1、第五章第五章 定积分定积分(Definite Integrals)在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯正的和唯一的功绩，那也就是正是在这里。恩格斯恩格斯12/2/20241七七 思考题与判断题思考题与判断题二二 定积分的定义定积分的定义一一 问题的提出问题的提出四四 定积分的几何意义定积分的几何意义六六 小结、思想办法小结、思想办法第一节第一节 定积分的概念定积分的概念(Concept of Definite Integrals)三三 定积分存在的两个充足条件定积分存在的两个充足条件五五 定积分的性质定积分
2、的性质 12/2/20242abxyo1 1 面积问题面积问题（Area Problem)一一 问题的提出（问题的提出（Introduction)我们有两个问题要解决，一种是给出面积的定义，一种是找出计算面积的办法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的办法解决了这一问题，并用非常有效的办法解决了相称复杂的图形的面积的计算问题。12/2/20243abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近显然，小矩形越多，矩形总面积越靠近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路解决问题
3、的基本思路：变变“曲曲”为为“直直”12/2/20244曲边梯形如图所示，曲边梯形如图所示，12/2/20245曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为曲边梯形面积为12/2/20246例例2 2 路程问题路程问题（Distance Problem)把整段时间分割成若干小时间段，每小段把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值细分过程求得路程的精确值对于匀速运动，我们有公式对于匀速运动，我们有公式路程
4、路程=速度速度X X时间时间解决变速运动的路程的基本思路解决变速运动的路程的基本思路12/2/20247（1 1）分割）分割（3 3）作和）作和（4 4）取极限）取极限路程的精确值路程的精确值(2)(2)取点取点12/2/20248二二 定积分的定义定积分的定义 （Definition of Definite Integral)定义定义12/2/20249被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量记为记为积分和积分和积分下限积分下限积分上限积分上限12/2/202410注：注：(1)利用极限的利用极限的“”的说法，将定积分的的说法，将定积分的 定义精确表述如下定义精确表述如下：12/
5、2/20241112/2/202412（5）12/2/202413定理定理1 1定理定理2 2三三 定积分存在的两个充足条件定积分存在的两个充足条件注意注意 这两个定理仅仅是充足条件，不是必要的。这两个定理仅仅是充足条件，不是必要的。12/2/202414曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值四四 定积分的几何意义定积分的几何意义abxyooyabx12/2/202415几何意义几何意义 xyo12/2/202416例例1 1 运用定义计算定积分运用定义计算定积分解解(1)分割分割（2）取点取点（3）求和求和12/2/202417（4）求极限求极限12/2/202
6、418例例2x1y面积值为圆的面积的面积值为圆的面积的12/2/202419对定积分的补充规定对定积分的补充规定:注意注意 在下面的性质中，假定定积分都存在，在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小且不考虑积分上下限的大小五五 定积分的性质定积分的性质 12/2/202420（此性质能够推广到有限多个函数作和的状况）（此性质能够推广到有限多个函数作和的状况）性质性质1 1性质性质2 2注意注意：不论不论 的相对位置如何的相对位置如何,上式总成立上式总成立.性质性质3 312/2/202421例例 若若（定积分对于积分区间含有可加性）（定积分对于积分区间含有可加性）则则12/2
7、/202422证证性质性质4 4性质性质5 512/2/202423推论推论1 1证证（1）12/2/202424证证推论推论2 2（2）12/2/202425证证（此性质阐明，由被积函数在积分区间上的（此性质阐明，由被积函数在积分区间上的最值，可用于预计积分值的大致范畴）最值，可用于预计积分值的大致范畴）性质性质6 612/2/202426证证由闭区间上持续函数的介值定理知由闭区间上持续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式12/2/202427使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：12/2/202428解解令令于是由性质
8、于是由性质5 5的推论的推论1 112/2/202429五五 小结、思想办法小结、思想办法 定积分的实质定积分的实质：和式的极限：和式的极限 定积分的思想办法：定积分的思想办法：求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限取点、求和取点、求和积零为整积零为整分割分割化整为零化整为零取极限取极限精确值精确值定积分定积分12/2/2024303 3定积分的性质定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）4 4性质的典应用性质的典应用（）预计积分值；（）预计积分值；（）不计算定积分比较积分大小（）不计算定积分比较积分大小12/2/202431六六 思考、判断题思考、判断题12/2/202432
