1、二项式定理（一）教学设计贵州省铜仁第一中学 沈琦 一、教学内容解析1.3.1二项式定理是普通高中课程标准实验教科书-数学选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。二项式定理具有较高应用价值和思维训练价值,不仅能解决某些整除性、近似计算问题的一种方法，并能解释集合的子集个数问题；再者，二项式定理不仅仅是初中多项式乘法的拓展，它又是学生进一步学习数学分析中函数级数展开式的一个特例，在组合
2、理论、开高次方、高阶等差数列求和中有广泛的应用，因此这节课在高中数学中有着十分重要的作用。通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受体验数学的简洁美、和谐美和对称美。教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成。二项式定理本身是教学重点，因为它是后面各种应用的基础通项公式，二项式系数的性质，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点。二项式定理的证明是一个教学难点这是
3、因为证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质。二、学情分析学生已经学习了计数原理、排列组合及合情推理的相关知识，已经具备了一定的归纳演绎和分析事件方法种数的能力。但是学生对数学严谨性的把握还不够，研究问题的方法和能力有待提高，有些学生容易粗心，对细节知识的把握还不够好。本节课二项式定理的推导运用了先猜想后证明，由特殊到一般的研究问题的思想方法。因此本堂课采用小组讨论学习，让学生在相互讨论的过程中直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程，提高学生分析解决问题的能力。在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识
4、体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习。三、教学目标设置1.知识技能目标（1）理解二项式定理是代数乘法公式的推广。（2）理解并掌握二项式定理，能利用计数原理证明二项式定理。（3）掌握对简单的二项式进行展开，能够对项的系数与二项式系数进行区分，并能求出指定项。2.过程与方法目标通过学生经历二项式定理的形成过程，培养学生观察、分析、归纳的能力，以及化归的意识与方法迁移的能力，体会归纳猜想论证的思想方法,发展探究能力。3.情感、态度、价值观目标培养学生自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简捷和严谨。四、教学重点、难点重点：用两个计数原理分
5、析的展开式得到二项式定理；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决一些简单问题。难点：用两个计数原理分析推导的展开式；用两个计数原理证明二项式定理。五、教学过程教学程序问 题设计意图师生活动创设问题情境引入新课引出问题：如果今天是星期五，14天后的这一天是星期几呢？23天后的这一天呢？师生归纳：比如23=73+2，所以23天后是星期日。算法：用各个数除以7，看余数是多少，再用五加余数来推算师：再过82016天后是星期几，你知道吗？不方便求出82016除以的余数，可以利用8=7+1，得到82016=(7+1)2016=?如果不用计算器的话,此时就需要研究提出问题激发学生探索欲望，并引出课题让学生用
6、计算器计算从特殊开始由(a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2; (a+b)3=(a+b)2(a+b)=?结果：体会多项式乘法计算过程,加深对因式展开原理的理解。与学生一同计算，得到计算结果，为后面做铺垫。探究一：通过组合思想来分析(a+b)3的展开式 展开后项的形式为：项的系数，考虑，：每个都不取的情况有1种，即 ,则前的系数为：恰有1个取的情况有种，则前的系数为：恰有2个取的情况有 种，则前的系数为：恰有3个取的情况有 种，则前的系数为所以 考察学生对因式展开的各项形式及系数的理解。学生说出自己的思路，老师做分析与讲解为后面猜想做铺垫。探究二：观察展开式
