1、第三部分第三部分 代数结构代数结构主要内容主要内容代数系统代数系统-二元运算及其性质、代数系统和子代数二元运算及其性质、代数系统和子代数半群与群半群与群-半群、独异点、群半群、独异点、群环与域环与域-环、整环、域环、整环、域格与布尔代数格与布尔代数-格、布尔代数格、布尔代数第1页1第九章第九章 代数系统代数系统主要内容主要内容二元运算及其性质二元运算及其性质一元和二元运算定义及其实例一元和二元运算定义及其实例二元运算性质二元运算性质代数系统代数系统代数系统定义及其实例代数系统定义及其实例子代数子代数积代数积代数代数系统同态与同构代数系统同态与同构第2页29.1二元运算及其性质二元运算及其性质定
2、义定义9.1设设S为集合，函数为集合，函数f：S SS 称为称为S上上二元运算二元运算，简，简称为二元运算称为二元运算S中任何两个元素都能够进行运算，且运算结果惟一中任何两个元素都能够进行运算，且运算结果惟一S中任何两个元素运算结果都属于中任何两个元素运算结果都属于S，即，即S对该运算封闭对该运算封闭例例1(1)自然数集合自然数集合N上加法和乘法是上加法和乘法是N上二元运算，但上二元运算，但减法和除法不是减法和除法不是(2)整数集合整数集合Z上加法、减法和乘法都是上加法、减法和乘法都是Z上二元运算，上二元运算，而除法不是而除法不是(3)非零实数集非零实数集R*上乘法和除法都是上乘法和除法都是R
3、*上二元运算，而上二元运算，而加法和减法不是加法和减法不是第3页3实例实例(4)设设Mn(R)表示全部表示全部n 阶阶(n2)实矩阵集合，即实矩阵集合，即则矩阵加法和乘法都是则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上二元运算上二元运算.(5)S为任意集合，则为任意集合，则、为为P(S)上二元运算上二元运算.(6)SS为为S上全部函数集合，则合成运算上全部函数集合，则合成运算 为为SS上二元运算上二元运算.第4页4一元运算定义与实例一元运算定义与实例定义定义9.2设设S为集合，函数为集合，函数f:SS 称为称为S上上一元运算一元运算，简，简称一元运算称一元运算.例例2(1)求相反数是整数集合求相反数是整数
4、集合Z,有理数集合有理数集合Q和实数集合和实数集合R上上一元运算一元运算(2)求倒数是非零有理数集合求倒数是非零有理数集合Q*,非零实数集合非零实数集合R*上一元运算上一元运算(3)求共轭复数是复数集合求共轭复数是复数集合C上一元运算上一元运算(4)在幂集在幂集P(S)上要求全集为上要求全集为S，则求绝对补运算，则求绝对补运算是是P(S)上一上一元运算元运算.(5)设设S为集合，令为集合，令A为为S上全部双射函数集合，上全部双射函数集合，A SS，求一，求一个双射函数反函数为个双射函数反函数为A上一元运算上一元运算.(6)在在n(n2)阶实矩阵集合阶实矩阵集合Mn(R)上，求转置矩阵是上，求转
5、置矩阵是Mn(R)上上一元运算一元运算.第5页5二元与一元运算表示二元与一元运算表示1算符算符能够用能够用,等符号表示二元或一元运算，称为算等符号表示二元或一元运算，称为算符符.对二元运算对二元运算，假如，假如x 与与y 运算得到运算得到z，记做，记做xy=z对一元运算对一元运算,x运算结果记作运算结果记作 x.2表示二元或一元运算方法表示二元或一元运算方法:解析公式和运算表解析公式和运算表公式表示公式表示例例设设R为实数集合，以下定义为实数集合，以下定义R上二元运算上二元运算：x,yR,x y=x.那么那么3 4=3，0.5(3)=0.5第6页6运算表：表示有穷集上一元和二元运算运算表：表示
6、有穷集上一元和二元运算 运算表运算表 二元运算运算表二元运算运算表一元运算运算表一元运算运算表第7页7 例例3 设设S=P(a,b)，S上上 和和 运算运算运算表以下运算表以下 运算表实例运算表实例第8页8二元运算性质二元运算性质定义定义9.3设设为为S上二元运算上二元运算,(1)若对任意若对任意x,yS 有有xy=yx,则称运算在则称运算在S上满足上满足交换律交换律.(2)若对任意若对任意x,y,zS有有(xy)z=x(yz),则称运算在则称运算在S上满足上满足结结合律合律.(3)若对任意若对任意xS 有有xx=x,则称运算在则称运算在S上满足上满足幂等律幂等律.定义定义9.4设设和和 为为
