1、 -2- 例如线性规划 bAxxcxT s.t. max 的 Matlab 标准型为 bAxxcxT s.t. min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的（数学）标准型为 =njjjxcz1max (3) s.t. =njxmibxajnjijij,2,10,2,11LL(4) 可行解 满足约束条件（ 4）的解 ),(21 nxxxx L= ，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（ 3）达到最大值的可行解叫最优解。 可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为 R 。 1.4 线性规划的图解法 0 2 4 6 8 10012345678910x2 =72x1+x2=10
2、x1+x2 =8z=12(2 ,6 )图 1 线性规划的图解示意图 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用图解法来求解例 1。对于每一固定的值 z，使目标函数值等于 z的点构成的直线称为目标函数等位线，当 z变动时，我们得到一族平行直线。对于例 1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例的最优解为Tx )6,2(*= ，最优目标值26*=z 。 从上面的图解过程可以看出并不难证明以下断言： （ 1）可行域 R 可能会出现多种情况。 R 可能是空集也可能是非空集合，当 R 非空时，它必定是若干个半平面的交集（除非遇到空间维数的退化） 。 R
3、 既可能是有界区域，也可能是无界区域。 （ 2） 在 R 非空时， 线性规划既可以存在有限最优解， 也可以不存在有限最优解 （其目标函数值无界） 。 -3- （ 3）若线性规划存在有限最优解，则必可找到具有最优目标函数值的可行域 R 的“顶点” 。 上述论断可以推广到一般的线性规划问题， 区别只在于空间的维数。 在一般的 n维空间中，满足一线性等式=niiibxa1的点集被称为一个超平面，而满足一线性不等式=niiibxa1（或=niiibxa1）的点集被称为一个半空间（其中 ),(1 naa L 为一 n维行向量， b为一实数） 。若干个半空间的交集被称为多胞形，有界的多胞形又被称为多面体。
4、易见，线性规划的可行域必为多胞形（为统一起见，空集 也被视为多胞形） 。 在一般 n维空间中，要直接得出多胞形“顶点”概念还有一些困难。二维空间中的顶点可以看成为边界直线的交点， 但这一几何概念的推广在一般 n维空间中的几何意义并不十分直观。为此，我们将采用另一途径来定义它。 定义 1 称 n 维空间中的区域 R 为一凸集，若 Rxx 21, 及 )1,0( ，有Rxx +21)1( 。 定义 2 设 R 为 n维空间中的一个凸集， R 中的点 x被称为 R 的一个极点，若不存在 Rxx 21、 及 )1,0( ，使得21)1( xxx += 。 定义 1 说明凸集中任意两点的连线必在此凸集中
5、；而定义 2 说明，若 x是凸集 R的一个极点，则 x不能位于 R 中任意两点的连线上。不难证明，多胞形必为凸集。同样也不难证明，二维空间中可行域 R 的顶点均为 R 的极点（ R 也没有其它的极点） 。 1.5 求解线性规划的 Matlab 解法 单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。这里我们就不介绍单纯形法， 有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。 下面我们介绍线性规划的 Matlab解法。 Matlab 中线性规划的标准型为 xcxTmin s.t. =ubxlbbeqxAeqbAx基本函数形式为 linprog(c,A,b)，它的返回值是向量 x的值。还有其它的一些函数
6、调用形式（在 Matlab 指令窗运行 help linprog 可以看到所有的函数调用形式） ，如： x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,X0,OPTIONS) 这里 fval 返回目标函数的值， LB 和 UB 分别是变量 x的下界和上界，0x 是 x的初始值，OPTIONS 是控制参数。 例 2 求解下列线性规划问题 321532max xxxz += s.t. 7321=+ xxx 1052321+ xxx 123321+ xxx 0,321xxx -4- 解 （ i）编写 M 文件 c=2;3;-5; a=-2,5,-1;1,3,1; b=-10;1
