1、第第一一章章3 3 理解教材新知理解教材新知把握热把握热点考向点考向应用创新演习应用创新演习 考点一考点一 考点二考点二 考点三考点三 1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中的一道美丽的风景线，几乎全部的广告商都熟谙这样的的一道美丽的风景线，几乎全部的广告商都熟谙这样的命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有人们都幸福，幸福的人们都拥有”该广告词实际阐明了该广告词实际阐明了什么？什么？提示：说的是提示：说的是“不拥有的人们不幸福不拥有的人们不幸福”2已知正整数已知正
2、整数a，b，c满足满足a2b2c2.求证：求证：a，b，c不可能都是奇数不可能都是奇数 问题问题1：你能运用综正当和分析法给出证明吗？：你能运用综正当和分析法给出证明吗？提示：不能提示：不能 问题问题2：a，b，c不可能都是奇数的背面是什么？此时，不可能都是奇数的背面是什么？此时，还满足条件还满足条件a2b2c2吗？吗？提示：提示：a，b，c都是奇数此时不满足条件都是奇数此时不满足条件a2b2c2.1反证法的定义反证法的定义 在证明数学命题时，先假定在证明数学命题时，先假定 成立，成立，在这个前提下，若推出的成果与在这个前提下，若推出的成果与 、相相矛盾，或与命题中的矛盾，或与命题中的 相矛盾
3、，或与相矛盾，或与 相矛相矛盾，从而断定盾，从而断定 不可能成立，由此断定不可能成立，由此断定 成立，这种证明办法叫作反证法成立，这种证明办法叫作反证法命题结论的背面命题结论的背面定义定义公理公理定理定理已知条件已知条件假定假定命题的背面命题的背面命题命题的结论的结论2反证法的证题环节反证法的证题环节(1)作出作出 的假设；的假设；(2)进行推理，进行推理，；(3)，必定结论，必定结论否认结论否认结论导出矛盾导出矛盾否认假设否认假设 1反证法就是通过否认命题的结论而导出矛盾来达反证法就是通过否认命题的结论而导出矛盾来达成必定命题结论的目的成必定命题结论的目的 2可能出现矛盾的四种状况：可能出现
4、矛盾的四种状况：(1)与题设矛盾；与题设矛盾；(2)与与假定矛盾；假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；与公理、定理或已被证明了的结论矛盾；(4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论在证明过程中，推出自相矛盾的结论 思路点拨思路点拨此题为否认形式的命题，可选用反证法，此题为否认形式的命题，可选用反证法，证题核心是运用等差中项、等比中项证题核心是运用等差中项、等比中项 一点通一点通 (1)对于这类对于这类“否认否认”型命题，显然从正面证明需要证明型命题，显然从正面证明需要证明的状况太多，不仅过程繁琐，并且容易遗漏，故能够考虑的状况太多，不仅过程繁琐，并且容易遗漏，故能够考虑采用反证法普
5、通地，当题目中含有采用反证法普通地，当题目中含有“不可能不可能”“都不都不”“没没有有”等否认性词语时，宜采用反证法证明等否认性词语时，宜采用反证法证明 (2)反证法证明反证法证明“必定必定”型命题适宜于结论的背面比原结型命题适宜于结论的背面比原结论更具体更容易研究和掌握的命题论更具体更容易研究和掌握的命题 2已知已知a是整数，是整数，a2是偶数，求证：是偶数，求证：a也是偶数也是偶数证明：证明：假设假设a不是偶数，则不是偶数，则a为奇数为奇数设设a2m1(m为整数为整数)，则，则a24m24m1.4(m2m)是偶数，是偶数，4m24m1为奇数，即为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾为奇数，与已知
6、矛盾a一定是偶数一定是偶数.例例2求证函数求证函数f(x)2x1有且只有一种零点有且只有一种零点思路点拨思路点拨普通先证存在性，再用反证法证唯一性普通先证存在性，再用反证法证唯一性 一点通一点通 (1)结论以结论以“有且只有有且只有”、“只有一种只有一种”、“唯一存在唯一存在”等形式等形式出现的出现的“唯一唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，因此型命题，由于反设结论易于导出矛盾，因此用反证法证明简朴而又明了用反证法证明简朴而又明了 (2)“有且只有有且只有”的含义有两层的含义有两层存在性：本题中只需存在性：本题中只需找到函数找到函数f(x)2x1的一种零点即可的一种零点即可唯一性：正面直唯
7、一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法谋求矛盾，从而证明原接证明较为困难，故可采用反证法谋求矛盾，从而证明原命题的对的性命题的对的性3过平面过平面上一点上一点A，作直线，作直线a，求证：，求证：a是唯一的是唯一的证明：假设证明：假设a不是唯一的，则过点不是唯一的，则过点A最少尚有一条直线最少尚有一条直线b满满足足b.a，b是相交直线，是相交直线，a，b能够拟定一种平面能够拟定一种平面.设设和和相交于过点相交于过点A的直线的直线c.a，b，ac，bc，又，又abA，c.这与这与c 矛盾矛盾故过点故过点A垂直于平面垂直于平面的直线有且只有一条，即的直线有且只有一条，即a是唯是唯一的一的4用反证
8、法证明：过已知直线用反证法证明：过已知直线a外一点外一点A只有一条直线只有一条直线b与已知直线与已知直线a平行平行证明：假设过点证明：假设过点A尚有一条直线尚有一条直线b与已知直线与已知直线a平行，即平行，即bbA，ba.由于由于ba，由平行公理知，由平行公理知bb.这与假设这与假设bbA矛盾，因此过直线外一点只有一条直线矛盾，因此过直线外一点只有一条直线与已知直线平行与已知直线平行.精解详析精解详析假设假设a，b，c都不不不大于都不不不大于0，即，即a0，b0，c0.因此因此abc0.而而abc 一点通一点通(1)对于否认性命题或结论中出现对于否认性命题或结论中出现“至多至多”“最少最少”“
9、不可能不可能”等字样时，惯用反证法等字样时，惯用反证法(2)惯用的惯用的“原结论词原结论词”与与“反设词反设词”归纳以下表：归纳以下表：原结论词原结论词至少有一个至少有一个至多有至多有一个一个至少有至少有n个个至多有至多有n个个反设词反设词一个也没有一个也没有(不存在不存在)至少有至少有两个两个至多有至多有n1个个至少有至少有n1个个6用反证法证明：若函数用反证法证明：若函数f(x)在区间在区间a，b上是增函数，上是增函数，则方程则方程f(x)0在区间在区间a，b上至多有一种实根上至多有一种实根证明：假设方程证明：假设方程f(x)0在区间在区间a，b上最少有两个实根，上最少有两个实根，不妨设不
10、妨设，为其两个实根，且为其两个实根，且，则，则f()f()0.由于函数由于函数f(x)在区间在区间a，b上是增函数，又上是增函数，又，因此因此f()f()，这与假设，这与假设f()f()0相矛盾相矛盾因此方程因此方程f(x)0在区间在区间a，b上至多有一种实根上至多有一种实根用反证法证题要把握三点：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否认结论，对于结论的背面出现的多个可能，必须先否认结论，对于结论的背面出现的多个可能，要逐个论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的要逐个论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的 (2)反证法必须从否认结论进行推理，且必须根据这一条反证法必须从否认结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否认结论，不从结论的背面出发进行件进行论证，否则，仅否认结论，不从结论的背面出发进行论证，就不是反证法论证，就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可能多个多样，有的与已知矛盾，有推导出来的矛盾可能多个多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的必须是明显的