7、中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）4 ,(a+b)n的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。回答： 让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。学生先观察总结特点：1.项数是指数加1；2.字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。探究三：对于猜想我们如何进行证明呢？证明：是n个相乘，每个在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有项（包括同类项），其中每一项都是的形式，对于每一项，它是由r个选了b，nr
8、个选了a得到的，它出现的次数相当于从n个中取r个b的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理让学生体会利用组合思想从特殊到一般，对猜想给出严谨的证明过程。并理解如何用“说理”的方式阐述证明过程。师生讨论证明思路，通过阅读课本上的证明过程，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。思考观察学习新课观察二项展开式中的项数、指数以及系数有何特点，谁最具代表性？(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：=考察学生
9、的观察力，以及分析问题的能力。学生继续总结这三点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。特殊的情况1.用-b代替b.写出的展开式2.令a=1,b=2x. 写出的展开式对二项式定理的简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。学生自主完成，老师进行检查，通过投影仪将学生的结果进行展示，错误时做出点拨与分析。破解疑惑今天是星期五, 再过82016天后是星期几，你知道吗？即82016除以7余数是1。 故再过82016天后的那一天是星期六。 破解疑惑让学生感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情，学生提出解决思路，老师点评分析，怎么才能被7
10、整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。精讲精析巩固新知再探索对于的展开式思考1：展开式的第2项的系数是多少？思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？思考3：你能否直接求出展开式的第2项？ 熟悉二项式定理，以及对二项式系数，展开式系数，以及x的系数问题的理解与记忆。教师板演过程，给学生以示范，为后面步骤的整洁做铺垫。反馈练习课堂练习1、求的展开式的第三项2、求的展开式的第三项熟悉二项式定理，二项式系数，二项展开式系数，以及通项的初步应用，理解二项式展开式的项的顺序。学生自主练习，反馈教学效果，老师巡视做个别辅导。课堂小结本节课你学习了什么知识，他是怎么得到的呢？在
11、学习这部分知识时要注意什么呢？让学生回顾本节要点，观察学生掌握情况。学生说，教师课件演示，并强调：二项式系数与二项展开式系数的区别。布置作业课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理 让学生巩固本节课的所学内容和知识。六、板书设计1.3.1二项式定理(1)项：二项展开式共有项；(2)次数：各项的次数都等于n；字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n (3)二项式系数：(4)二项展开式的通项：=例题1例题2练习1 练习2作业：课本37页 习题1.3 A组 2、4课后探究：用数学归纳法证明二项式定理（根据课堂教学活动的推荐，反复使用。）
12、7二项式系数的性质教学设计江西省新余市第一中学 聂生庚北师大版选修2-3第一章第5节第2课时一、教学内容解析1二项式系数的性质是普通高中课程标准实验教科书北师大版选修2-3第1章第5节第2课时的内容。以前面学习的二项式定理为基础，通过观察二项式系数表和归纳二项式系数的性质，培养学生的“符号意识”和抽象概括能力； 通过二项式系数组成的数列是一个离散函数，引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解
13、本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识、创新精神。2本节课的教学内容属于事实性知识，其特点是易懂却难于上升到理性的解释。3本节课是在学生学习了两个计数原理、组合及组合数的性质的基础上，又具体学习了二项式定理、二项式系数等概念的基础上进行的。对进一步认识组合数的性质、组合数的计算和变形，巩固二项式定理，巩固旧知拓展新知，建立知识的前后联系有重要的作用。4从知识发生发展过程的角度上看，学生自主的观察发现二项式系数表中蕴含的数字规律，能很自然地联系到上位知识，即组合数的性质与二项式系数的联系，但对于高二的学生，其思维不能仅满足于“知其然”，他们更应渴望的是“知其所以然”。故在老师适当的点拨下，学生