7、2; aeq=1,1,1; beq=7; x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1) value=c*x （ ii）将 M文件存盘，并命名为 example1.m。 （ iii）在 Matlab指令窗运行 example1即可得所求结果。 例 3 求解线性规划问题 32132 min xxxz += +0,62382432121321xxxxxxxx解 编写 Matlab程序如下： c=2;3;1; a=1,4,2;3,2,0; b=8;6; x,y=linprog(c,-a,-b,zeros(3,1) 1.6 可以转化为线性规划的问题 很多看起来不是线性规划的问题
8、也可以通过变换变成线性规划的问题来解决。如： 例 4 规划问题为 bAxxxxn+t.s.|min21L其中Tnxxx 1L= ， A和 b 为相应维数的矩阵和向量。 要把上面的问题变换成线性规划问题，只要注意到事实：对任意的ix ，存在0, iivu 满足 iiivux = ，iiivux +=| 事实上，我们只要取2|iiixxu+= ，2|iiixxv= 就可以满足上面的条件。 这样，记Tnuuu 1L= ，Tnvvv 1L= ，从而我们可以把上面的问题变成 =+niiivu1)(min 0,)(t.s.vubvuA例 5 |maxminiyxii 其中iiiyx = 。 对于这个问题，
9、如果我们取 |max0 iyix = ，这样，上面的问题就变换成 -5- 0min x 0011, t.s. xyxxyxnn L 此即我们通常的线性规划问题。 2 运输问题 (产销平衡 ) 例 6 某商品有 m 个产地、 n个销地，各产地的产量分别为maa ,1L ，各销地的需求量分别为nbb ,1L 。若该商品由 i产地运到 j 销地的单位运价为ijc ，问应该如何调运才能使总运费最省？ 解：引入变量ijx ，其取值为由 i产地运往 j 销地的该商品数量，数学模型为 =minjijijxc11min s.t. =0,2,1,1,11ijmijijnjiijxnjbxmiaxLL显然是一个线
10、性规划问题，当然可以用单纯形法求解。 对产销平衡的运输问题，由于有以下关系式存在： =miinjnjmiijminjijjaxxb111111其约束条件的系数矩阵相当特殊， 可用比较简单的计算方法， 习惯上称为表上作业法 （由康托洛维奇和希奇柯克两人独立地提出，简称康希表上作业法） 。 3 指派问题 3.1 指派问题的数学模型 例 7 拟分配 n人去干 n项工作，每人干且仅干一项工作，若分配第 i人去干第 j项工作，需花费ijc 单位时间，问应如何分配工作才能使工人花费的总时间最少？ 容易看出，要给出一个指派问题的实例，只需给出矩阵 )(ijcC = ， C 被称为指派问题的系数矩阵。 引入变
11、量ijx ，若分配 i干 j 工作，则取 1=ijx ，否则取 0=ijx 。上述指派问题的数学模型为 =ninjijijxc11min s.t. =njijx11 -6- =niijx11 1 0或=ijx 上述指派问题的可行解可以用一个矩阵表示，其每行每列均有且只有一个元素为1，其余元素均为 0；可以用 n,1 L 中的一个置换表示。 问题中的变量只能取 0 或 1，从而是一个 0-1 规划问题。一般的 0-1 规划问题求解极为困难。但指派问题并不难解，其约束方程组的系数矩阵十分特殊（被称为全单位模矩阵， 其各阶非零子式均为 1 ） ， 其非负可行解的分量只能取 0 或 1， 故约束 10
12、或=ijx可改写为 0ijx 而不改变其解。此时，指派问题被转化为一个特殊的运输问题，其中nm = ， 1=jiba 。 3.2 求解指派问题的匈牙利算法 由于指派问题的特殊性，又存在着由匈牙利数学家 Konig 提出的更为简便的解法匈牙利算法。算法主要依据以下事实：如果系数矩阵 )(ijcC = 一行（或一列）中每一元素都加上或减去同一个数，得到一个新矩阵 )(ijbB = ，则以 C 或 B 为系数矩阵的指派问题具有相同的最优指派。 例 8 求解指派问题，其系数矩阵为 =16221917171822241819211722191516C 解 将第一行元素减去此行中的最小元素 15，同样，第
