶顶点点个个数数为为n 7.由由握握手手定理得定理得 2m=2(n 1)=5 1+2 1+3 1+4(n 7)解出解出n=8,4度顶点为度顶点为1个个.T度数列为度数列为1,1,1,1,1,2,3,4 17/2917p生成树生成树p设设G G为为无无向向连连通通图图，若若G G生生成成子子图图（v=vv=v）是是一一棵棵树树,则则称这棵树为称这棵树为G G生成树；生成树；p设设G G一一棵棵生生成成树树为为
10、T,T,则则T T中中边边称称为为T T树树枝枝,在在G G中中而而不不在在T T中中边称为边称为T T弦弦,p全部弦集合称为全部弦集合称为生成树生成树T T补补 p注意：注意：生成树生成树T T补补不一定连通不一定连通,也不一定不含回路也不一定不含回路.p右图黑边组成生成树右图黑边组成生成树p红边组成补红边组成补定义定义10.2.2 10.2.2 18/2918生成树生成树定义定义10.2.2 若图若图G生成子图是一棵树，则该树称为生成子图是一棵树，则该树称为G生成树。生成树。生成树生成树T树枝树枝:G在在T中边中边生成树生成树T弦弦:G不在不在T中边中边生成树生成树T补补（或（或余树）余树
11、）:全部弦集合导出子图全部弦集合导出子图注意：注意：不一定连通不一定连通,也不一定不含回路也不一定不含回路.19/2919举例举例例例 以下列图，以下列图，T=e1,e6,e7,e4,e3，黑线表示生成树，红线组成树补。黑线表示生成树，红线组成树补。=e2,e5,e8余树是非连通，无回路余树是非连通，无回路余树是非连通，有回路余树是非连通，有回路20/2920举例举例例例 设设T是是6阶无向简单图阶无向简单图G一棵生成树，讨论下面问题：一棵生成树，讨论下面问题：(1)当当G边数边数e=9时，时，T补是补是G生成树吗？生成树吗？(2)当当G边数边数e=12时，时，T补是补是G生成树吗？生成树吗？
12、(3)当当G边数边数e=10时，时，T补可能有哪几个情况？补可能有哪几个情况？解解 对于树对于树T，e=v-1，而任何，而任何ev或或ev-1图都不是树图都不是树（1）T补边数为补边数为9-5=4，所以不可能是树。，所以不可能是树。（2）T补边数为补边数为12-5=7，也不可能是树。，也不可能是树。（3）有两种情况：）有两种情况：T补是生成树；补是生成树；T补不连通且含圈。补不连通且含圈。21/2921生成树存在性生成树存在性 n定理定理10.2.3 无向图无向图G含有生成树当且仅当含有生成树当且仅当G连通。连通。n证实证实 必要性必要性，显然。，显然。n充分性充分性（破圈法）。（破圈法）。n
13、 若若G中无回路，中无回路，G为自己生成树。为自己生成树。n 若若G中含回路，任取一回路，随意地删除回路上一条边，中含回路，任取一回路，随意地删除回路上一条边，n若再有回路再删除回路上一条边，直到最终无回路为止。若再有回路再删除回路上一条边，直到最终无回路为止。n易知所得图无回路、连通且为易知所得图无回路、连通且为G生成子图，生成子图，n所认为所认为G生成树。生成树。22/2922求连通图G=生成树算法n1 破圈法n2 避圈法n3 广度优先搜索算法23/2923举例（破圈法）删除边删除边1删除边删除边3删除边删除边6生成树不是唯一！24/2924最小生成树最小生成树 对无向图或有向图每一条边对
14、无向图或有向图每一条边e附加一个实数附加一个实数w(e),称作称作边边e权权.图连同附加在边上权称作图连同附加在边上权称作赋权图赋权图,记作记作G=.设设G 是是G子图子图,G 全部边权和称作全部边权和称作G 权权,记作记作W(G).最小生成树最小生成树:赋权图权最小生成树赋权图权最小生成树求最小生成树算法求最小生成树算法避圈法避圈法(克鲁斯卡尔克鲁斯卡尔/Kruskal算法算法)设设G=,将非环边按权从小到大排序：将非环边按权从小到大排序：e1,e2,em.(1)把把e1加入加入T中中(2)检检验验e2,若若e2与与e1不不组组成成回回路路,则则将将e2加加入入T中中,不不然然弃弃去去e2.
15、(3)检验检验e3,重复进行直至得到生成树为止重复进行直至得到生成树为止.25/2925实例实例例例 求图一棵最小生成树求图一棵最小生成树 W(T)=3826/29261234456778123445677827/2927普里姆普里姆(Prim)(Prim)算法算法普里姆算法基本思想：普里姆算法基本思想：普里姆算法基本思想：普里姆算法基本思想：从连通图从连通图从连通图从连通图 G G=V V,E E 中某一顶点中某一顶点中某一顶点中某一顶点 u u0 0 出出出出发，选择与它关联含有最小权值边发，选择与它关联含有最小权值边发，选择与它关联含有最小权值边发，选择与它关联含有最小权值边(u u0
16、0,v v)，将其顶点加入到将其顶点加入到将其顶点加入到将其顶点加入到生成树顶点集合生成树顶点集合生成树顶点集合生成树顶点集合U U中。以后每中。以后每中。以后每中。以后每一步从一步从一步从一步从一个顶点在一个顶点在一个顶点在一个顶点在U U中中中中，而，而，而，而另一个顶点不在另一个顶点不在另一个顶点不在另一个顶点不在U U中中中中各条边中选择各条边中选择各条边中选择各条边中选择权值最小边权值最小边权值最小边权值最小边(u u,v v),把它顶点把它顶点把它顶点把它顶点加入到加入到加入到加入到集合集合集合集合U U中。如此继续下去，直到网络中中。如此继续下去，直到网络中中。如此继续下去，直到网络中中。如此继续下去，直到网络中全部顶点都加入到生成树顶点集合全部顶点都加入到生成树顶点集合全部顶点都加入到生成树顶点集合全部顶点都加入到生成树顶点集合U U中为止。中为止。中为止。中为止。28/2928用普里姆用普里姆(Prim)算法结构最小生成树过程算法结构最小生成树过程123465565173254612346551324从节点开始，选最小权值边1，节点（，）入U;从U中选最小权值边5，且对应节点不在U中，入U;从U中选最小权值边3，且对应节点不在U中，入U;从U中选最小权值边4，且对应节点不在U中，入U;从U中选最小权值边2，且对应节点不在U中，入U;29/2929