14、通过师生合作完成知识发展过程，这符合学生的认知规律，也体现了互助学习的价值观教育。另“杨辉三角”是我国古代数学的重要成就之一，彰显了我国古代人民的卓越智慧和才能，抓住这一题材可以对学生进行爱国主义教育，激励学生的名族自豪感，了解数学文化的发展与价值。二、教学目标设置教学目标：1掌握二项式系数的基本性质及证明方法；2通过“观察、归纳、论证”二项式系数的性质这一过程，提高学生的数学素养，体会从函数角度研究问题的过程，体会应用数形结合、特殊到一般、赋值法等重要数学思想方法解决问题的“再创造”过程.3通过学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，培养学生团结协作的精神，
15、提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索热情. 同时，通过了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国情感，增强民族自豪感。教学重点、难点：1教学重点：观察，讨论交流到归纳二项式系数的性质，培养学生发现问题并运用所学的知识解决问题的能力； 2教学难点：从函数的角度，理解二项式系数的增减性与最大值，并论证。三学情分析知识上学生已经学习了两个计数原理、二项式定理和组合数的性质等，已经具备了对二项式部分性质的归纳和证明的能力。同时对于高二的学生也已经基本接触了高中四大数学思想方法，即函数与方程、数形结合、转化化归、分类讨论思想，为突破本节课的难点奠定了基础。学生在数学学科的学习特点存在较大的差
16、异，而通过在教学中长期开展自主探究等学习性活动，学生间加强开展团结互助、合作交流等学习方式，学生能够克服学习差异性问题。学生之间也已经具备了一定的解决问题的能力，课堂上学生在教师的适当指导下，能够完成本节课的难点，即：二项式系数的性质的证明。四、教学策略分析本节课的教材编写的特点是把所要研究的问题都以结论的形式直接呈现。若以讲授的形式来完成教学过程，学生理解、掌握知识应不难，但可能造成学生学习兴趣缺失，学习能力得不到有效的提高，被动参与到学习过程中，无法体现学生的主体地位，。故而，教学上我们应从学生的认知规律出发，去暴露知识的发生、发展过程，指导学生积极参与到教与学的双边活动中去。1根据教学内
17、容的特点，实现情感目标，本节课先结合“杨辉三角”这个历史材料，对学生进行情感教育并以此激发学生学习的热情。2依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，本节课从布置课前探究，到课上合作交流完成规律展示，再从函数角度理解并证明性质，在知识的形成过程中去培养学生思维的逻辑性和深刻性，为不同认知基础的学生提供合理的学习机会和学习反馈的机会。3为突出重点，本节课采用学生课前自主探究，课堂上分组讨论的方式，教师采用启发观察和问题引导的方式，引导学生主动参与提出问题和解决问题的过程。按照“观察规律归纳性质推理论证反馈升华”的环节来理解和掌握内容。螺旋上升地学习核心数学知识和渗透重要数学思想。4为突破难点，由师
18、生共同完成对结论的推理证明。在结论的推证过程中培养学生思维的严谨性和演绎推理的能力以及掌握应用数学思想方法解决问题的能力。五、教学过程1.课前预习及探究活动：（1）预习本节课内容；（2）查阅“杨辉三角”的历史资料，要求能谈谈对杨辉三角的认识；（3）自主探究二项式系数的性质，并整理成小论文.【设计意图】引导学生开展课前预习及探究活动，其一：能帮助学生了解“杨辉三角”的历史及其包含的规律，弘扬我国古代数学文化；其二：课前布置自主探究二项式系数的性质，长期开展这种学习活动，能提高学生动手动脑能力，归纳能力，也为本节课深入探究二项式系数的性质打下良好的基础，其三：鉴于课堂时间有限，学生占用课堂的时间用
19、于自主探究活动也受限，应有机结合课前、课上、课后的探究学习活动，提高课堂效率。2. 复习引入由学生集体回忆前面学过的相关知识：（1）二项式定理及其特例；（2）二项展开式的通项公式；（3）二项式系数【设计意图】通过复习引入，调动学生已有的相关知识，对本节课的学习起到承上启下的作用。3.探索新知【活动一】初识二项式系数表及杨辉三角计算展开式中二项式系数填入到表格中：然后介绍“杨辉三角”。【设计意图】学生通过填表的活动巩固二项式定理的知识和二项式系数的运算，并发现二项式系数具有的一些规律；同时让学生发现这样的表格不利观察二项式系数的更多规律，进而引发思考：如何排表更方便观察呢？借此自然的引出“杨辉三