13、二行元素减去 17，第三行元素减去 17，最后一行的元素减去 16，得 =06310157124074011B 再将第 3 列元素各减去 1，得 =*20531005711407301B 以2B 为系数矩阵的指派问题有最优指派 43124321由等价性，它也是例 7 的最优指派。 有时问题会稍复杂一些。 例 9 求解系数矩阵 C 的指派问题 -7- =61071041066141512141217766698979712C 解：先作等价变换如下 2636040*08957510*00*0032202*056107104106614151214121776669897971246767容易看出，
14、 从变换后的矩阵中只能选出四个位于不同行不同列的零元素， 但 5=n ，最优指派还无法看出。此时等价变换还可进行下去。步骤如下： (1) 对未选出 0 元素的行打 ； (2) 对 行中 0 元素所在列打 ； (3) 对 列中选中的 0 元素所在行打 ； 重复（ 2） 、 （ 3）直到无法再打 为止。 可以证明，若用直线划没有打 的行与打 的列，就得到了能够覆盖住矩阵中所有零元素的最少条数的直线集合，找出未覆盖的元素中的最小者，令 行元素减去此数， 列元素加上此数，则原先选中的 0 元素不变，而未覆盖元素中至少有一个已转变为 0，且新矩阵的指派问题与原问题也等价。上述过程可反复采用，直到能选取出
15、足够的 0 元素为止。例如，对例 5 变换后的矩阵再变换，第三行、第五行元素减去 2，第一列元素加上 2，得 04140400811353800003420207现在已可看出，最优指派为5314254321。 4 对偶理论与灵敏度分析 4.1 原始问题和对偶问题 考虑下列一对线性规划模型： xcTmax s.t. 0, xbAx (P) 和 ybTmin s.t. 0, ycyAT(D) -8- 称（ P）为原始问题， （ D）为它的对偶问题。 不太严谨地说，对偶问题可被看作是原始问题的“行列转置” ： （ 1） 原始问题中的第 j 列系数与其对偶问题中的第 j 行的系数相同； （ 2） 原始
16、目标函数的各个系数行与其对偶问题右侧的各常数列相同； （ 3） 原始问题右侧的各常数列与其对偶目标函数的各个系数行相同； （ 4） 在这一对问题中，不等式方向和优化方向相反。 考虑线性规划： 0,s.t.min = xbAxxcT把其中的等式约束变成不等式约束，可得 0, s.t. min xbbxAAxcT它的对偶问题是 cyyAAyybbTTTT2121s.t.max 其中1y 和2y 分别表示对应于约束 bAx 和 bAx 的对偶变量组。 令21yyy = ，则上式又可写成 cyAybTT s.t. max 原问题和对偶的对偶约束之间的关系： min max 无限制变量 00=000行约
17、束 =000行约束 无限制变量 004.2 对偶问题的基本性质 1o 对称性：对偶问题的对偶是原问题。 2o 弱对偶性：若 x 是原问题的可行解， y 是对偶问题的可行解。则存在ybxcTT 。 3o 无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 4o 可行解是最优解时的性质：设 x 是原问题的可行解， y 是对偶问题的可行解，当 ybxcTT = 时， yx , 是最优解。 5o 对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相同。 6o 互补松弛性：若 yx , 分别是原问题和对偶问题的最优解，则 0)(,0)( = cyAxbxAyTTT例 1
18、0 已知线性规划问题 5432132532min xxxxx += s.t. 43254321+ xxxxx -9- 33254321+ xxxxx 5,2,1,0 L= jxj已知其对偶问题的最优解为 5;53,54*2*1= zyy 。试用对偶理论找出原问题的最优解。 解 先写出它的对偶问题 2134max yyz += 2221+ yy 321 yy 53231+ yy 221+ yy 3321+ yy 0,21yy 将*2*1, yy 的值代入约束条件，得，为严格不等式；由互补松弛性得0*4*3*2= xxx 。因 0,*2*1yy ；原问题的两个约束条件应取等式，故有 43*5*1=
