1、*第九节一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式 二、极值充分条件证实二、极值充分条件证实 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数泰勒公式 第九章 第1页一、二元函数泰勒公式一、二元函数泰勒公式一元函数泰勒公式:推广多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页记号记号(设下面包括偏导数连续):普通地,机动 目录 上页 下页 返回 结束 表示表示第3页定理定理1 1.某一邻域内有直到 n+1 阶连续偏导数,为此邻域内任 一点,则有其中 称为f 在点(x0,y0)n 阶泰勒公式阶泰勒公式,称为其拉格拉格朗日型余项朗日型余项.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页证证:令则
2、 利用多元复合函数求导法则可得:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页普通地,由 麦克劳林公式,得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页说明说明:(1)余项预计式.因 f 各 n+1 阶偏导数连续,在某闭邻域其绝对值必有上界 M,则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第7页(2)当 n=0 时,得二元函数拉格朗日中值公式:(3)若函数在区域D 上两个一阶偏导数恒为零,由中值公式可知在该区域上 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页例例1.求函数解解:三阶泰勒公式.所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页其中机动 目录 上页 下页
3、返回 结束 第10页时,含有极值二、极值充分条件证实二、极值充分条件证实 某邻域内含有一阶和二阶连续偏导数,且令则:1)当A 0 时取极小值.2)当3)当时,没有极值.时,不能确定,需另行讨论.若函数定理定理2(充分条件)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页证证:由二元函数泰勒公式,并注意则有所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页其中其中,是当h 0,k 0 时无穷小量,于是(1)当 ACB2 0 时,必有 A0,且 A 与C 同号,可见,从而z0,所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页从而 z0,(2)当 ACB2 0 时,若A,C不全为零,无妨设 A0,则 时,有异号;同号.可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页+若 AC 0,则必有 B0,不妨设 B0,此时 可见 z 在(x0,y0)邻近有正有负,(3)当ACB2 0 时,若 A0,则若 A0,则 B0,为零或非零机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页此时所以 作业作业P124 1,3,4,5第十节 目录 上页 下页 返回 结束 不能断定(x0,y0)是否为极值点.第16页
