1、3.1 不定积分的定义及直接积分法 第3章 积分及其应用 3.1.1 原函数的概念 定义3.1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存 在函数F(x),使得对任意xI,均有 则称函数F(x) 为f(x) 在区间I上的一个原函数. 原函数的两点说明 (1)如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内 存在原函数. (2) 如果函数F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，即 ，则f(x)的所有原函数可表示为 F(x)+C(其中C为任意常数） 3.1.2 不定积分的概念 定义3.2 函数f(x)的全体原函数F(x) + C称为f (x) 的 积分号 被积函数 积分变量 被积表达式 任意
2、常数 例3.1 求 解 因为 所以 是 的一个原函数， 因此 例3.2 求 解 因为 因此 所以 是 的一个原函数， 例3.3 求 解 当x0时,由于所以 是 在 内的一个原函数.因此，在 内， 当 x0 及 x0 内的结果合起来，可写作 微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆的.结论： 3.1.3 不定积分的性质 性质1 性质2 （此性质可推广到有限多个函数之和的情况） 性质3 性质4 例3.4 求 解 例如 既然积分运算和微分运算是互逆的，因 此可以根据求导公式得出积分公式. 3.1.4 基本积分公式 类似地可以得到其他积分公式.下面我们把 一些基本的积分公式列成一个表，这个表通 常叫做基本积分表 是常数); 例3.5 求 直接积分法直接应用公式、性质或经过简单的代数、 三角恒等变形后积分 解 根据积分公式（2） 例3.6 求 解 例3.7 求 解 例3.8 求 解 因为 所以可把3e看作a，并利用积分公式 ，便得 例3.9 求 解 例3.10 求 解 （2）三角恒等式变形 例3.11 求 解 加项减项 例3.12 求 解 加项减项 例3.13 设曲线经过点 (0,3)且曲线上任一点(x,y) 处的切线斜率为 ，试求曲线曲线方程. 解 设曲线方程为y=f(x), 由题意知 即f(x)是 的一个原函数 故 再将x=0,y=3代入 得C=2 于是所求的曲线方程是：
