1、积分变换课件积分变换课件第1页(一一)付氏级数付氏级数称实系数R上实值函数f（t）在闭区间a,b上满足狄利克莱（DirichLet）条件，假如它满足条件：在a,b上或者连续，或者只有有限个第一类间断点；f（t）在a,b上只有有限个极值点。1.1 1.1 付氏积分付氏积分第一章 付里叶变换第2页 从T为周期周期函数fT(t)，假如在 上满足狄利克雷条件，那么在 上fT(t)能够展成付氏级数，在fT(t)连续点处，级数三角形成为 其中 称为频率，频率对应周期T与fT(t)周期相同，因而称为基波频率，n称为fT(t)n次谐波频率。第3页 (二二)付氏级数复指数形式付氏级数复指数形式 在fT(t)间断
2、点t0处，式(1.1.1)左端代之为 即 (三三)付氏积分付氏积分 任何一个非周期函数f(t)都能够看成由某个周期函数fT(t)当T+时转化而来。这个公式称为函数f(t)付里叶积分公式第4页 付氏积分定理付氏积分定理 若f(t)在(-，+)上满足以下条件：2则积发 存在,而且在f(t)连续点处 1在任一有限区间满足狄利克雷条件；而在f(t)间断点t0处，应以 代替该式左端f(t)。注注 非周期函数满足付氏积分定理条件1，才能确保函数在任意有限区间上能展为付氏级数。满足付氏积分定理第2条,才能确保 存在。第5页1.2 1.2 付氏变换付氏变换 (一一)定义定义1.1.1 1.1.1 设f(t)和
3、F()分别是定义在R上实值和复值函数，称它们是一组付里叶变换对，假如成立并称F()为f(t)象函数或付里叶变换，记为Ff(t)；称f(t)为F()象原函数或付里叶逆变换，记为F-1F()第6页例1求矩形脉冲函数付氏变换及其积分表示式。第7页第8页tf(t)第9页第10页(二二)尤拉公式及尤拉公式推出几个公式尤拉公式及尤拉公式推出几个公式 第11页2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,经常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象含有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受含有脉冲性质电势作用后产生电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍单位脉
4、冲函数.第12页在原来电流为零电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量脉冲,现在要确定电路上电流i(t).以q(t)表示上述电路中电荷函数,则当t0时,i(t)=0,因为q(t)是不连续,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数.第13页假如我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下函数类中找不到一个函数能够表示这么电流强度.为了确定这么电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)函数,简单记成d-函数:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时量,比如点电荷,点热源,集中于一点质量及脉冲技术中非常窄脉冲等,就能够象处理连续分布量那样,以统一方式加以处理.第14页de(t)1/ee
5、O（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。第15页可将d-函数用一个长度等于1有向线段表示,这个线段长度表示d-函数积分值,称为d-函数强度.tOd(t)1d-函数有性质：可见d-函数和任何连续函数乘积在实轴上积分都有明确意义。第16页 (三三)函数及其付氏变换函数及其付氏变换 1.函数定义 (1)(狄拉克)满足一列两个条件函数称为函数。(2)普通函数序列极限形式定义其中 (3)广义函数形式定义 若f(t)为无穷次可积函数，则第17页d-函数傅氏变换为:于是d(t)与常数1组成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例1证实：1和2pd(w)组成
6、傅氏变换对.证法1：第18页 3.3.函数在积分变换中作用函数在积分变换中作用 (1)有了函数，对于点源和脉冲量研究就能够象处理连续分布量那样，以统一方式来对待。(2)尽管函数本身没有普通意义下函数值，但它与任何一个无穷次可做函数乘积在(-,+)上积分都有确定值。(3)函数付氏变换是广义付氏变换，许多主要函数，如常函数、符号函数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等是不满足付氏积分定理中绝对可积条件(即 不存在)，这些函数广义付氏变换都能够利用函数而得到。第19页由上面两个函数变换可得第20页 这种频谱图称为离散频谱离散频谱，也称为线状频谱线状频谱 (四四)付氏变换物理意义付氏变换物理意义频谱频
