1、第2课时 函数的最大值、最小值 1 1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点） 2 观察下列函数的图象，找出函数图象上的最高 点或者最低点处的函数值. 最低点处的函数值是0.最高点处的函数值是0. 3 函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点 处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数 f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的xR，都有 f(x)f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数f(x)的图象有最低 点时，我们就说这个函数有最小值.当函数图象没有最低 点时，我们就说这个函数没有最小值. 4 函数图象最高点处的
2、函数值的刻画：函数图象在最高点 处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数 f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的xR，都有 f(x)f(0) 函数最大值的“形”的定义：当函数图象有最高点时， 我们就说这个函数有最大值.当函数图象无最高点时， 我们就说这个函数没有最大值. 5 探究点1 函数最大（小）值的定义 函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有f(x)M； （2）存在x0I，使得f(x0)=M。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值. 请同学们仿此 给出函数最小 值的定义 6 函数最小值的定义：一般地，设
3、函数y=f(x)的定义域为I ，如果存在实数N满足： （1）对任意的 ，都有 ； （2）存在 ，使得 . 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值. 7 探究点2 对函数最值的理解 1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得 .并不是所有满足 的函数都有 最大值M.如函数 ,虽然对定义域上 的任意自变量都有 ，但1不是函数的最大值. 2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函 数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小 的函数值. 8 探究点3 例题解析 例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望 在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s
4、之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什 么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（ 精确到1 m）？ 9 分析：烟花的高度是时间的二次函数，根据题意 就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值， 以及这个最大值是多少. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点 ，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵 坐标就是这时距地面的高度. 解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象. 10 由二次函数的知识，对于函数 我们有： 于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻， 这时距地面的高度约为29m. 11 例4.已知函数 ，求函数f(x)的最大
5、 值和最小值。 分析：这个函数在区间2,6上，显然解析式的分母是正 值且随着自变量的增大而增大，因此函数值随着自变量的 增大而减少，也就是说这个函数在区间2，6上是减函数 ，因此这个函数在定义的两个端点上取得最值. 解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x10,k0时，函数的最小值是2，最大值是2k+2; k0时，函数的最小值是2k+2,最大值是2. 17 5.求函数 在区间0,4上的最小值. 【提示】二次函数的对称轴x=a是函数单调区间的分界 点.根据二次函数的对称轴和区间0,4的关系，分 a4,结合函数的单调性解决.画出不 同情况下函数的图象，有利于理清解题的思路. 【答案】 1
6、8 6.周长为12的矩形的面积的最大值是多少？ 【提示】以x表示矩形的一边长，根据周长也可以用 x表示矩形的另外一边长，这样就建立起了矩形的面 积关于x的函数. 【答案】设矩形的一边长为x,另外一边长为6-x，矩形 的面积y=x(6-x)= ,当x=3时矩形的面积最 大，最大值是9. 19 1.函数的最值是函数的基本性质之一，函数的最值是函数 在其定义域上的整体性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数 要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用 函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论 ，画出函数的图象有利于问题的解决. 20 在科学上进步而道义上落后的人，不 是前进，而是后退. 亚里士多德 21