7、S上两个不一样二元运算上两个不一样二元运算,(1)若对任意若对任意x,y,zS有有(x y)z=(xz)(yz)，z(x y)=(zx)(zy),则称则称运算对运算对 运算满足运算满足分配律分配律.(2)若若 和和 都可交换都可交换,且对任意且对任意x,yS有有x(x y)=x，x(xy)=x,则称则称和和 运算满足运算满足吸收律吸收律.第9页9实例实例Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n阶实阶实矩阵集合矩阵集合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为从为从A到到A函数集，函数集，|A|2集合集合运算运算交交换律律结合律合律幂等律等律Z,Q,R普通
8、加法普通加法+普通乘法普通乘法 有有有有有有有有无无无无Mn(R)矩矩阵加法加法+矩矩阵乘法乘法 有有无无有有有有无无无无P(B)并并 交交 相对补相对补 对称差对称差 有有有有无无有有有有有有无无有有有有有有无无无无AA函数复合函数复合 无无有有无无第10页10集合集合运算运算分配律分配律吸收律吸收律Z,Q,R普通加法普通加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无Mn(R)矩矩阵加法加法+与乘法与乘法 对对+可分配可分配+对对 不分配不分配无无P(B)并并 与交与交 对 可分配可分配 对 可分配可分配有有交交 与与对称差称差 对 可分配可分配无无实例实例Z,Q,R分别为整
9、数、有理数、实数集；分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为为n阶实阶实矩阵集合矩阵集合,n 2；P(B)为幂集；为幂集；AA为从为从A到到A函数集，函数集，|A|2第11页11特异元素：单位元、零元特异元素：单位元、零元定义定义9.5设设为为S上二元运算上二元运算,(1)假如存在假如存在el(或或er)S，使得对任意，使得对任意xS 都有都有 elx=x(或或xer=x)，则称则称el(或或er)是是S中关于中关于运算运算左左(或或右右)单位元单位元.若若eS关于关于运算既是左单位元又是右单位元，则称运算既是左单位元又是右单位元，则称e为为S上上关于关于运算运算单位元单位元.单位元也叫做单位
10、元也叫做幺元幺元.(2)假如存在假如存在 l(或或 r)S，使得对任意，使得对任意xS 都有都有 l x=l(或或x r=r)，则称则称 l(或或 r)是是S 中关于中关于运算运算左左(或或右右)零元零元.若若 S 关于关于运算既是左零元又是右零元，则称运算既是左零元又是右零元，则称 为为S上关上关于运算于运算零元零元.第12页12可逆元素和逆元可逆元素和逆元(3)设设为为S上二元运算上二元运算,令令e为为S中关于运算中关于运算 单位元单位元.对于对于xS，假如存在，假如存在yl(或或yr)S使得使得 ylx=e（或（或xyr=e）则称则称yl(或或yr)是是x左逆元左逆元（或（或右逆元右逆元
11、）.关于关于运算，若运算，若yS 既是既是x 左逆元又是左逆元又是x 右逆元，则称右逆元，则称y为为x逆元逆元.假如假如x 逆元存在，就称逆元存在，就称x 是是可逆可逆.第13页13实例实例集合集合运算运算单位元单位元零元零元逆元逆元Z,Q,R普通加法普通加法+普通乘法普通乘法 01无无0 x逆元逆元 xx逆元逆元x 1(x 1 给定集合给定集合)Mn(R)矩矩阵加法加法+矩矩阵乘法乘法 n阶全阶全0矩阵矩阵n阶单位矩阵阶单位矩阵无无n阶全阶全0矩阵矩阵X逆元逆元XX逆元逆元X1（X可逆）可逆）P(B)并并 交交 对称差对称差 BB无无逆元为逆元为B逆元为逆元为BX逆元为逆元为X第14页14惟
12、一性定理惟一性定理定理定理9.1设设为为S上二元运算，上二元运算，el和和er分别为分别为S中关于运算中关于运算左和右单位元，则左和右单位元，则el=er=e为为S上关于上关于运算惟一单位元运算惟一单位元.证：证：el=eler(er为右单位元为右单位元)eler=er(el为左单位元为左单位元)所以所以el=er,将这个单位元记作将这个单位元记作e.假设假设e 也是也是S 中单位元，则有中单位元，则有e=ee =e.惟一性得证惟一性得证.类似地能够证实关于零元惟一性定理类似地能够证实关于零元惟一性定理.注意：注意：当当|S|2，单位元与零元是不一样；，单位元与零元是不一样；当当|S|=1时，
