1、解： 解： 4.2 定积分与不定积分 4.2.1微积分第一基本定理 1、积分上限函数（变上限积分） 定理4.2.1 (微积分学基本定理) 证: 从而得 说明： (1) 此定理证明了连续函数的原函数是存在的， (2) 同时也为通过原函数计算定积分开辟了道路. 变限积分求导 ： 例4.2.1 求 解: 例4.2.2 求 解 例4.2.3 求 解： 由洛必达法则得 例4.2.4 求 解： 4.2.2 原函数与不定积分 1.原函数的概念 定义4.2.1 或 原函数 . 例如， 且其中任意两个函数相差一个常数， 因为 有无穷多个原函数. 这一点具有普遍性,对其它函数也适用. 定理4.2.2 ，其中C为任
2、意常数. （证明略）见链接 被积函数，被积表达式， 积分变量，积分常数。 定义4.2.2 例4.2.6 解: 例4.2.7 解: 积分曲线 例4.2.8 解 : 证明 ： 解： 例4.2.9 解： 例4.2.10 内容小结 则有 1. 微积分基本公式 积分中值定理微分中值定理 牛顿 莱布尼兹公式 2. 变限积分求导公式 1667年牛顿当选为三一学院院委，次 年获硕士学位。1669年继巴罗任卢卡斯教 授，时年26岁，一直到1701年。1693年底 ，长期紧张的科学研究使牛顿患了严重的 抑郁症，病虽经治愈，但他从此结束了剑 桥宁静的学者生活。 牛顿（1642年1727年），伟大的英 国数学家、物理
3、学家、天文学家和自然 哲学家。1661年6月牛顿进入剑桥大学三 一学院，在校受教于巴罗，开始钻研伽 利略、开普勒、笛卡尔等人的科学著作 ，他们将牛顿迅速引导到当时数学最前 沿的领域解析几何与微积分。 牛顿谦逊地将自己的科学发现归功于前人的 启迪，曾有这样的名言 “如果我比别人看得更远，那只是因为我站 在了巨人的肩上。” 1696年，牛顿任皇家造币厂监督，1703年任 皇家学会会长，1705年被女王安娜封爵，达到了 他一生荣誉之巅。他晚年潜心于自然哲学与神学 。莱布尼茲对牛顿的杰出贡献作过这样的评价:“ 在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中,牛 顿的工作超过一半.” 1676年，牛顿完成曲线
4、求积论，提出“ 首末比方法”，相当于现在的求函数自变量与因 变量变化之比的极限。并以清晰的形式叙述了微 积分基本定理.这一论著被看作是牛顿最成熟的微 积分著述。 牛顿最伟大的著作是1687年出版的巨著自 然哲学的数学原理，在这部著作中，牛顿以几 何的语言介绍了“首末比方法”。 牛顿在数学上最卓越的贡献是微积分的创建 。他超越前人的功绩在于他能站在更高的角度， 使以往分散的分别对微分、积分的研究加以综合 ，将自古希腊以来求解问题的各种特殊技巧统一 为两类普遍的算法微分和积分，并确立了这两 类运算的互逆关系，从而完成了微积分发明中最 后的也是最关键的一步。 牛顿终生未娶，毕生沉迷于科学研究。当有人
5、 问他是怎样做出自己的科学发现时，他的回答是“ 总是想着它们”。他曾说过：如果他在科学上作了 一点事情，那完全归功于他的勤奋与耐心思考 莱布尼兹（1646年1716年）， 德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积 分的奠基者。他的学识包括哲学、历史 、语言学、生物学、地质学、机械、物 理、法律、外交和神学等。其父是莱比 锡大学的道德哲学教授，家庭丰富的藏 书引起了他广泛的兴趣。1661年，莱布 尼兹进入莱比锡大学学习法律、哲学等 科学。1667年2月在纽伦堡阿尔特多夫大 学获法学博士学位，后投身于外交界。 在欧洲各国游历时，在巴黎受到惠更斯 的启发，决心钻研数学。 莱布尼兹在数学上的突出建树是微积分
6、，他是从 几何角度来研究微积分的。他在对微分三角进行深入 研究时，强烈意识到，微分（主要是导数、求切线） 与积分（求和）必定是相反的过程。他于1684年10月 发表在学艺杂志上的论文一种求极大值与极小 值和求切线的新方法，它也运用了分式和无理量，以 及这种新方法的奇妙类型的计算。这是世界最早的 微积分文献.这篇仅6页纸，内容并不丰富，说理也颇 含混的文章，却具有划时代的意义，他包含有现代的 微分符号和基本微分法则： 在1677年的一篇手稿中,莱布尼茲第一次表达了 微分和积分的关系: 1686年他在学艺杂志上发表第一篇积分学 论文，题为“深奥的几何与不可分量及无限的分析 ”，在这篇论文中，他初步论述了求积（积分）问 题与切线（微分）问题的互逆关系。 莱布尼兹还是历史上最大的符号学者之一，他 比别人更准确地认识到，好的符号可以精确、深刻 地表达概念、方法和逻辑关系,将大大节省思维劳 动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。 定理4.2.2 ，其中C为任意常数. 证: 由于C的任意性， 根据拉格朗日中值定理的推论2，有
