1、第十七讲 解直角三角形 利用直角三角形中的已知元素(至少有一条是边)求得其余元素的过程叫做解直角三角形，解直角三角形有以下两方面的应用： 1为线段、角的计算提供新的途径 解直角三角形的基础是三角函数的概念，三角函数使直角三角形的边与角得以转化，突破纯粹几何关系的局限 2解实际问题测量、航行、工程技术等生活生产的实际问题，许多问题可转化为解直角三角形获解，解决问题的关键是在理解有关名词的意义的基础上，准确把实际问题抽象为几何图形，进而转化为解直角三角形【例题求解】【例1】 如图，已知电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果CD与地面成45，A60，CD4m，BC(
2、)m，则电线杆AB的长为 思路点拨 延长AD交BC于E，作DFBC于F，为解直角三角形创造条件【例2】 如图，在四边形ABCD中，AB=，BC-1，CD=，B=135，C90，则D等于( ) A60 B675 C75 D无法确定思路点拨 通过对内分割或向外补形，构造直角三角形注：因直角三角形元素之间有很多关系，故用已知元素与未知元素的途径常不惟一，选择怎样的途径最有效、最合理呢？请记住：有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除 在没有直角的条件下，常通过作垂线构造直角三角形；在解由多个直角三角形组合而成的问题时，往往先解已具备条件的直角三角形，使得求解的直角三角形最终可解【例3】 如图，在ABC中，=90
3、，BAC=30，BC=l，D为BC边上一点，tanADC是方程的一个较大的根?求CD的长思路点拨 解方程求出 tanADC的值，解RtABC求出AC值，为解RtADC创造条件【例4】 如图，自卸车车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB=3米，BC=05米 ，车厢底部距离地面12米，卸货时，车厢倾斜的角度=60问此时车厢的最高点A距离地面多少米?(精确到1米) 思路点拨 作辅助线将问题转化为解直角三角形，怎样作辅助线构造基本图形，展开空间想象，就能得到不同的解题寻路【例5】 如图，甲楼楼高16米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30，此时，求：(1)如果两楼相距
4、20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?(2)如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是多少米? 思路点拨 (1)设甲楼最高处A点的影子落在乙楼的C处，则图中CD的长度就是甲楼的影子在乙楼上的高；(2)设点A的影子落在地面上某一点C，求BC即可注：在解决一个数学问题后，不能只满足求出问题的答案，同时还应对解题过程进行多方面分析和考察，思考一下有没有多种解题途径，每种途径各有什么优点与缺陷，哪一条途径更合理、更简捷，从中又能给我们带来怎样的启迪等 若能养成这种良好的思考问题的习惯，则可逐步培养和提高我们分析探索能力学历训练1如图，在ABC中，A=30，tanB=，BC=，则AB的长为
5、2如图，在矩形ABCD中E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若tanAEH =，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为 3如图，旗杆AB，在C处测得旗杆顶A的仰角为30，向旗杆前北进10m，达到D，在D处测得A的仰角为45，则旗杆的高为 4上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处，从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45和北偏东15方向，那么B处船与小岛M的距离为( ) A20海里 B20海里 C海里 D5已知a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，若关于的方程有两个相等的实根，且sinBcosAcosBsinA0，则A
6、BC的形状为( )A直角三角形 B等腰三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 6如图，在四边形ABCD中，A135，B=D=90，BC=，AD=2，则四边形ABCD的面积是( )A B C 4 D6 7如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，CD=1，已知AD、BD的长是关于的方程的两根，且tanAtanB=2，求、的值8如图，某电信部门计划修建一条连结B、C两地的电缆，测量人员在山脚A点测得B、C两地的仰角分别为30、45，在B地测得C地的仰角为60已知C地比A地高200米，则电缆BC至少长多少米?(精确到0.1米) 9如图，在等腰RtABC中，C=90，CBD30，则= 10如图，正
