1、第七章第七章 二元关系（重点）二元关系（重点）第二部分第二部分 集合论集合论第六章第六章 集合代数集合代数第八章第八章 函数（重点）函数（重点）1/411主要内容主要内容6.1 集合基本概念集合基本概念 属于、包含、属于、包含、幂集幂集、空集、文氏图等、空集、文氏图等6.2 集合基本运算集合基本运算 集合初级运算：并、交、相对补、绝对补、集合初级运算：并、交、相对补、绝对补、对称差对称差 集合广义并与广义交集合广义并与广义交 有穷集合元素计数有穷集合元素计数6.3 集合恒等式集合恒等式 集合运算算律、集合运算算律、恒等式证实方法恒等式证实方法 第六章第六章 集合代数集合代数2/4126.1 集
2、合基本概念集合基本概念1.集合定义集合定义 集合没有准确数学定义集合没有准确数学定义 了解：由离散个体组成整体称为了解：由离散个体组成整体称为集合集合，称这些个体为集，称这些个体为集 合合元素元素 常见数集：常见数集：N,Z,Q,R,C 等分别表示自然数、整数、有等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合理数、实数、复数集合2.集合表示法集合表示法 枚举法枚举法-经过列出全体元素来表示集合经过列出全体元素来表示集合 谓词表示法谓词表示法-经过谓词概括集合元素性质经过谓词概括集合元素性质 实例：实例：枚举法枚举法 自然数集合自然数集合 N=0,1,2,3,谓词法谓词法 S=x|x是实数，是
3、实数，x2 1=0 3/413元素与集合元素与集合1.集合元素含有性质集合元素含有性质 无序性：元素列出次序无关无序性：元素列出次序无关 相异性：集合每个元素只计相异性：集合每个元素只计 数一次数一次 确定性：对任何元素和集合都确定性：对任何元素和集合都 能确定这个元素是否能确定这个元素是否 为该集合元素为该集合元素 任意性：集合元素也能够是任意性：集合元素也能够是 集合集合2元素与集合关系元素与集合关系 隶属关系：隶属关系：或者或者 3集合树型层次结构集合树型层次结构d A,a A4/414集合与集合集合与集合集合与集合之间关系：集合与集合之间关系：,=,定义定义6.1 A B x(x A
4、x B)定义定义6.2 A=B A B B A定义定义6.3 A B A B A B A B x(x A x B)思索：思索：和和 定义定义 注意注意 和和 是不一样层次问题是不一样层次问题5/415空集、全集和幂集空集、全集和幂集1定义定义6.4 空集空集 ：不含有任何元素集合：不含有任何元素集合 实例：实例：x|x R x2+1=0 定理定理6.1 空集是任何集合子集。空集是任何集合子集。证证 对于任意集合对于任意集合A，A x(xx A)T(恒真命题恒真命题)推论推论 是惟一是惟一3.定义定义6.6 全集全集 E：包含了全部集合集合：包含了全部集合集合 全集含有相对性：与问题相关，不存在
5、绝正确全集全集含有相对性：与问题相关，不存在绝正确全集2.定义定义6.5 幂集幂集：P(A)=x|x A 实例：实例：P()=,P()=,计数：假如计数：假如|A|=n，则，则|P(A)|=2n.比如，比如，A=1,2,3则则|P(A)|=23=86/4166.2 集合运算集合运算初级运算初级运算集合基本运算有集合基本运算有定义定义6.7 并并 A B=x|x A x B 交交 A B=x|x A x B 相对补相对补 A B=x|x A x B定义定义6.8 对称差对称差 A B=(A B)(B A)定义定义6.9 绝对补绝对补 A=E A 7/417文氏图文氏图集合运算表示集合运算表示AB
6、ABABABABA BA BABA BA8/418几点说明几点说明并和交运算能够推广到有穷个集合上，即并和交运算能够推广到有穷个集合上，即A1 A2 An=x|x A1 x A2 x An A1 A2 An=x|x A1 x A2 x An A B A B=A B=A B=A9/419广义运算广义运算1.集合广义并与广义交集合广义并与广义交 定义定义6.10 广义并广义并 A=x|z(z A x z)广义交广义交 A=x|z(z A x z)实例实例 1,1,2,1,2,3=1,2,3 1,1,2,1,2,3=1 a=a，a=a a=a，a=a10/4110关于广义运算说明关于广义运算说明2.
