1、 2.2 Lagrange插值多项式 第二章 函数近似计算的插值法 若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式 系数 , 不但计算工作量较大, 且难于得到 的简单表达式. 一、 代数多项式的构造: 可通过找插值基函数的方法,得到插值多项式! 十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进 行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式， 称为Lagrange插值公式。 它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。 Lagrange插值多项式 1. 线性插值 已知两个插值点及其函数值： xx0 x1 f(x)f0f1 插值节点 对应的函数值 求一次多项式 使得 由于方程组的系数行列式 所以，按G
2、ramer法则，有唯一解 于是 或 (B-1） 容易验证，过点（x0，f0）与（x1，f1）直线方程就是式 （B-1），如图2-3所示。 y xx0 x1 P1(x) f(x) P1(x) f(x) 误差 图2-3 2. 抛物线插值 已知三个插值节点及其函数值： f2f1f0f(x) x2x1x0 x 求一个二次多项式 使得 由于该方程组的系数行列式 所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确 定的。 满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。 容易看出 （B-2 ） 容易验证，P2(x) 是过点(x0, f0)、 (x1, f1)与(x2, f2) 三点的抛物线， 如图2-4所示。
3、y x x1x0 x2 P2(x) f(x) 图2-4 f0f1f2 3. n 次Lagrange插值 已知 n+1 个插值节点及其函数值： fn f2f1f0f(x) xn x2x1x0 x插值节点 相应的函数值 求次数不超过 n 的多项式Pn(x) 。 使得 根据线性空间的理论, 并且形式不是唯一的 且在不同的基下有不同的形式 且满足插值条件: n+1次多项式 且-(4) 从而 令 即 由(4)式,可得 其中-(6) -(5) 其中 这个改写了的Lagrange插值公式，在许多理 论分析中是比较有用的。 Lagrange插值公式的标准型公式: 例1: 解: 且 在例1中,如果只给出两个节点
4、169和225,也可以作插值 多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数, 也就是Lagrange线性插值. Lagrange线性插值基函数(一次插值)为 Lagrange线性插值多项式为 例2. 解: Lagrange插值基函数为 Lagrange线性插值多项式为 所以 二、插值余项 满足 不会完全成立 因此, 插值多项式存在着截断误差, 那么我们怎样估 计这个截断误差呢？ 则成立 根据Rolle定理, 再由Rolle定理, 依此类推 由于 所以 因此 即 定理1. Lagrange型余项 n=1: n=2: 设 则 插值基函数的性质 Lagrange插值算法特点&局限性 优
5、点：公式简洁, 理论分析方便 直观； 对称； 容易编程上机等。 缺点：基函数计算复杂，计算量大 每增加一个节点，插值多项式的所有 系数都得重算； 计算量为 。 下一节提出的Newton插值法就克服了上述缺点。 罗尔(Rolle)定理 补充资料-01 如果函数 f(x) 在闭区间 a, b 上连续，在开区间(a, b) 内具有导数，且在区间端点的函数值相等，即 f(a) = f(b) ， 那么在(a, b) 内至少有一点（a b），使得函数f(x)在该 点的导数等于零： Rolle定理的几何意义是：如果连续曲线 y = f(x)的弧 上 除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线且两端点的纵坐标 相等（ f(a) = f(b) ） ，那么这弧 上至少有一点C处的 切线平行于 x 轴（见图-A）。 图-A AB C ab y x （1） Lagrange中值定理 如果函数 f(x) 在封闭区间 a,b 上连续，在开区间(a,b) 内具有导数，那么在(a,b) 内至少有一点（a b），使 得等式 （2） 成立。 或 （3） 图-B A B C a b y x f(b) - f(a) O 几何意义 从图-B可 看出：曲线弧 上的 点C处的切线，平行于 弦AB。 补充资料-02 See you later!