7、方形ABCD中，N是DC的中点M是AD上异于D的点，且NMB=MBC，则tanABM 11在ABC中，AB=，BC=2，ABC的面积为l，若B是锐角，则C的度数是 12已知等腰三角形的三边长为 a、b、c，且，若关于的一元二次方程的两根之差为，则等腰三角形的一个底角是( ) A 15 B30 C45 D60 13如图，ABC为等腰直角三角形，若AD=AC，CE=BC，则1和2的大小关系是( ) A12 B10,y0,f(x)0 的解集和方程f(x)=0的解. 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等4. 画函数图象一般是：应先确定自变量的取值范围.要
8、使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界.一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点).对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式.二、例题例1.右图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)，试决定a,b,c 及b24ac的符号.解：抛物线开口向下，a0且a0.抛物线与纵轴的交点在正半轴上，截距c0.抛物线与横轴有两个交点， b24ac0.例2. 已知：抛物线f：y=(x2)2+5.试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的
9、方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程.画出f1和f2的略图，并求：（1） x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的；（2） x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形；（3） 求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.解：f1：y=x2+5 (由顶点横坐标变化确定的)， f2 ：y=(x2)25 (由开口方向相反确定的).（1）当x0时，f1下降，当x2时，f2下降，当0x2时，曲线f1和f2都是下降的.（2）求两曲线的交点横坐标，即解方程组x22x3=0 . x=1；或x=3. 当1x 3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形.(3)封闭图形上，平行于y轴的线
10、段的长度，就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点的纵坐标的差.在区间 1x 3内，设f1 上的点P1(x,y1), f2 上的点P2(x,y2)，求y1y2的最大值，可用配方法：y1y2(x2+5) (x2)252x2+4x+62(x1)2+8. 20，y1y2有最大值.当x=1 时，y1y2的值最大是8.即线段长度的最大值是8.例3.画函数y=的图象.解： 自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论：当x1 时，y=(x+1)(x2)=2x+1；当1 x2时，y=x+1(x2)=3 ； 当x 2时， y=x+1+x2=2x1. 即y= x2123y=2x+1(x1)53y=3(1x2)33y=
11、2x1(x2)35画函数y=的图象如下图：例4. 画方程x2+y2=1 的图象， m 表示不超过m 的最大整数.解：x20，且y2=1x20，x21 . 0x21.m 表示不超过m 的最大整数，当x2=0x=00x1 . 当x2=1x= 自变量x的取值范围是：1x2.x1x0 0 x11x2 x101x2101y2=1x2 010 y0110 y0y11y01y20y0,那么y=kx+k中，当k0时，直线上升且在y轴上的截距为正.所以应选(D)； 注意到y=1中， 当x=0和x=1时 y有最大值1，故选(A).三、练习611. 填空： 横坐标为2的点的集合，记作直线，纵轴记作直线，横轴记作直线
12、，横坐标与纵坐标互为相反数的点的集合是直线，经过一、三象限，平分两坐标轴夹角的直线记作方程. 点P（x,y）关于横轴的对称点P1的坐标是（），点P关于原点的对称点P2的坐标是（）.f：y=3(x2)2+5,关于横轴对称的抛物线f1记作f关于原点对称的抛物线f2记作. A（1，3）关于直线y=x的对称点A，的坐标是（）.点B（2，3）关于直线y=x的对称点B，的坐标是（）.2. 根据图象位置判断指定的常数的符号 直线y=kx+b经过二、一、四象限，则k,b的符号是 抛物线y=ax2+bx+c的位置，如图所示，试确定下列代数式的符号a_, _,b_,c_,b24ac_,_3. 选择题（只有一个正确
13、的答案）（1）下图（1）是一次函数px+qy+r=0的图象，下列条件正确的是（）.（A）p=q, r=0 .(B) p=q, r=0.(C)p=q, r=1.(D) p=q, r=1.（2）下图（2）是二次函数y=ax2+bx+c的图象，如下答案哪个正确？（）（A）a+b+c=0.（B）a+b+c0.（D）a+b+c值不定. (1) （3）二次函数y=a(x+m)2+n中，a0 , m0, n0 它的图象（）(4)两个一次函数y=mx+n y=nx+m 且mn0, 那么它们在同一坐标系内的图象大致为（）5（D）（5）在同一坐标系内，y=ax+b与y=ax2+b的图象大体位置是（）(6)已知函数