7、谱 1.非正弦周期函数频谱第21页例4求正弦函数f(t)=sinw0t傅氏变换。tpp-w0w0Ow|F(w)|第22页(一一)惯用函数付里叶变换公式惯用函数付里叶变换公式 1.3 1.3 付氏付氏变换变换公式和性质第23页例5证实：证：第24页第25页(三三)付氏变换性质付氏变换性质 1线性性质。设F =，F =，和 为常数，则b2位移性质 该性质在无线电技术中也称为时移性质。第26页3对称性质 若，则4相同性质 若，则第27页5象函数位移性质 若，则 象函数位移性质在无线电技术中也称为频移性质。6.翻转性质 若，则 第28页7.微分性质若f 在 上连续或只有有限个可去间断点,且当 时，则推
8、论 若 （k=1,2,n）在 上连续或只有有限个可去间断点，且 =0，k=0,1,2,(n-1),则有 第29页8.象函数微分性质若 ，则普通地，有若当 时，=,则假如 ，则 9.积分性质其中 第30页10.象函数积分性质若 ，则11.乘积定理若，则 其中，均为t实函数，、分别为、共轭函数。第31页12.能量积分若，则该等式又称为巴塞瓦等式。13.卷积定理设 ，满足付氏积分定理中条件，且 ，则第32页1.4 1.4 卷积与相关函数卷积与相关函数 一、卷积意义一、卷积意义 若已知函数f1(t)，f2(t)，则积分称为函数f1(t)与f2(t)卷积，记为f1(t)*f2(t)，即 二、卷积性质二、
9、卷积性质第33页第34页例 求微分积分方程第35页第36页第37页第38页第39页第40页第41页第42页第二章 拉普拉斯变换2.1 2.1 拉普拉斯变换概念拉普拉斯变换概念一、拉氏变换和拉氏逆变换定义一、拉氏变换和拉氏逆变换定义 设函数f(t)当 0时有定义，而且积分（s是一个复参量），在s某一域内收敛，则由此积分决定函数可写为 称为拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或象函数，记为，即又称 为 拉普拉斯逆变换（简称为拉氏逆变换）或象原函数，记 即第43页 二、拉氏变换存在定理二、拉氏变换存在定理 拉氏变换存在定理拉氏变换存在定理 设函数f(t)满足以下条件：1当t0时，f(t)=0；2f(t)在t
10、0任一有限区间上分段连续，间断点个数是有限个，且都是第一类间断点；3f(t)是指数级函数。则f(t)拉氏变换在半平面Re(s)=c上一定存在，此时上式右端积分绝对收敛而且一致收敛，同时在此半平面内，F(s)是解析函数。第44页 关于拉氏变换存在定理，做以下几点说明：(1)从物理应用观点来看，条件2、3都是轻易满足。实用上所考查物理过程，往往是用时间函数来描述，而且是从某一时刻开始，所以能够选这时刻为t=0，在此以前情况则不加考虑。比如sint，若要对它进行拉氏变换则应把它了解为sintu(t)。(2)工程技术中所碰到函数大部分是存在拉氏变换。(3)假如f(t)为指数级函数，则其增加指数不唯一。
11、第45页 三、关于拉氏变换积分下限问题三、关于拉氏变换积分下限问题 f(t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个积分区间包含t=0这一点，还是不包含t=0这一点。假如包含，我们把积分下限记为0-；假如不包含，我们把积分下限记为0+，于是得出了不一样拉氏变换。记第46页2.2 2.2 拉氏变换基本公式和性质拉氏变换基本公式和性质一、惯用函数拉氏变换公式一、惯用函数拉氏变换公式 当m为正整数时，有 注函数含有以下递推公式 第47页当m是正整数时，(9)设 是0，+)上周期为T函数，即 则 拉氏变换为 第48页二、拉氏变换性质二、拉氏变换性质 设 则有(1)线性性质（设、为常数）（2）位移性质
12、（设a为常数）（3）延迟性质 若t0时 ，则对任一非负实数 有 亦可写为 第49页注注 中意味着（当 时）只有此式成立时才能使用延迟性质，这一点轻易被忽略，因而造成错误，为了防止出现这种错误。故将延迟性质写为(2.2.16)式形式。(4)微分性质 推论推论=尤其地，当初值 时，有 第50页(5)积分性质 推论推论(6)象函数微分性质 普通地，有(7)象函数积分性质 若积分 收敛，则 普通地，有 第51页注注 由象函数积分性质得即 利用此式，可计算右端广义积分。这是拉氏变换应用之一。在上式中令s=0，假如 收敛，存在，则有(8)卷积定理 注注 付氏变换中卷积定理包含两个公式，而拉氏变换中卷积定理
13、只含一个公式。第52页(9)初值定理 若 存在，则(10)终值定理 若 全部奇点全在s平面左半部，则(11)相同性质（设a为正实数）第53页2.3 2.3 拉氏逆变换拉氏逆变换 定理定理2.3.1 2.3.1 若函数f(t)满足拉氏变换存在定理中条件。0为收敛坐标，则L -1F(s)由下式给出其中t为f(t)连续点。假如t为f(t)间断点，则改成：这里积分路线是平行于虚轴任一直线Res=(0)称(2.3.1)式为复反演积分公式。第54页2.4 2.4 拉氏变换应用拉氏变换应用 一、初值定理与终值定理一、初值定理与终值定理 在前面已经讲到，利用初值定理和终值定理，能够求出 与 ，在这里是经过 求得，而不是经过 。第55页 设L f(t)=F(s)，则假设 全部奇点都在S平面左半部，即F(s)在Re(s)0解析。二、利用拉氏变换求定积分二、利用拉氏变换求定积分第56页第57页第58页第59页第60页