7、广义运算性质广义运算性质 (1)=，无意义无意义 (2)单元集单元集x广义并和广义交都等于广义并和广义交都等于x (3)广义运算降低集合层次（括弧降低一层）广义运算降低集合层次（括弧降低一层）(4)广义运算计算：普通情况下能够转变成初级运算广义运算计算：普通情况下能够转变成初级运算 A1,A2,An=A1 A2 An A1,A2,An=A1 A2 An 3.引入广义运算意义引入广义运算意义 能够表示无数个集合并、交运算，比如能够表示无数个集合并、交运算，比如 x|x R=R 这里这里 R 代表实数集合代表实数集合.11/4111运算优先权要求运算优先权要求1 类运算：初级运算类运算：初级运算,
8、，优先次序由括号确定优先次序由括号确定2 类运算：广义运算和类运算：广义运算和 运算，运算，运算由右向左进行运算由右向左进行混合运算：混合运算：2 类运算优先于类运算优先于1 类运算类运算例例1 A=a,a,b，计算，计算A(AA).解：解：A(AA)=a,b(a,ba)=(a b)(a b)a)=(a b)(b a)=b12/4112有穷集合元素计数有穷集合元素计数1.文氏图法文氏图法2.包含排斥原理包含排斥原理定理定理6.2 设集合设集合S上定义了上定义了n条性质，其中含有第条性质，其中含有第 i 条性质条性质元素组成子集元素组成子集Ai,那么集合中不含有任何性质元素数为那么集合中不含有任
9、何性质元素数为 推论推论 S中最少含有一条性中最少含有一条性质元素数元素数为13/4113实例实例例例2 求求1到到1000之间（包含之间（包含1和和1000在内）既不能被在内）既不能被5和和6整整除，也不能被除，也不能被8整除数有多少个？整除数有多少个？定义以下集合：定义以下集合：S=x|x Z 1 x 1000 A=x|x S x可被可被5整除整除 B=x|x S x可被可被6整除整除 C=x|x S x可被可被8整除整除 解得解得N=1000(200+100+33+67)=600画出文氏图，然后填入对应数字，画出文氏图，然后填入对应数字，解解 方法一：文氏图方法一：文氏图14/4114实
10、例实例方法二方法二 包含排斥原理包含排斥原理|S|=1000|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=166,|C|=1000/8=125|A B|=1000/lcm(5,6)=1000/33 =33|A C|=1000/lcm(5,8)=1000/40 =25|B C|=1000/lcm(6,8)=1000/24 =41|A B C|=1000/lcm(5,6,8)=1000/120 =8 =1000(200+166+125)+(33+25+41)8=600 15/41156.3 集合恒等式集合恒等式集合算律集合算律1只包括一个运算算律：只包括一个运算算律：交换律交换律、结合律结合
11、律、幂等律幂等律 交换交换A B=B AA B=B AA B=B A结合结合(A B)C=A(B C)(A B)C=A(B C)(A B)C=A(B C)幂等幂等A A=AA A=A16/4116集合算律集合算律 2包括两个不一样运算算律：包括两个不一样运算算律：分配律、吸收律分配律、吸收律 与与 与与 分配分配A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)A(B C)=(A B)(A C)吸收吸收A(A B)=AA(A B)=A17/4117集合算律集合算律3包括补运算算律：包括补运算算律：DM律律，双重否定律双重否定律 D.M律律A(B C)=(A B)(A C)A(
