1、积分变换积分变换第第7讲讲第1页1拉氏逆变换第2页2前面主要讨论了由已知函数f(t)求它象函数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反问题,即已知象函数F(s)求它象原函数f(t).本节就来处理这个问题.由拉氏变换概念可知,函数f(t)拉氏变换,实际上就是f(t)u(t)e-bt傅氏变换.第3页3所以,按傅氏积分公式,在f(t)连续点就有等式两边同乘以ebt,则第4页4右端积分称为拉氏反演积分,它积分路线是沿着虚轴方向从虚部负无穷积分到虚部正无穷.而积分路线中实部b则有一些随意,但必须满足条件就是e-btf(t)u(t)0到正无穷积分必须收敛.计算复变函数积分通常比较困难,不过能够用留数方法计
2、算.第5页5定理 若s1,s2,.,sn是函数F(s)全部奇点(适当选取b使这些奇点全在Re(s)b范围内),且当s时,F(s)0,则有第6页6什么叫一个复变函数f(s)奇点?那就是此函数没有定义点,或者说是取值无穷大点.比如函数在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2,s3=-3第7页7假设s0是f(s)一个奇点,则f(s)总能够在s0处展开为罗朗级数,形式为:其中-1次方项(s-s0)-1系数c-1就称为f(s)在s0点处留数,记作Resf(s),s0=c-1或第8页8围绕着f(s)奇点s0附近绕一圈环积分就等于其中C是只围绕s0转一圈任意闭合曲线.第9页9假如函数f(s)有s
3、1,s2,.,sn共n个奇点,闭合曲线C包围了这n个奇点,则实轴虚轴s1s2s3第10页10定理证实 作下列图,闭曲线C=L+CR,CR在Re(s)0时,有第13页13最常见情况,是函数F(s)是有理函数,即其中A(s)和B(s)是不可约多项式,B(s)次数是n,A(s)次数小于B(s)次数,这时F(s)满足定理所要求条件.第14页14假如一元n次方程B(s)=0只有单根,这些单根称作B(s)一阶零点,也就是第15页15第16页16第17页17第18页18如方程B(s)=0有一个二重根s1,称s1为B(s)二阶零点,也是F(s)est二阶极点,这时F(s)est在s=s1处可展开为罗朗级数,其
4、形式为:第19页19第20页20第21页21还能够用部分分式和查表方法来求解拉氏反变换.依据拉氏变换性质以及第22页22第23页23最终得第24页24卷积第25页251.卷积概念 在第一章讨论过傅氏变换卷积性质.两个函数卷积是指假如f1(t)与f2(t)都满足条件:当t0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式能够写成第26页26今后如不尤其申明,都假定这些函数在t0时恒等于零,它们卷积都按(2.20)式计算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t第27页27按(2.20)计算卷积亦有|f1(t)*f2(t)|f1(t)|*|f2(t)|,它也满足交换律:f1(t)*f2(t)=f
5、2(t)*f1(t)一样,它还满足结合律与对加法交换律,即 f1(t)*f2(t)*f3(t)=f1(t)*f2(t)*f3(t)f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t)第28页28第29页29例1 求t*sin t第30页30卷积定理假定f1(t),f2(t)满足拉氏变换存在定理中条件,且L f1(t)=F1(s),L f2(t)=F2(s),则 f1(t)*f2(t)拉氏变换一定存在,且第31页31t=ttOt第32页32因为二重积分绝对可积,能够交换积分次序令t-t=u,则第33页33不难推证,若fk(t)(k=1,2,.,n)满足拉氏变换存在定理中条件,且L fk(t)=Fk(s)(k=1,2,.,n)则有 L f1(t)*f2(t)*.*fn(t)=F1(s)F2(s).Fn(s)第34页34第35页35第36页36第37页37第38页38第39页39第40页40