13、这个元素既是单位元也是零元时，这个元素既是单位元也是零元.第15页15定理定理9.2设设为为S上可结合二元运算上可结合二元运算,e为该运算单位元为该运算单位元,对于对于xS 假如存在左逆元假如存在左逆元yl 和右逆元和右逆元yr,则有则有yl=yr=y,且且y是是x 惟一逆元惟一逆元.证：由证：由ylx=e和和xyr=e得得 yl=yle=yl(xyr)=(ylx)yr=eyr=yr令令yl=yr=y,则则y 是是x 逆元逆元.假若假若yS 也是也是x 逆元逆元,则则 y=y e=y(xy)=(y x)y=ey=y所以所以y 是是x 惟一逆元惟一逆元.说明：对于可结合二元运算，可逆元素说明：对
14、于可结合二元运算，可逆元素x 只有惟一逆只有惟一逆元，记作元，记作x 1惟一性定理惟一性定理第16页169.2代数系统代数系统定义定义9.6非空集合非空集合S和和S上上k个一元或二元运算个一元或二元运算f1,f2,fk组成组成系统称为系统称为代数系统代数系统,简称代数，记做简称代数，记做.实例：实例：(1),是代数系统，是代数系统，+和和分别表分别表示普通加法和乘法示普通加法和乘法.(2)是代数系统，和是代数系统，和分别表示分别表示n 阶阶(n2)实矩阵加法和乘法实矩阵加法和乘法.(3)是代数系统，是代数系统，Zn0,1,n-1，和和 分别分别表示模表示模n加法和乘法，对于加法和乘法，对于x,
15、yZn，x y=(xy)modn，x y=(xy)modn(4)是代数系统，是代数系统，和和 为并和交，为并和交，为绝对为绝对补补第17页17代数系统成份与表示代数系统成份与表示组成代数系统成份：组成代数系统成份：集合（也叫载体，要求了参加运算元素）集合（也叫载体，要求了参加运算元素）运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）运算（这里只讨论有限个二元和一元运算）代数常数（通常是与运算相关特异元素：如单位元等）代数常数（通常是与运算相关特异元素：如单位元等）研究代数系统时，假如把运算含有它特异元素也作为系统研究代数系统时，假如把运算含有它特异元素也作为系统性质之一，那么这些特异元素能够作为系统成份
16、，叫做性质之一，那么这些特异元素能够作为系统成份，叫做代数常数代数常数.比如：代数系统比如：代数系统：集合：集合Z,运算运算+,代数常数代数常数0代数系统代数系统：集合：集合P(S),运算运算和和，无代数常数，无代数常数第18页18代数系统表示代数系统表示(1)列出全部成份：集合、运算、代数常数（假如存在）列出全部成份：集合、运算、代数常数（假如存在）如如,(2)列出集合和运算，在要求系统性质时不包括含有单位元列出集合和运算，在要求系统性质时不包括含有单位元性质（无代数常数）性质（无代数常数）如如,(3)用集合名称简单标识代数系统用集合名称简单标识代数系统在前面已经对代数系统作了说明前提下使用
17、在前面已经对代数系统作了说明前提下使用如代数系统如代数系统Z,P(B)第19页19同类型与同种代数系统同类型与同种代数系统定义定义9.7(1)假如两个代数系统中运算个数相同，对应运算元数相同，假如两个代数系统中运算个数相同，对应运算元数相同，且代数常数个数也相同，则称它们是且代数常数个数也相同，则称它们是同类型同类型代数系统代数系统.(2)假如两个同类型代数系统要求运算性质也相同，则称为假如两个同类型代数系统要求运算性质也相同，则称为同种同种代数系统代数系统.比如比如V1=,V2=,为为n 阶全阶全0矩阵，矩阵，E为为n 阶单位矩阵阶单位矩阵,V3=V1,V2,V3是同类型代数系统，它们都含有
18、是同类型代数系统，它们都含有2个二元运算个二元运算,2个代数常数个代数常数.V1,V2是同种代数系统，是同种代数系统，V1,V2与与V3不是同种代数系统不是同种代数系统第20页20V1V2V3+可交可交换、可、可结合合可交可交换、可、可结合合+满足消去律满足消去律不满足消去律不满足消去律对对+可分配可分配+对对不可分配不可分配+与与没有吸收没有吸收律律+可交可交换、可、可结合合可交可交换、可、可结合合+满足消去律满足消去律不满足消去律不满足消去律对对+可分配可分配+对对不可分配不可分配+与与没有吸收律没有吸收律可交可交换、可、可结合合可交换、可结合可交换、可结合不满足消去律不满足消去律不满足消