20、角”。通过对“杨辉三角”的介绍，让学生了解我国古代数学的伟大成绩，加强学生的爱国情感教育。【活动二】合作交流探究二项式系数的性质先观察二项式系数表，探究二项式系数的数字规律。然后与同一个学习小组的同学讨论交流各自的发现和想法，尝试着证明这些性质。最后请同学代表展示学习成果。在观察二项式系数的数字规律这一环节，教师充分引导学生从不同的角度观察，如同一行横着看、上下两行看、斜着看、整体看、局部看等等；那又看什么呢？可以看大小、看关系、看和等等。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”让学生感受从多角度对待同一事物的妙处。【设计意图】学生通过教师的引导，学习感受从多角度认识同一事物。经过独立的思考，为交流
21、合作做好铺垫；通过学习小组的交流合作，及成果展示，让学生的不同想法得以展示，获得学习成功的成就感，并且可以对课本上没有出现的性质补充或者证明，充分肯定学生在学习中的创新精神。【活动三】如何证明二项式系数的性质问题1.如何证明？思考问题：展开式中项的系数是 ；展开式中项的系数可以表示为 ；通过以上的两个问题，你联想到了二项式系数的哪个性质？【设计意图】通过归纳，抽象概括出二项式系数的性质，该性质是组合数的性质之一，在之前的学习有过证明，此处通过结合二项式定理的知识，另辟途径给出一个别样的证明方法，让学生学习活学活用知识，并感受思想方法的多样性和重要性。问题2.如何证明展开式的二项式系数的增减性与
22、最大值呢？教师分步引导：（1）展开式的二项式系数按顺序排成一列，可以看成一个数列吗？可以看成是以为自变量的函数吗？它的定义域是什么？（2）画出和7时函数的图象，并观察分析他们的对称性、增减性与最大值. （3）结合图像，通过相邻项作商证明二项式系数的增加性及最大值（数列的单调性的分析方法）.【设计意图】教师引导学生从函数的角度分析与论证二项式系数的性质，培养学生利用“几何直观、数形结合、特殊到一般”的数学思想方法解决问题的能力。这一过程不仅有利于有利于培养和提高学生的数学素养，培养提高学生的思维能力、实践能力、探究精神、理性精神等，也有利于学生理解本节课的核心数学知识，发展其数学应用意识。问题3
23、.探究课本27页问题，证明：展开式的各二项式系数的和探究：（1）如何证明二项式系数的和？（2）拓展：证明展开式的奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和。（3）温故知新：设集合中有个元素，则该集合的子集个数为个。请结合本章知识给予合理的解释。【设计意图】通过学生在前一环节已经归纳猜想出二项式系数的和，引导学生验证猜想结论是否正确；同时利用赋值法证明二项式系数的和，为巩固并运用这种方法，将问题拓展到分析奇数项、偶数项的二项式系数和；同时联系到利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理结合二项式系数和这一性质，解释“元集合的子集个数为”这一结论，既加深学生对前后知识的内在联系的理解，又从深度和广度
24、上让学生感受数学知识的串联和呼应，将学生思维推向高潮。4. 反馈练习1、在展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).A.第6项 B. 第7项 C. 第8项 D. 第9项2、在展开式中，二项式系数最大的项是( ).A.第6项 B. 第7项 课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析：本节课的教学内容选自普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）（人教A版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何
25、的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析：1.学生已经学习过
26、平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标：1.知识与技能目标：（1）了解空间向量的概念；（2）掌握空间向量的加减数乘运算；（3）掌握空间向量的运算律。2.过程与方法目标：（1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律；（3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。3.情感态度价值观目标：（1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点；（2）通过变式训练，提高学生对