19、+ xx 32*5*1=+ xx 求解后得到 1,1*5*1= xx ；故原问题的最优解为 5;10001*= X 。 4.3 灵敏度分析 在以前讨论线性规划问题时，假定jiijcba , 都是常数。但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场条件一变，jc 值就会变化；ija 往往是因工艺条件的改变而改变；ib 是根据资源投入后的经济效果决定的一种决策选择。因此提出这样两个问题：当这些系数有一个或几个发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化；或者这些系数在什么范围内变化时，线性规划问题的最优解或最优基不变。这里我们就不讨论了。 4.4 参数线性规划 参数线性规划是研究jiijcb
20、a , 这些参数中某一参数连续变化时， 使最优解发生变化的各临界点的值。即把某一参数作为参变量，而目标函数在某区间内是这参变量的线性函数，含这参变量的约束条件是线性等式或不等式。因此仍可用单纯形法和对偶单纯形法进行分析参数线性规划问题。 5 投资的收益和风险 5.1 问题提出 市场上有 n种资产is （ ni ,2,1 L= ）可以选择，现用数额为 M 的相当大的资金作一个时期的投资。这 n种资产在这一时期内购买is 的平均收益率为ir ，风险损失率为iq ，投资越分散，总的风险越少，总体风险可用投资的is 中最大的一个风险来度量。 -10- 购买is 时要付交易费， （费率ip ） ，当购买
21、额不超过给定值iu 时，交易费按购买iu计算。另外，假定同期银行存款利率是0r ，既无交易费又无风险。 （ %50=r ） 已知 4=n 时相关数据如表 1。 表 1 is ir (%) iq ip (%) iu (元 ) 1s 28 2.5 1 103 2s 21 1.5 2 198 3s 23 5.5 4.5 52 4s 25 2.6 6.5 40 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定资金 M ，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，使总体风险尽可能小。 5.2 符号规定和基本假设 符号规定： is ：第 i种投资项目，如股票，债券 iiiqpr , ：分别为is 的平
22、均收益率，交易费率，风险损失率 iu ：is 的交易定额 0r ：同期银行利率 ix ：投资项目is 的资金 a：投资风险度 Q：总体收益 基本假设： 1 投资数额 M 相当大，为了便于计算，假设 1=M ； 2 投资越分散，总的风险越小； 3 总体风险用投资项目is 中最大的一个风险来度量； 4 n种资产is 之间是相互独立的； 5 在投资的这一时期内，iiiqpr , ，0r 为定值，不受意外因素影响； 6 净收益和总体风险只受iiiqpr , 影响，不受其它因素干扰。 5.3 模型的分析与建立 1 总体风险用所投资的is 中最大的一个风险来衡量，即 ,2,1|max nixqiiL= 2
23、购买is 所付交易费是一个分段函数，即 交易费=iiiiiiiiuxupuxxp,而题目所给定的定值iu （单位：元）相对总投资 M 很少，iiup 更小，可以忽略不计，这样购买is 的净收益为iiixpr )( 。 3 要使净收益尽可能大，总体风险尽可能小，这是一个多目标规划模型： -11- 目标函数为 =maxmin)(max0iiniiiixqxpr约束条件为 =+=nixMxpiniii,1,0,0)1(0L4 模型简化 a) 在实际投资中，投资者承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限 a，使最大的一个风险 aMxqii ，可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划
24、。 模型一 固定风险水平，优化收益 =niiiixpr0)(max s.t. =+=niiiiiinixMxpaMxq0,1,0,0,)1( Lb) 若投资者希望总盈利至少达到水平 k 以上，在风险最小的情况下寻求相应的投资组合。 模型二 固定盈利水平，极小化风险 maxminiixq s.t. =+=niiiiniiiinixMxpkxpr00,1,0,0,)1()(Lc) 投资者在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此对风险、收益分别赋予权重 s（ 10 s ）和 )1( s ， s称为投资偏好系数。 模型三 =niiiiiixprsxqs0)()1(maxmin s.t. =+niiiinixMxp0,2,1,0,0,)1( L 5.4 模型一的求解 模型一为： Txxxxxf ),)(185.0,185.0,19.0,27.0,05.0(min43210=