12、B C)=(A B)(A C)(B C)=BC(B C)=BC双重否定双重否定A=A18/4118集合算律集合算律4包括全集和空集算律：包括全集和空集算律：补元律补元律、零律零律、同一律同一律、否定律否定律E补元律补元律AA=AA=E零律零律A=A E=E同一律同一律A=AA E=A否定否定=E E=19/4119集合证实题集合证实题证实方法：命题演算法、等式置换法证实方法：命题演算法、等式置换法命题演算证实法书写规范命题演算证实法书写规范(以下以下X和和Y代表集合公式代表集合公式)(1)证证X Y 任取任取x，x X x Y(2)证证X=Y 方法一方法一 分别证实分别证实 X Y 和和 Y
13、X 方法二方法二 任取任取x，x X x Y注意：在使用方法二格式时，必须确保每步推理都是充注意：在使用方法二格式时，必须确保每步推理都是充分必要分必要20/4120集合等式证实集合等式证实方法一：命题演算法方法一：命题演算法例例3 证实证实A(A B)=A（吸收律）（吸收律）证证 任取任取x,x A(A B)x A x A B x A(x A x B)x A 所以得所以得 A(A B)=A.例例4 证实证实 A B=AB证证 任取任取x,x A B x A x B x A xB x AB 所以得所以得 A B=AB21/4121等式代入法等式代入法方法二：等式置换法方法二：等式置换法例例5
14、假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证实吸假设交换律、分配律、同一律、零律已经成立，证实吸 收律收律.证证 A(A B)=(A E)(A B)（同一律）（同一律）=A(E B)（分配律）（分配律）=A(B E)（交换律）（交换律）=A E （零律）（零律）=A （同一律）（同一律）22/4122包含等价条件证实包含等价条件证实例例6 证实证实A B AB=B A B=A A B=证实思绪：证实思绪：确定问题中含有命题：本题含有命题确定问题中含有命题：本题含有命题,确定命题间关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证确定命题间关系（哪些命题是已知条件、哪些命题是要证实结论）：本题中每个命题都
15、能够作为已知条件，每个命实结论）：本题中每个命题都能够作为已知条件，每个命题都是要证实结论题都是要证实结论确定证实次序：确定证实次序：，按照次序依次完成每个证实（证实集合相等或者包含）按照次序依次完成每个证实（证实集合相等或者包含）23/4123证证 显然显然B A B，下面证实，下面证实A B B.任取任取x，x A B x A x B x B x B x B 所以有所以有A B B.综合上述综合上述得证得证.A=A(A B)A=A B(由由知知A B=B，将，将A B用用B代入代入)证实证实A B A B=B A B=A A B=24/4124假设假设A B,即即 x A B，那么知道，那
16、么知道x A且且x B.而而 x B x A B 从而与从而与A B=A矛盾矛盾.假设假设A B不成立，那么不成立，那么 x(x A x B)x A B A B与条件与条件矛盾矛盾.证实证实A B A B=B A B=A A B=25/4125第六章第六章 习题课习题课主要内容主要内容集合两种表示法集合两种表示法集合与元素之间隶属关系、集合之间包含关系区分与联集合与元素之间隶属关系、集合之间包含关系区分与联络络特殊集合：空集、全集、幂集特殊集合：空集、全集、幂集文氏图及有穷集合计数文氏图及有穷集合计数集合集合,等运算以及广义等运算以及广义,运算运算集合运算算律及其应用集合运算算律及其应用26/
