1、第三讲 相交线与平行线（一）两角互余、互补的概念及性质（1）定义： 如果两个角的和是180，那么这两个角互为补角.（如图）简称互补. 如果两个角的和是90，那么这两个角互为余角.（如图）简称互余. 注意：互余、互补是指两个角的关系. 互补或互余的两个角，只与它们的和有关，而与其位置无关. 用数学语言表述为： 若=180，则与互补；反之，若与互补，则=180. 若 =90，则与互余；反之若与互余，则=90. （2）性质： 同角或等角的补角相等. 同角或等角的余角相等. 相交线1、邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角12
2、1与2有公共顶点1的两边与2的两边互为反向延长线对顶角相等即1=2邻补角43 3与4有公共顶点3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线。3+4=180注意点：对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；如果与是对顶角，那么一定有=；反之如果=，那么与不一定是对顶角如果与互为邻补角，则一定有+=180；反之如果+=180，则与不一定是邻补角。两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。1.如图所示,1和2是对顶角的图形有( )毛 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2如图1-1，直线AB、CD、EF都经过点O， 图中有几对对顶角？（图1-2）3如图1-2，若A
3、OB与BOC是一对邻补角，OD平分AOB，OE在BOC内部，并且BOE=COE，DOE=72。求COE的度数。 2、垂线定义，当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。ABCDO符号语言记作： 如图所示：ABCD，垂足为O垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记)垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。3、垂线的画法：过直线上一点画已知直线的垂线；过直线外一点画已知直线的垂线。注意：画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；过一点
4、作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。画法：一靠：用三角尺一条直角边靠在已知直线上，二移：移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上，三画：沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离记得时候应该结合图形进行记忆。PABO如图，POAB，同P到直线AB的距离是PO的长。PO是垂线段。PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念 分析它们的联系与区别 垂线与垂线段
5、 区别：垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。 联系：具有垂直于已知直线的共同特征。(垂直的性质) 两点间距离与点到直线的距离 区别：两点间的距离是点与点之间，点到直线的距离是点与直线之间。 联系：都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点(即已知点与垂足)间距离。 线段与距离 距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。已知：如图，在一条公路的两侧有A、B两个村庄.现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P，同时修建车站P到A、B两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P的位置，(保留作图
6、的痕迹)并在后面的横线上用一句话说明道理 . 为方便机动车出行，A村计划自己出资修建一条由本村直达公路的机动车专用道路，你能帮助A村节省资金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理 .平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作。2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行。因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共
7、点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）3、平行公理平行线的存在性与惟一性经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行。5、三线八角两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。12345678如图，直线被直线所截1与5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）5与3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角（位置在内
8、且交错）5与4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。三线八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型；内错角是“Z”型；同旁内角是“U”型。6、如何判别三线八角判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。例如：6BAD2345789FEC1如图，判断下列各对角的位置关系：1与2；1与7；1与BAD；2与6；5与8。我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。如图所示，不难看出1与2是同旁内角；1与7是同位角；1与BAD是同旁内角；2与6是内错角；5与8对顶角。ADBF
9、1ABC17ABF21ABCD26BAFE58C注意：图中2与9，它们是同位角吗？不是，因为2与9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。3、 同位角、内错角和同旁内角的判断1如图3-1，按各角的位置，下列判断错误的是（ ）（A）1与2是同旁内角 （B）3与4是内错角（C）5与6是同旁内角 （D）5与8是同位角2.如图3-2，与EFB构成内错角的是_ _,与FEB构成同旁内角的是_ _.图3-1图4-1两直线平行的判定方法方法一两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简称：同位角相等，两直线平行方法二两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直
10、线平行简称：内错角相等，两直线平行方法三两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行ABCDEF1234简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：32ABCD（同位角相等，两直线平行）12ABCD（内错角相等，两直线平行）42180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）例题：判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：不相交的两条直线必定平行线。磯(虗谀匀佱谀讀缁H缀窪琡圀椀茂焃浻葎膑楧搀漀挀昀搀攀搀挀挀愀挀戀戀搀挀最椀昀浻葎膑楧搀漀挀尀尀愀愀搀愀愀攀昀昀戀愀昀稀眀栀匀眀爀嘀瘀瘀伀嘀最瘀匀嘀瘀一一嘀倀娀倀搀一儀瘀稀琀吀一椀最浻葎膑楧浻葎膑楧尀眀攀渀欀甀尀眀攀戀甀椀尀氀攀砀倀愀瀀攀爀尀椀氀攀刀漀漀琀尀愀昀挀戀昀搀挀昀萀=栀粷鸀)粷夀晎馍堀匀甀稀匀栀猀樀刀欀爀最漀渀娀匀嘀瘀倀琀倀攀瀀昀氀氀洀漀焀刀稀渀琀栀眀戀匀焀猀爀最瀀浻葎膑楧艎筼夀晥蛿筼葼豢筒憉葼龏豠蛿葼皉貍夀晥葼驶葾貍齔夀晥慰葼葾豧夀晥鹬豛妚晥奟晥夀晥鉙博蕏夀晥睵镑煢夰晥敛魔楎庍蹜替筼婓销x-圀燤O胔-瀀i