27、事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点：空间向量的线性运算； 教学难点：体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难） 教学策略：多媒体教学、问题式教学、讲授法、类比法、讨论法、自主学习、合作探究 教学设计：1.教学结构设计2. 教学过程设计 （一）创设情境，导入新课国庆期间，某游客从上海世博园（）游览结束后乘车到外滩（）观赏黄浦江，然后抵达东方明珠（）游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？ 图1 图2如果游客还要登上东方明珠顶端（）俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那它实际发生的位移是什么？又如何表示呢？设计意
28、图及效果评价：图1中的引入情境即为必修四中“平面向量”章节的引入情境，于学生而言，非常熟悉。课堂上追问学生，若登顶东方明珠D又该如何表示，既贴近学生生活实际又自然将平面向量拓展到空间向量，既揭示了学习空间向量的必要性，又激发了学生的学习兴趣，也为后续空间向量的加法运算做了铺垫（尤其是在验证空间向量的加法结合律）。课堂教学中，起到了很好的引入效果. (二)精读教材，概念类比l 问题一：基本概念的类比平面向量空间向量定义既有大小又有方向的量平移自由向量，平移后不发生改变表示法几何表示：字母表示：，向量的模向量的大小：，相等向量方向相同且长度相等相反向量方向相反且长度相等单位向量长度为1的向量零向量
29、长度为0的向量设计意图及效果评价： 学生对平面向量的知识结构已经比较了解，空间向量的知识结构和它有很多的相似性，与其再次由教师喋喋不休地重复，不如让学生自己去阅读、比较、辨别、思悟。 (三)跳出平面，明确概念给出以下命题： 两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同； 若空间向量和满足，则=； 空间中任意两个单位向量必相等； 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量。其中正确命题的个数是_.设计意图及效果评价：此环节的设计，以题目形式出现，第一：让学生明确空间向量的基本概念和平面向量是一样的，让学生在不知不觉中“跳出平面，踏入空间”；第二：对于跟踪练习的第4个问题是下面
30、在运算法则和运算律类比中非常重要的一个结论，高中阶段学习的向量是“自由向量”，所以任意两个空间向量都可以“平移”到同一个平面内，之所以没有单独拿出来作为思考进行，是因为想让学生在不知不觉中完成平面向量到空间向量的思维跨越，同时也自然衔接到下面的类比当中。 (四)合作交流，运算类比l 问题二：线性运算法则的类比平面向量空间向量加法运算三角形法则或平行四边形法则减法运算三角形法则数乘运算（k为正数，负数，零）l 问题三：运算律的类比平面向量空间向量加法交换律加法结合律数乘分配律和结合律设计意图及效果评价： 学生明确了任意两个空间向量都可以“平移”到同一个平面内的结论后，那么涉及两个空间向量的运算法
31、则和运算律的问题，显而易见是可以平稳对接的，教学过程中让学生合作交流，相互倾听彼此的声音。实际教学的小组讨论中出现疑义较多的还是关于加法结合律是否需要图形验证的问题，有的说需要有的说不需要，最后多数小组讨论确定的结果是不用进行验证，原因就是先算两个向量的和，这样这个“和向量”和另外一个向量的结合还是两个向量的问题，故此不用验证。听上去很有道理，学生还都认可，其实仔细一想，他们犯了概念中“偷梁换柱”的错误，审题出错了。学生说的是求空间三个向量和的问题，可是要是能够更顺理成章的进行运算，必须要保证加法结合律在空间依旧成立才是可以的。接下来借助引例中的图2，让同桌二人分工协作，一个用图形求左边的向量
32、，一个求右边的向量，很轻松的验证成功，同时让学生把两个图放到一起就看出了四面体这个空间几何体，又一次跳出平面，跨入了空间。经历了结合律图形验证后，抛出任意三个不共面的向量和如何计算？利用平行六面体进行求和，再一次验证了结合律的正确性，同时又得到了第2个重要的结论：“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。” (五)独立思考，形成结论结论1：空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量；结论2：三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的体对角线所表示的向量。设计意图及效果评价： 给学生一些消化的时间，归纳到个人知识体系中