17、4126基本要求基本要求熟练掌握集合两种表示法熟练掌握集合两种表示法能够判别元素是否属于给定集合能够判别元素是否属于给定集合能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系系熟练掌握集合基本运算（普通运算和广义运算）熟练掌握集合基本运算（普通运算和广义运算）掌握证实集合等式或者包含关系基本方法掌握证实集合等式或者包含关系基本方法27/4127练习练习1 1判断以下命题是否为真判断以下命题是否为真(1)(2)(3)(4)(5)a,b a,b,c,a,b,c(6)a,b a,b,c,a,b(7)a,b a,b,a,b (8)a,b a,b,a,
18、b 解解 (1)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)为真，其余为假为真，其余为假.28/4128方法分析方法分析(1)判断元素判断元素a与集合与集合A隶属关系是否成立基本方法：隶属关系是否成立基本方法：把把 a 作为整体检验它在作为整体检验它在A中是否出现，注意这里中是否出现，注意这里 a 可可 能是集合表示式能是集合表示式.(2)判断判断A B四种方法四种方法若若A,B是用枚举方式定义，依次检验是用枚举方式定义，依次检验A每个元素是否在每个元素是否在B中出现中出现.若若A,B是谓词法定义，且是谓词法定义，且A,B中元素性质分别为中元素性质分别为P和和Q,那那么么“若若P则则Q”意味意味
19、A B，“P当且仅当当且仅当Q”意味意味=经过集合运算判断经过集合运算判断A B，即，即A B=B,A B=A,A B=三个等式中有一个为真三个等式中有一个为真.经过文氏图判断集合包含（注意这里是判断，而不是证实经过文氏图判断集合包含（注意这里是判断，而不是证实29/4129练习练习22设设S1=1,2,8,9，S2=2,4,6,8，S3=1,3,5,7,9 S4=3,4,5，S5=3,5。确定在以下条件下。确定在以下条件下X是否与是否与S1,S5中某个集合相等？假如是，又与哪个集合相等中某个集合相等？假如是，又与哪个集合相等？（1）若）若 X S5=（2）若）若 X S4但但 X S2=（3
20、）若）若 X S1且且 X S3 （4）若）若 X S3=（5）若）若 X S3 且且 X S130/4130解答解答解解(1)和和S5不交子集不含有不交子集不含有3和和5，所以，所以 X=S2.(2)S4子集只能是子集只能是S4和和S5.因为与因为与S2不交，不能含有偶数，不交，不能含有偶数，所以所以 X=S5.(3)S1,S2,S3,S4和和S5都是都是S1子集，不包含在子集，不包含在S3子集含有子集含有 偶数，所以偶数，所以 X=S1,S2或或S4.(4)X S3=意味着意味着 X是是S3子集，所以子集，所以 X=S3或或 S5.(5)因为因为S3是是S1子集，所以这么子集，所以这么X不
21、存在不存在.31/4131练习练习33.判断以下命题真假，并说明理由判断以下命题真假，并说明理由.（1）A B=A B=（2）A(B C)=(A B)(A C)（3）A A=A （4）假如）假如A B=B，则，则A=E.（5）A=x x，则，则 x A且且x A.32/4132解题思绪解题思绪先将等式化简或恒等变形先将等式化简或恒等变形.查找集合运算相关算律，假如与算律相符，结果为真查找集合运算相关算律，假如与算律相符，结果为真.注意以下两个主要充要条件注意以下两个主要充要条件 A B=A A B=A B=A B A B=B A B=A 假如与条件相符，则命题为真假如与条件相符，则命题为真.假
22、如不符合算律，也不符合上述条件，能够用文氏图表示假如不符合算律，也不符合上述条件，能够用文氏图表示集合，看看命题是否成立集合，看看命题是否成立.假如成立，再给出证实假如成立，再给出证实.试着举出反例，证实命题为假试着举出反例，证实命题为假.33/4133解答解答解解(1)B=是是A B=A充分条件，但不是必要条件充分条件，但不是必要条件.当当B不空但不空但 是与是与A不交时也有不交时也有A B=A.(2)这是这是DM律，命题为真律，命题为真.(3)不符合算律，反例以下：不符合算律，反例以下：A=1，A A=，不过，不过A.(4)命题不为真命题不为真.A B=B充分必要条件是充分必要条件是 B
