1、主讲教师:冉扬强 数学物理方法 第二章 解析函数 主要内容 (1)、复变函数导数的概念 (2)、哥西黎曼条件及复变函数可微 的充要条件 (3)、解析函数的定义，已知解析函数 的实部(或虚部)求该解析函数的方法 (4)、共轭调和函数的概念，解析函数 的几何意义 (5)、初等函数的定义和基本性质 重点：哥西黎曼条件；解析函数的定义 ； 已知解析函数的实部(或虚部)求该解析 函数的方法；共轭调和函数的概念及其几何 意义；初等函数的定义和基本性质 难点：初等多值函数及其支点，支割线的 概念；已知解析函数的实部(或虚部)求该解 析函数的方法 重点和难点 2.1 解析函数 一、导数的定义 设函数 在区域D
2、上有定义， 且 ，如果极限 存在，则称此极限为函数 在z 点的导 数，记为： 或 ，这时称函数 在z 点可微 (或可导）. 显然，函数 必须在点z 连续，才有可 能在 z 点可导. 讨论： 1) 复变函数导数的定义，在形式上跟实变函 数的导数定义一样，因而实变函数论中的关于导 数的规则和公式可用于复变函数。例如： 2)复变函数和实变函数的导数的定义，虽然 形式上相同，实质上却有很大的区别，这是因为 实变函数 只沿实轴逼近零，而复变函数 却可以沿复平面上的任一曲线逼近零，因此复变 函数可导的要求比实变函数可导的要求要严格得 多. 二、哥西-黎曼条件 下面讨论复变函数可微的充分必要条件 1、必要条
3、件： 若 在 处可微 ，即 若记 , 其中, 则前式可变为 由于 无论按何方式趋于零，上式总成立。先 看 沿实轴趋于零的情况。此时 再让 沿虚轴趋于零。此时 比较两式得 哥西-黎曼条件(CR条件 ) 讨论： 1) C-R条件为复变函数可微的必要条件， 凡不满足C-R条件的函数，它在该点一定不可微 . 例如 ，所以： 由于 由于偏导数虽然存在，但不满足C-R条件， 因而 在复平面上处处不可微. 2) C-R条件不是复变函数可微的充分条件 . 例如：函数 在z = 0点满足C-R条件 ，但不可微。由于 ， ，于是 显然满足C-R条件，但在z=0点并不可微，因为 当 沿射线 趋于零时， 与k 有关，
4、沿不同的射线，k 值不同，所以 该极限不存在，从而函数在z = 0点不可微. 2、充分必要条件 如果C-R条件加上一附加条件，就可得到可微 的充分条件。 定理： 在 可 微 ， 在点（x , y）处可微 ，并满足C-R条件. 由上述定理可得：复变函数与实变函数的导 数有本质上的差别，复变函数可微，不但要求复 变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实部与 虚部通过C-R条件联系起来。 在极坐标系中， ， 哥西-黎曼条件为 三、解析函数的定义 定义：如果函数 在区域D上处处可 微，则称 是区域D上的解析函数，或称 在D上解析 讨论： 1)有时说：“函数 在某点解析”，是指 在该点的某一邻域内处处可微
5、. 2)“函数 在闭区域 上解析”，是指 它在包含 的某个区域上解析. 3)如果 在 点不解析，则称为 的 奇点. 4)解析函数的实部和虚部通过C-R方程相互联 系，并不独立，只要知道解析函数的虚部(或实 部)，就可求出相应的实部(或虚部). 下面举例说 明: 例1：已知解析函数的实部 ， 求该解析函数. 解：先计算 的偏导数 由哥西-黎曼条件得 求v 的另一种求法：由 得 即 故： 2.2 解析函数与调和函数的关系 1、调和函数的定义 定义：如果实变函数 在某区域D 上有二阶连续偏导数，并且满足方程 则称 为区域D上的调和函数，方程 称为拉普拉斯方程. 2、解析函数的实部和虚部是调和函数 设
6、 在区域D上解析，则C-R 条件成立 ， . 下一章将证明，某个区域上的解析函数在 该区域上必有任意阶的导数，因此可对上式求偏 导数 , 两式相加可得 同理可得 即 , 都满足拉普拉斯方程，是调 和函数。 注意：反过来定理不一定成立，如果 是调和函数， 不一定解析，因为解析函 数必须满足C-R条件. 由C-R条件联系着的调和函数 u 与 v 称为 共轭调和函数，这样上述定理可表述为： 定理：任何一个在区域D上的解析函数，其 实部与虚部在该区域上互为共轭调和函数。 3、共轭调和函数的几何意义 设 是区域D上的解析函 数，则 ， 两式相乘得 即 所以 就是说，梯度 跟梯度 正交. 我们知道， 和 分别是曲线族 “ ”和“ ”的法 向矢量，因而上式表示“ ”与 “ ”两族曲线相互正交. 这就 解析函数实部与虚部的几何意义.