33、，也为后面题组训练打好铺垫。 (六)题组巩固，深化理解题组1：如右图，在三棱柱中，M为的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：1、；2、；3、变题：1、_；2、_。题组2：如图，在长方体中，点，分别是，的中点。设，试用，表示和。变题：1、 点为的三等分点（靠近），表示？2、 点为的四等分点（靠近），表示？3、 点为的等分点（靠近），表示？拓展：若点是空间中任意一点，能否用，表示？设计意图及效果评价： 题组一旨在帮助学生熟练空间向量的线性运算法则，并借助空间几何体增强学生对空间向量线性运算的直观感知；题组二表明向量可以用三个两两互相垂直的单位向量，线性表示，为后面学习空间向量基本定理以
34、及正交分解和坐标表示作好铺垫； 课堂教学中先练后评，及时反馈。题组二中的三个变题旨在让F动起来，依旧可以完成要求。既体现了从特殊到一般的归纳推理，同时又加强了空间向量运算的直观感知（首尾相连，连首尾）。继而推广为一般性的提问，若点F是空间任意一点，能否用用，表示向量？这样的教学不仅为后续知识学习作好铺垫，也指导学生学会在研究问题方法上进行迁移。 (七)总结整理，提高认识1、 学生总结（提示学生从知识和思想方法上进行总结梳理） 2、 教师总结（体现在板书的生成上，主要让学生明确本节课的体系，让学生明确研究问题的基本思路和方法） (八)布置作业，独立探究书面作业： 课本第89页 第1、2题；（必做
35、）研究性学习： 类比平面向量基本定理，你能得到空间向量平面定理吗？（从研究方法、研究过程和结论进行类比）3板书设计空间向量及其线性运算结论1：结论2：空间向量运算律运算法则基本概念平面向量类比1.3.1函数的单调性与最大（小）值（第一课时）教学设计桂林十八中数学组 蔡静雯一、 教学内容解析：(1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点；本课教学内容出自人教版普通高中课程标准实验教科书必修数学1（以下简称“新教材”）第一章3.1节。函数的单调性是研究当自变量x不断增大时，它的函数y增大还是减小的性质如增函数表现为“随着x增大，y也增大”这一特征与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究x成为相
36、反数时，y是否也成为相反数，即函数的对称性质函数的单调性与函数的极值类似，是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同，它们是函数在整个定义域上的性质函数单调性的研究方法也具有典型意义，体现了对函数研究的一般方法：加强“数”与“形”的结合，由直观到抽象；由特殊到一般首先借助对函数图象的观察、分析、归纳，发现函数的增、减变化的直观特征，进一步量化，发现增、减变化数字特征，从而进一步用数学符号刻画函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用（内部）；在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的
37、研究中也有重要的应用（外部）可见，不论在函数内部还是在外部，函数的单调性都有重要应用，因而在数学中具有核心地位教学的重点是：引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大，y也增大（或减小）”这一特征进行抽象的符号描述：在区间D上任意取x1，x2，当x1x2时，有f(x1)f(x2)（或f(x1)f(x2)），则称函数f（x）在区间D上是增函数（或减函数）(2)教学内容的知识类型；在本课教学内容中，包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识，函数单调性的符号语言表述属于事实性知识，利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识，发现问题-提出问题-解决问题的研究模式，以及
38、从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法，属于元认知知识.(3)教学内容的上位知识与下位知识；在本课教学内容中，函数的单调性，是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识.(4)思维教学资源与价值观教育资源； 生活常见数据曲线图例子，能引发观察发现思维；函数f(x)= 0.001x+1和函数，能引发提出问题-分析问题-解决问题的研究思维，不等关系等价转化为作差定号，是转化化归思维的好资源，是树立辩证唯物主义价值观的好契机；创设熟悉的二次函数探究背景，是引发从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明思维的好材