19、去律不满足消去律对对可分配可分配对对可分配可分配与与满足吸收律满足吸收律运算性质比较运算性质比较第21页21子代数系统子代数系统定义定义9.8设设V=是代数系统，是代数系统，B是是S非空子非空子集，假如集，假如B对对f1,f2,fk都是封闭，且都是封闭，且B和和S含有相同代含有相同代数常数，则称数常数，则称是是V子代数系统子代数系统，简称子代，简称子代数数.有时将子代数系统简记为有时将子代数系统简记为B.实例实例N是是子代数，子代数，N也是也是子代数子代数N 0是是子代数，但不是子代数，但不是子代数子代数说明：说明：子代数和原代数是同种代数系统子代数和原代数是同种代数系统对于任何代数系统对于任
20、何代数系统V=，其子代数一定存，其子代数一定存在在.第22页22关于子代数术语关于子代数术语(1)最大子代数最大子代数：就是：就是V本身本身(2)最小子代数最小子代数：假如令：假如令V中全部代数常数组成集合是中全部代数常数组成集合是 B，且，且B对对V中全部运算都是封闭，则中全部运算都是封闭，则B就组成了就组成了V最小子代数最小子代数(3)最大和最小子代数称为最大和最小子代数称为V 平凡子代数平凡子代数(4)若若B是是S真子集，则真子集，则B组成子代数称为组成子代数称为V真子代数真子代数.例例设设V=,令令nZ=nz|z Z,n为自然数，则为自然数，则nZ是是V子子代数代数当当n=1和和0时，
21、时，nZ是是V平凡子代数，其它都是平凡子代数，其它都是V非非平凡真子代数平凡真子代数.第23页23积代数积代数定义定义9.9设设V1=和和V2=是同类型代数系统，是同类型代数系统，和和 为二元运算，在集合为二元运算，在集合A B上以下定义二元运算上以下定义二元运算，,A B，有，有=称称V=为为V1与与V2积代数积代数，记作，记作V1 V2.这时也称这时也称V1和和V2为为V因子代数因子代数.注意：注意：积代数定义能够推广到含有多个运算同类型代积代数定义能够推广到含有多个运算同类型代数系统数系统 第24页24积代数性质积代数性质定理定理9.3设设V1=和和V2=是同类型代数系统，是同类型代数系
22、统，V1 V2=是它们积代数是它们积代数.(1)假如假如 和和 运算是可交换（可结合、幂等），那么运算是可交换（可结合、幂等），那么运算运算也是可交换（可结合、幂等）也是可交换（可结合、幂等）(2)假如假如e1和和e2（1和和 2）分别为）分别为 和和 运算单位元（零元）运算单位元（零元），那么，那么（）也是）也是运算单位元（零元）运算单位元（零元）(3)假如假如x 和和y 分别为分别为和和 运算可逆元素，那么运算可逆元素，那么也是也是运算可逆元素，其逆元就是运算可逆元素，其逆元就是第25页259.3代数系统同态与同构代数系统同态与同构定义定义9.10设设V1=和和V2=是同类型代数系统，是同
23、类型代数系统，f:AB，且，且 x,y A 有有f(x y)=f(x)f(y),则称则称f 是是V1到到V2同态同态映射，简称同态映射，简称同态.同态分类：同态分类：(1)f 假如是单射，则称为假如是单射，则称为单同态单同态(2)假如是满射，则称为假如是满射，则称为满同态满同态，这时称，这时称V2是是V1同态像同态像，记作记作V1 V2(3)假如是双射，则称为同构，也称代数系统假如是双射，则称为同构，也称代数系统V1同构同构于于V2，记作记作V1 V2(4)假如假如V1=V2，则称作，则称作自同态自同态第26页26实例实例(1)设设V1=,V2=其中其中Z为整数集，为整数集，+为普通加为普通加
24、法；法；Zn=0,1,n 1，为模为模n加加.令令 f:ZZn，f(x)=(x)modn那么那么f 是是V1到到V2满同态满同态(2)设设V1=,V2=，其中，其中R和和R*分别为实数集与分别为实数集与非零实数集，非零实数集，+和和分别表示普通加法与乘法令分别表示普通加法与乘法令f:RR*，f(x)=ex则则f 是是V1到到V2单同态单同态.第27页27第九章第九章 习题课习题课主要内容主要内容代数系统组成：非空集合、封闭二元和一元运算、代数常代数系统组成：非空集合、封闭二元和一元运算、代数常数数 二元运算性质和特异元素：交换律、结合律、幂等律、分二元运算性质和特异元素：交换律、结合律、幂等律