23、A，不是，不是A=E.(5)命题为真，因为命题为真，因为 x 既是既是 A 元素，也是元素，也是 A 子集子集 34/4134练习练习44证实证实 A B=A C A B=A C B=C解题思绪解题思绪分析命题：含有分析命题：含有3 3个命题：个命题：A B=A C,A B=A C,B=C 证实要求证实要求 前提：命题前提：命题和和 结论：命题结论：命题 证实方法：证实方法：恒等式代入恒等式代入 反证法反证法 利用已知等式经过运算得到新等式利用已知等式经过运算得到新等式35/4135解答解答方法一：恒等变形法方法一：恒等变形法 B=B(B A)=B(A B)=B(A C)=(B A)(B C)
24、=(A C)(B C)=(A B)C =(A C)C=C 方法二：反证法方法二：反证法.假设假设 B C，则存在，则存在 x(x B且且x C),或存在或存在 x(x C且且x B).不妨设为前者不妨设为前者.若若x属于属于A，则，则x属于属于A B 但但x不属于不属于A C，与已知矛盾；，与已知矛盾；若若x不属于不属于A，则，则x属于属于A B但但x不属于不属于A C，也与已知矛，也与已知矛盾盾.36/4136解答解答方法三：利用已知等式经过运算得到新等式方法三：利用已知等式经过运算得到新等式.由已知等式由已知等式和和能够得到能够得到 (A B)(A B)=(A C)(A C)即即 A B=
25、A C 从而有从而有 A(A B)=A(A C)依据结合律得依据结合律得 (A A)B=(A A)C 因为因为A A=,化简上式得化简上式得B=C.37/4137练习练习55设设A,B为集合，试确定以下各式成立充分必要条件：为集合，试确定以下各式成立充分必要条件：(1)A B=B(2)A B=B A(3)A B=A B(4)A B=A38/4138分析分析解题思绪解题思绪:求解集合等式成立充分必要条件可能用到集合算律、不一样求解集合等式成立充分必要条件可能用到集合算律、不一样集合之间包含关系、以及文氏图等集合之间包含关系、以及文氏图等.详细求解过程说明以下：详细求解过程说明以下：(1)化简给定
26、集合等式化简给定集合等式 (2)求解方法以下：求解方法以下：l利用已知算律或者充分必要条件进行判断利用已知算律或者充分必要条件进行判断l先求必要条件，然后验证充分性先求必要条件，然后验证充分性l利用文氏图直观性找出相关条件，再利用集合论证实利用文氏图直观性找出相关条件，再利用集合论证实方法加以验证方法加以验证 39/4139解答解答解解(1)A B=B A=B=.求解过程以下：求解过程以下：由由A B=B得得 (AB)B=B B 化简得化简得B=.再将这个结果代入原来等式得再将这个结果代入原来等式得A=.从从而得到必要条件而得到必要条件A=B=.再验证充分性再验证充分性.假如假如A=B=成立，
27、则成立，则A B=B也成立也成立.(2)A B=B A A=B.求解过程以下：求解过程以下：充分性是显然，下面验证必要性充分性是显然，下面验证必要性.由由A B=B A得得 (A B)A=(B A)A从而有从而有A=A B,即即A B.同理可证同理可证B A.40/4140解答解答(3)A B=A B A=B.求解过程以下：求解过程以下：充分性是显然，下面验证必要性充分性是显然，下面验证必要性.由由A B=A B得得 A(A B)=A(A B)化简得化简得A=A B，从而有，从而有A B.类似能够证实类似能够证实B A.(4)A B=A B=.求解过程以下：求解过程以下：充分性是显然，下面验证必要性充分性是显然，下面验证必要性.由由A B=A得得 A(A B)=A A依据结合律有依据结合律有 (A A)B=A A即即 B=,就是就是B=.41/4141
