1、（Topological Relation）。图3-13为拓扑空间关系的形式化表达。图3-13：拓扑空间中的点和邻域422拓扑描述的数学基础点集拓扑学拓扑学是几何学分支之一，作为近代数学的一门基础理论学科，拓扑学已经渗透到数学的许多分支以及物理、化学和生物学之中，而且在工程技术中也获得了广泛的应用。由于拓扑学是研究图形在拓扑变化下不变的性质，拓扑学已成为地理信息系统空间关系的理论基础，为空间点、线、面之间的包含、覆盖、相离和相接等空间关系的描述提供直接的理论依据。定义1：X为一非空集合，:XXR为一映射，如果对于任意的x，y，zX，有:(1)(x，y)0，并且(x，y)=0当且仅当x=y；(2
2、)(x，y)=(y，x)；(3)(x，z)(x，y)+(y，z) (三角不等式)；则称为X的度量，偶对(X，)称为度量空间。定义2：A为度量空间X的子集，如果A的每一点都有一个球形邻域包含于A，则称A为的开集。定义3：X为非空集合，A为X的子集族，如果满足下列条件：(1) X和空集属于A；(2)若A1，A2属于A，则A1与A2的交集属于A；(3)A中任意两个元素的并仍为A中的元素；则称A为X的拓扑。如果A为集合X的拓扑，则称偶对(X，A)为拓扑空间。定义4：A为拓扑空间X的子集。如果点x属于X的每一邻域U中都有A中异于x的点，即U(Ax)，则称x为A的聚点或极限点。A的聚点可以属于A也可以不属
3、于A。定义5：A为拓扑空间X的子集，集合A的所有聚点构成的集合称为A的导集，记作dX(A)或d(A)。定义6：A为拓扑空间X的子集，如果A的每一聚点都属于A，即d(A)为A的子集，则称A为闭集。定义7：X为拓扑空间，X的子集A与A的导集d(A)的并集Ad(A)称为A的闭包，记作C(A)。定义8：为拓扑空间X的子集，如果A是点x属于X的邻域，即存在X的开集U使得x属于U，U为A的子集，则称点x为集合A的内点。集合A的所有内点构成的集合，称为A的内部，记作I(A)。定义9：A为拓扑空间X的子集，对于点x属于X，如果在x的任一邻域U中既有A的点又有A的点，即：UA并且U(A)，则称x为集合A的边界点
4、。集合A的所有边界点的集合称为集合A的边界，记作B(A)。定理1：A为拓扑空间X的任意子集，则:C(A)=I(A)=I(A)B(A)I(A)=C(A)=C(A)B(A)B(A)=C(A)C(A)=(I(A)I(A)=B(A)423拓扑空间关系描述9交模型设有现实世界中的两个简单实体A、B，B(A)、B(B)表示A、B的边界，I(A)、I(B)表示A、B的内部，E(A)、E(B)表示A、B余。Egenhofer1993构造出一个由边界、内部、余的点集组成的9-交空间关系模型(9-Intersection Model,9-IM)如下* 在另外一些表述中，B(A)，I(A)，E(A)分别为：A，OA
5、和-A。：B(A)B(B)B(A)I(B)B(A)E(B)I(A)B(B)I(A)I(B)I(A)E(B)E(A)B(B)E(A)I(B)E(A)E(B)对于该矩阵中的每一元素，都有“空”与“非空”两种取值，9个元素总共可产生29=512种情形。9交模型形式化地描述了离散空间对象的拓扑关系，基于9交模型，可以定义空间数据库的一致性原则，并应用于数据库更新、维护中。此外，9交模型也是进一步研究空间关系的基础* 在这方面，比较有意义的工作是Egenhofer等进行的9交模型与自然语言中空间关系描述的对应研究。9交模型一共可以表达512种可能的空间关系，但是在实际上，有些关系并不存在。表2给出了面/
6、面(A/A)，面/线(A/L)，面/点（A/P），线/线（L/L），线/点（L/P），点/点（P/P）可能空间关系的矩阵形式。其中“-”表示不可能存在该关系，“Yb”表示在单值和多值的矢量图上都可能存在的关系，“Ym”在多值的矢量图上可能存在的关系* 所谓单值矢量图是指对于一给定点，最多只能属于一个地物要素，即地物不能重叠；而对于多值矢量图，地物可以重叠。表3-3：通过9-交模型表示的两个要素可能的拓扑关系（表中将矩阵的9个数值展开得到一个二进制数值，1表示相应交集不为空，0表示交集为空）关系9-交模型矩阵A/AA/LA/PL/LL/PP/Pr026000011010-Ybr030000011
7、110-Yb-Yb-r031000011111YbYb-Yb-r063000111111-Yb-Yb-r092001011100-Yb-Yb-r093001011101-Yb-r095001011111-Yb-r127001111111-Yb-r159010011111-Yb-r179010110011Ym-Ym-r191010111111-Yb-Yb-r220011011100YmYb-Ym-r223011011111-Yb-r252011111100-Yb-r253011111101-Yb-r255011111111-Yb-Ym-r272100010000-Ymr277100010101-Yb-r279100010111Yb-r284100011100-Yb-Yb-r285100011101YbYb-r287100011111YbYb-Yb-r311100110111-Yb-r316100111100-Yb-r317100111101-Yb-r319100111111-Yb-r349101011101-Yb-r373101