39、料，树立了“事物是普遍联系的”价值观.二、教学目标设置： 本课教学以普通高中数学课程标准（实验）（以下统称为“课标”）为基本依据，以“数学育人”作为根本目标设置。“课标”数学1模块内容要求是：不仅把函数看成变量之间的依赖关系，还要用集合与对应的语言刻画函数，体会函数的思想方法与研究方法，结合实际问题，体会函数在数学和其他学科中的重要性。“课标”对本课课堂教学内容要求是：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性.(第一课时)为尽好达到以上要求，结合学生实际，本课课堂教学目标设置如下：(1)知识与技能：理解函数单调性的概念，让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念；能利用图象法直观判断函
40、数的单调性；初步掌握利用函数单调性定义从正反两个角度分析、判断、证明函数单调性.理解函数单调性定义蕴含的不等关系，初步掌握利用作差比较推理证明函数单调性的方法.(2)过程与方法：经历观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、推理论证等思维过程，提高相应的数学思维能力；探索函数单调性的符号语言表述，体会数形结合、分类讨论、特殊与一般、无限与有限、等价转化等数学思想. (3)情感、态度与价值观：通过观察生活常见数据例子，感受数学的科学价值与应用价值，提高学习数学的兴趣。通过自主学习、小组合作探究，形成独立思考、讨论争辩、合作整理的良好学习模式与氛围.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨
41、论证的良好思维习惯，让学生感知从直观到抽象，由特殊到一般，从感性到理性、先猜想后证明的认知过程，形成对后续函数性质的一般研究方法，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，树立辩证唯物主义世界观.三、学生学情分析：(1)学生已有基础：认知基础：从学生知识最近发展区来看。他们在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是用体现变量之间依赖关系的文字语言“y随x的增大而增大，y随x的增大而减小”来描述，符合学生的认知规律，同时一次函数、二次函数的图象直观地体现了函数的这一性质.能理解不等关系，理解ab可以等价转化为ab0, ab可以等价转化为ab0.非认知基础：通过小学、初中和高中
42、阶段集合与函数概念的学习，学生具有一定的抽象概括、类比归纳、符号表示的能力.具备相当的日常生活经验,能看懂曲线图.(2)教学难点及难点突破： 难点1：能用不等关系对“随着”、“增大”、“减小”这种文字语言进行符号化.这个差距是从自然描述抽象概括为符号表述. 抽象能力稍强的学生可以通过同时对比函数的列表和图象，用数形结合思想，自主消除差距.如果学生抽象能力稍弱，教师可以提示“增大、减小都是体现大小比较的词汇”，启发学生用比较大小的方法抽象概括.并用“当时，有”来体现“随着”这种变量间的伴随关系.难点2：能理解“任意都”这个句式的具体含义：第一，不能取特定值来判别函数的单调性；这里的差异是学生要理
43、解可以用特殊推广到一般，但不能用特殊代替一般，学生也许理解不透彻，需要教师提起注意，本课设置了辨析题1解决这个问题；第二，正是由于取值的任意性，造就了函数的单调性的局部性。这里的差异是学生要理解如果不在同一个单调区间内取值验证，会出现不能界定单调性的矛盾.学生第一次接触这样高度概括的符号语言，这个差距多数需要教师设置有效教学环节帮助消除，本课设置了辨析题2，并采用小组合作探究的学习模式，让学生独立思考、充分讨论、正误对比来获得正确认识.第三、用“任意”的必要性，体现化无限为有限的思想.这里的差距是学生要理解“任意”这个说法的必要性，由于是高度概括的文字语言，理解起来需要演绎推理的过程，这个差距是需要教师帮助消除的，本课通过下列问题串来解决：“师问：x1和x2是一对具有代表性的符号，它们究竟代表了多少对数值？生答：无数对 师问：无数对还是所有对？生答：所有对 师问：无数能代替所有吗？生答：不能 师问：什么可以代替？生答：可以用“任意”来代替 ”.四、教学策略分析：(1)教学材料分析；学生在初中已经接触过函数的单调性，不过那时没有提函数的单调性，而是