25、、分配律、吸收律、单位元、零元、可逆元和逆元配律、吸收律、单位元、零元、可逆元和逆元同类型与同种代数系统同类型与同种代数系统子代数定义与实例子代数定义与实例积代数定义与性质积代数定义与性质代数系统同态与同构代数系统同态与同构第28页28基本要求基本要求判断给定集合和运算能否组成代数系统判断给定集合和运算能否组成代数系统判断给定二元运算性质判断给定二元运算性质求而二元运算特异元素求而二元运算特异元素了解同类型和同种代数系统概念了解同类型和同种代数系统概念了解子代数基本概念了解子代数基本概念计算积代数计算积代数判断函数是否为同态映射和同构映射判断函数是否为同态映射和同构映射第29页29练习练习11
26、设设 运算为运算为Q上二元运算，上二元运算，x,y Q,x y=x+y+2xy,(1)判断判断 运算是否满足交换律和结合律，并说明理由运算是否满足交换律和结合律，并说明理由.(2)求出求出 运算单位元、零元和全部可逆元素逆元运算单位元、零元和全部可逆元素逆元.(1)运算可交换，可结合运算可交换，可结合.任取任取x,y Q,x y=x+y+2xy=y+x+2yx=y x,任取任取x,y,z Q,(x y)z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x(y z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+
27、4xyz第30页30(2)设设 运算单位元和零元分别为运算单位元和零元分别为e 和和 ，则，则对于任对于任意意x 有有x e=x 成立，即成立，即 x+e+2xe=x e=0因为因为 运算可交换，所以运算可交换，所以0是幺元是幺元.对于任意对于任意x 有有x =成立，即成立，即x+2x=x+2x =0=1/2给定给定x，设，设x 逆元为逆元为y,则有则有x y=0成立，即成立，即 x+y+2xy=0(x 1/2)所以当所以当x 1/2时时，是是x逆元逆元.解答解答第31页312下面是三个运算表下面是三个运算表(1)说明那些运算是可交明那些运算是可交换、可、可结合、合、幂等等.(2)求出每个运算
28、单位元、零元、全部可逆元素逆元求出每个运算单位元、零元、全部可逆元素逆元练习练习2第32页32解解答解答(1)*满足交换律，满足结合律，不满足幂等律满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.不满足交换律，满足结合律，满足幂等律不满足交换律，满足结合律，满足幂等律.满足交换律，满足结合律，不满足幂等律满足交换律，满足结合律，不满足幂等律.(2)*单位元为单位元为b，没有零元，没有零元，a 1=c,b 1=b,c 1=a 单位元和零元都不存在，没有可逆元素单位元和零元都不存在，没有可逆元素.单位元为单位元为a，零元为，零元为c，a 1=a，b,c不是可逆元素不是可逆元素.说明：关于结合律判断说明：关于
29、结合律判断需要针对运算元素每种选择进行验证，若需要针对运算元素每种选择进行验证，若|A|=n，普通需要，普通需要验证验证n3个等式个等式.单位元和零元无须参加验证单位元和零元无须参加验证.经过对详细运算性质分析也可能简化验证复杂性经过对详细运算性质分析也可能简化验证复杂性.第33页33练习练习33.设设G为非为非0实数集实数集R*关于普通乘法组成代数系统，关于普通乘法组成代数系统，判断下述函数是否为判断下述函数是否为G自同态？假如不是，说明理由自同态？假如不是，说明理由.假如是，判别它们是否为单同态、满同态、同构假如是，判别它们是否为单同态、满同态、同构.(1)f(x)=|x|+1(2)f(x
30、)=|x|(3)f(x)=0(4)f(x)=2第34页34解答解答解解 (1)不是同态不是同态,因为因为f(2 2)=f(4)=5,f(2)f(2)=3 3=9(2)是同态，不是单同态，也不是满同态，因为是同态，不是单同态，也不是满同态，因为f(1)=f(1),且且ranf中没有负数中没有负数.(3)不是不是G 自同态，因为自同态，因为f 不是不是G 到到G 函数函数(4)不是不是G 自同态，因为自同态，因为f(2 2)=2,f(2)f(2)=2 2=4说明：判别或证实同态映射方法说明：判别或证实同态映射方法(1)先判断（或证实）先判断（或证实）f 是是G1到到G2映射映射f:G1G2.假如已假如已知知f:G1G2，则这步判断能够省去，则这步判断能够省去.(2)x,y G1,验证验证f(xy)=f(x)f(y)(3)判断同态性质只需判断函数单射、满射、双射性即可判断同态性质只需判断函数单射、满射、双射性即可.第35页35