14、y+ax+b和y=ax2+bx+c那么它们的图象是（）)(x-6)(x+2 = 0.2)(xf-5 4.画下列函数的图象y=； y=； y=()2； y=.5.有m部同样的机器，同时开始工作，需要m小时完成某项任务.设由x部机器完成某一任务，求所需的时间y(小时)与机器台数x(x为小于m的整数)的函数关系，并画出当m=5时函数的图象.6.画如下方程、函数的图象. ；y=x22|x|3.7.这是一张追及图看图回答：谁追及谁？谁早出发，早几小时？甲、乙在这段路程速度各多少？追的人从出发到追上，用了几小时？走多少路程？分别列出甲、乙两人的路程y甲，y乙和时间x的函数关系的解析式.8.如图，抛物线L1
15、：y=ax2+2bx+c和抛物线L2：y=(a+1)x2+2(b+2)x+c+3 的位置如图所示.判断哪条抛物线经过A、B、C三点，说明理由；.求出点B和点C的横坐标；.若ABBC，OCOD，求a,b,c的值 . 9.坐标平面上，纵坐标与横坐标都是整数的格点(整点)， 试在二次函数 y=-1CBDA1的图象上找出满足y的所有整点(x,y), 并说明理由.（8）练习61参考答案：1. x=2,x=0,y=0,y=x,y=x；(x,y),(x,y)；y=3(x2)25, y=3(x+2)25(3，1)，(3，2) 2.k0.正，负，正，负，负，正，负.3. (A)，(B)，(B)，(C)，(D)，
16、(C) 4.x0，图象不以过原点；y0；x0；y0. 5.y=(x 是正整数xm=5). 6.（如图）7.乙追及甲；甲先1小时；时速甲4、乙5千米；乙用4小时追上甲先走的4千米y甲=4x, y乙=5x 8.由图象a,a+1异号，L2过A，B，C三点.3，1.，0，. 9.(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)，(3，3)，(6，6).由x2x+1810.当x0时，x2x+1810x, x211x+180, (x2)(x9)0，2x9, 这时，有4个整数点：(2，2)，(4，3)，(7，6)，(9，9)；当x0时，x2x+1810x, x29x+180，（x+6）(x+3)0，6x3,
17、这时有两个整数点：(3，3)，(6，6).9介绍马克思的学说和思想。宣传特点：阶级和历史的局限性导致他们不能科学认识马克思主义。2、正式传播(1)原因十月革命和五四运动的影响，马克思主义成为强大的社会思潮，新文化运动的方向和性质发生变化；对资本主义失望的知识分子急切寻求改造中国的新出路。(2)先进传播者李大钊：1918年庶民的胜利、布尔什维主义的胜利、1919年我的马克思主义观、1920年在北京“马克思主义研究会”；陈独秀：1919年5月新青年出版了马克思主义专号、1920年在上海“马克思主义研究会”。1917年俄国爆发了十月社会主义革命，影响和推动了世界其他国家的革命运动。列宁领导的俄国十月
18、社会主义革命开辟了无产阶级社会主义革命的新时代。哈里什卡普尔觉醒中的巨人“第一次世界大战结束时，激进的中国知识分子为之鼓舞，以为中国作为战胜国可以得到其他大国的尊重不久，中国在巴黎和会上的屈辱粉碎了他们的憧憬，他们开始怀疑他们早先所崇拜的西方文明作为爱国者，他们投向了马克思主义。”解释李大钊有关庶民的胜利中新潮流和新纪元新潮流：社会主义；新纪元：社会主义革命新时代3、广泛传播(1)时间：十月革命之后，特别是五四运动之后(2)条件中国工人阶级队伍的壮大（阶级基础）。新文化运动动摇了封建正统思想的统治地位。（思想基础）十月革命第一次把马克思主义从理论变为现实，为中国革命指明新的出路。五四运动的爆发
19、促进马克思主义和工人运动的相结合。最根本的是中国革命实践的客观需要。(3)概况、与其它各种思潮的辩难和论战问题与注意之争背景：一是因为新文化运动阵营的分化。“五四”后，李大钊、陈独秀等人由激进的民主主义者转变为马克思主义者，但胡适等人仍然停留在资产阶级民主主义者立场上，新文化运动阵营发生了分化。二是在改造社会的各种思潮中，马克思主义的传播成为主流，胡适等人坚持反对从根本上改造社会制度，宣传资产阶级改良主义，首先挑起论战。概况：胡适多研究些问题，少谈些“主义”李大钊再论问题与主义胡适：“空谈好听的主义是极容易的事，是阿猫阿狗都能做的事”。“空谈外来进口的主义，是没有什么用处的。不去实地研究我们现在的社会需要，单会高谈某某主义，是很危险的。现在中国应该赶紧解决的问题真多得很！从人力车夫的生计问题到大总统的权限问题，”。实质：反对从根本上改革腐朽的社会制度，宣扬资产阶级改良主义。李大钊“我们要想解决一个问题，应该设法使他成了社会上多数人共同的问题。，应该使这社会上可以共同解决这个那个社会问题的多数人，先有一个共同趋向的理想、主义。所以我们的社会运动，一方面固然要研究实际的问题，一方面也要宣传理想的主义。”实质：主张以马克思主义为指导进行社会革命，认为“问题”与“主义”不能截然分开，两者应该并行不悖。评价：论战的实质，要不要用马克思主义解决中国问题。“问题与主义之争”，是马克思主义在中
