1、 2009级研究生数值分析试卷一.(6分) 已知描述某实际问题的数学模型为，其中，由统计方法得到，分别为,统计方法的误差限为0.01,试求出的误差限和相对误差限.二.(6分) 已知函数计算函数的2阶均差,和4阶均差.三.(6分)试确定求积公式: 的代数精度.四.(12分) 已知函数定义在区间-1,1上,在空间上求函数的最佳平方逼近多项式.其中,权函数,.五.(16分) 设函数满足表中条件:012012101-20(1) 填写均差计算表(标有*号处不填):00*11*22(2) 分别求出满足条件的 2次 Lagrange 和 Newton差值多项式.(3) 求出一个四次插值多项式,使其满足表中所
2、有条件.并用多项式降幂形式表示.六.(16分)(1). 用Romberg方法计算,将计算结果填入下表(*号处不填).0*1*22.793062.797342.79740*32.79634(2). 试确定三点 Gauss-Legender 求积公式的Gauss点与系数,并用三点 Gauss-Legender 求积公式计算积分: .七.(14分)(1) 证明方程在区间(1,)有一个单根.并大致估计单根的取值范围.(2) 写出Newton 迭代公式,并计算此单根的近似值.(要求精度满足: ).八. (12分) 用追赶法求解方程组:的解.九. (12分) 设求解初值问题的计算格式为: ,假设,试确定参
3、数的值,使该计算格式的局部截断误差为二阶,即截断部分为: .2008年春季学期数值数学试题一（10分）设给实数，初值：试建立求的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算；证明给定初值，迭代收敛的充分必要条件为；该迭代的收敛速度是多少？取，计算的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。二（10分）试确定参数，使得下面分段多项式函数是三次样条函数。 是否是自然样条函数？三（10分）利用Dollite三角分解方法求解方程组 四（10分）给定3阶线性方程组讨论其Jacobi迭代格式的收敛性五（10分）推导出中矩形求积公式 ，并求出其截断误差。六（10分）已知一组试验数据：12346
4、0302015用最小二乘法确定拟合公式中的参数。七（10分）根据已知函数表：012419233 建立不超过三次的Newton插值项式。八（10分）试确定常数,使求积公式 有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss型?并用此公式计算积分（结果保留5位小数）。九（10分）利用经典四阶Runge-Kutta方法求初值问题： 在处的数值解（取步长）。10（10分）讨论两步方法 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？（在线性多步法的局部截断误差中 ）2003年研究生“数值分析”试题一，（8分）设为实数，试建立求的Newton迭代公式，要求在迭代函数中不
5、含除法运算，并证明：当初值满足时，此格式时收敛的。二，（6分）用Doolittle分解法解方程组三，（8分）设，用，表示方程组的Jacobi迭代法及GaussSeidel迭代法收敛的充分必要条件。四，（8分）设方程组，其中，。已知它有解，如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。五，（10分）求出一个次数不高于4次的Hermite插值多项式，使它满足，并写出余项表达式。六，（6分）用Romberg方法计算积分，计算到。七，（6分）已知函数表012341求有理插值函数。八，（6分）设（1）是以0，1，2为节点的三次样条函数，求出。（2）是以0节点的三次样条函数，求出。九，（10分）求出二点
6、Gauss求积公式中系数，及节点，。并用此公式计算积分（结果保留5位小数）。十，（6分）用逆Broyden秩1方法求方程组的解，取初值，来计算迭代二次的值。十一，（6分）使用乘幂法求矩阵的最大特征值和对应的特征向量（只需计算前两次迭代的值）十二，（20分）考虑线性多步方法（1） 证明存在的一个值使方法是4阶的；（2） 写出局部截断误差的首项；（3） 当使用用4阶方法时，需要几个初始启动值（表头），通常情况用什么方法计算表头；举出一个实例并写出公式表达式；（4） 讨论收敛性，如方法是收敛的，其阶数应不超过多少？（5） 讨论绝对稳定性。（其中在局部截断误差中三次方程根，满足关系）2001/2002
7、年研究生“数值分析”试题一， 试解答下列问题1， 已知，求：和2， 若求和3， 判断下列函数是否是三次样条函数iii4， 已知求，5， 试用Euler（尤拉）公式求解初值问题（）二， 设为实数，试建立求的Newton（牛顿）迭代公式，要求在迭代中不含除法运算，证明当初值满足时，此算法是收敛的，并用此算法计算的近似值（保留4位小数）。三， 应用Doolittle（杜利特尔）方法解线性方程组四， 设给出的函数表0.965850.96578研究用此表进行线性插值求近似值时的最大截断误差界，并用二次Lagrange（拉格朗日）插值计算的近似值。五， 已知Legedre（勒让德）多项式的零点为，试用Ga
8、ussLegedre求积公式计算的近似值。（保留4位小数）六， 应用Romberg（龙贝格）积分法计算定积分的近似值（精确到小数点后4位，其真值为1.098612289）。七， 试讨论求解常微分方程初值问题的Simpson（辛卜生）方法的稳定性八， 分别用Jocobi（雅可比）和GaussSeidel（高斯塞德尔）迭代求解下面的方程组（初值取计算和）九， 试回答，在Lagrange（拉格朗日）插值方法中，是否插值多项式的次数越高，插值精度也越高？为什么？2000年研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1， n1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为_次，最高为_次。2， SOR方法收敛的
9、必要条件：松弛因子满足条件_。3， 对于插值型求积公式，其节点是高斯点的充分必要条件是_。4， 设为nn矩阵，则=_，=_。5， 设解方程组的迭代法为，则迭代收敛的充分必要条件是_。6， 判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）（2）二，（10分）在上给出等距节点函数运用二次插值求的近似值，要使误差不超过，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）给出函数表0123411/21/51/101/17求有理插值四，（10分）设在上有三阶连续导数，且， 试作一个次数不高于四次的多项式，满足条件0，1，2，3推导它的余项的表达式五，（10分）试用Romberg（龙贝格）方法，计算积分，并精确到小数点后4位。六，（10分）利用数值积分的Simpson（辛甫生）公式，导出公式并指出次方法的阶七，（10分）设的单根，是的等价方程，则：可表为证明：当时，是一阶的。当时，至少是二阶的。八，（10分）试对方程组，对收敛的GaussSeidel迭代格式，并取，计算到九，（10分）试证明高斯求积公式的求积系数恒为正。
