1、三、傅立叶变换的基本性质 1.线性 2.奇偶性 3.对偶性 4.尺度变换特性 5.时移特性 6.频移特性 7.微分特性 8.积分特性 9.帕斯瓦尔定理 10.卷积定理 傅里叶变换使任一信号可以有两种描述形式：时域描述和频域描述。 为了进一步了解信号的这两种描述形式之间的相互关系，如: 信号的时域特性在频域中如何对应， 在频域中的一些运算在时域中会引起什么效应，等等， 必须讨论傅立叶变换的一些重要性质。 另外，很多性质对简化傅立叶变换或反变换的求取也很有用 1、线性（叠加性） 若: 则: 例：求x(t)的傅立叶变换 已知矩形脉冲信号的傅立叶变换为： 利用线性性质可得： 2、 奇偶性 无论x(t)
2、是实函数还是复函数，都有下面结论： 若: 则: （2-85）的含义为： （2-85） 时域共轭对应频域共轭并且反摺 证明：由傅立叶变换定义式 取共轭 以代替 对于x(t)是实函数的特殊情况，则有下面结论： 由于： 再根据（2-85） 可以得： 等价为： （2-86） （2-86）的含义为： 实函数的傅立叶变换具有共轭对称性 由傅里叶变换的定义，有 显然：频谱函数的实部和虚部分别为 ： （2-87） 频谱函数的幅度和相位分别为 （2-88） 下面讨论， 当 为：1）实函数 ；2）实偶函数； 3）实奇函数 的情况下， 的奇偶、虚实特性 1）当 为实函数的情况下 由： 可知： 可知： 由： 即：当
3、为实函数， 其频谱函数的实部为偶函数 其频谱函数的虚部为奇函数 即：当 为实函数， 其频谱函数的幅度为偶函数 其频谱函数的相位为奇函数 2）当 为实偶函数的情况下 由： 可知： 偶奇 即：当 为实偶函数， 其频谱函数为实函数 加上前面关于实函数情况的结论，综合得到： 当 为实偶函数， 其频谱函数为实偶函数 x(t) 0 t0 实偶函数 实偶函数 例： 3）当 为实奇函数的情况下 由： 可知： 奇偶 即：当 为实奇函数， 其频谱函数为虚函数 加上前面关于实函数情况的结论，综合得到： 当 为实奇函数， 其频谱函数为虚奇函数 x(t) 0 例： 实奇函数 虚奇函数 3、对偶性 若 则 证明：由傅立叶
4、反变换式 自变量t变成-t 将t和互换 含义：对 进行傅里叶变换，所得频谱函数为 例 ： 例2-10 求取样函数 的傅立叶变换 解：由式(2-62)可知，宽度为，幅度为E 的矩形脉冲信号 的 傅立叶变换为 若取 , ，则 由对偶性，得： 1/2 00 0 0 4、尺度变换特性 若 则 证明略，（p48） 含义： 在时域上将信号 压缩到 倍，则在频域上其频谱 扩展 倍，同时幅度相应地减小到 倍。 也就是说，信号波形在时域的压缩意味着在频域中信号频 带的展宽；反之，信号波形在时域的扩展，意味着频域中 信号频带的压缩 时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩） x(t/2 ) 压缩 扩展 图2-5
5、0表示了单位矩形脉冲信号尺度变换( )前后的时域波 形及其频谱。 2-50 5、时移特性 若: 则: 信号在时域中沿时间轴右移（或左移） 则在频域中，信号的幅度频谱不变，而相位频谱产生 ( 或 )的变化。 (2-92) 式（2-92）的含义为： 例2-11 求图2-46(a)表示的信号的频谱。 解: (a) 可看成是(b)和(c)所示的信号的组合 (a) (b) (c) 的频谱函数分别为： 由线性和时移特性，有: 例：求三脉冲信号的频谱 求如下三脉冲信号的频谱函数 为P36页的标准矩形脉冲信号 解： 6、频移特性 若: 则: 证明：由傅立叶变换定义 同理有 (2-94) (2-94)的含义为：
6、 在时域将信号乘以因子 ，对应于在频域将原信号的频谱 右移 ，即往高频段平移 在时域将信号乘以因子 ，对应于在频域将原信号的频谱 左移 ，即往低频段平移 频谱搬移 这种频谱搬移，就是通信工程中常用的幅度调制技术的理论本质 幅度调制技术简称调幅技术，即：将被调制信号 乘以正弦 信号 (常称载波信号)，得到调制信号： 其频谱函数为： 原频谱 一分为二，各向左、右移动 ，在 移动过程中幅度谱的形式保持不变。 举例说明其体现在频谱图上的效果 为什么要对信号进行调制？ 7、微分特性 若: 则: 证明：由傅立叶反变换定义 两边对t求导，有： 以此类推，有： 所以有： 例：求三角脉冲的频谱 方法一：代入定义
7、计算 方法二：利用微分性质计算 微分 根据微分性质: 所以有: 8、积分特性 若:则: 如果 ，则有: 证明: p53 自己阅读 例：求斜平信号的频谱 可以看成矩形脉冲 的积分 积分 由标准矩形脉冲信号的频谱和时移性质，可得 的频谱为 由积分性质，可得 的频谱为 又因为： 所以得： 9、帕斯瓦尔定理 若: 则: 帕斯瓦尔公式表明，对 在整个频率范围内积分，可以 得到信号的总能量。 式(2-100)为有限能量信号的帕斯瓦尔公式 (2-100) 因此， 反映了信号的能量相对于频率的分布，称为能 量密度谱，简称能谱，即： 10、卷积定理 （1） 时域卷积定理 若: 则: 时域卷积定理表明，两个信号在时域的卷积积分，对应了频 域中该两信号频谱的乘积，由此可以把时域的卷积运算转换 为频域的乘法运算，简化了运算过程 例：求两个矩形脉冲卷积后的频谱 矩形脉冲的表达式为 它们所对应的频谱为 由时域卷积定理有： 两个矩形脉冲卷积后的结果为： 图2-55说明了 该例中，各种时 域曲线、频谱曲 线的对应关系： （2）频域卷积定理 若: 则: 上式表明: 两信号在时域的相乘对应于在频域中它们频谱的卷积 利用频域卷积定理也可以很容易导出： 以及: 和前面提到的频移特性一致
