1、目录 上页 下页 返回 结束 第二节 偏导数与高阶偏导数 目录 上页 下页 返回 结束 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 中的 x 固定于 x0 处,求 一阶导数与二阶导数. 关于 t 的将振幅 目录 上页 下页 返回 结束 定义1.在点 存在, 的偏导数，记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 注意: 目录 上页 下页 返回 结束 同样可定义对 y 的偏导数 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为 或 y 偏导数存在 , 目录
2、上页 下页 返回 结束 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 偏导数定义为 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 目录 上页 下页 返回 结束 例1 . 求 解法1 解法2 在点(1 , 2) 处的偏导数. 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 证: 例3. 求的偏导数 . 解: 求证 目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D
3、内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数: 目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 求函数 解 : 注意:此处但这一结论并不总成立. 的二阶偏导数及 目录 上页 下页 返回 结束 例如, 二者不等 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 证明函数 满足拉普拉斯 证： 利用对称性 , 有 方程 目录 上页 下页 返回 结束 则定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 证明 目录 上页 下页 返回 结束 习题 设方程 确定 u 是 x , y 的函数 , 连续, 且求 解:
