1、 第一章 1.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限 1.21.2 自变量变化过程的六种形式: 1.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限 本节内容 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 1.2.2、单侧极限 1.2.4、无穷极限 1.2.5 极限的性质 1 1 1.2.11.2.1、自变量趋于有限值时函数的极限、自变量趋于有限值时函数的极限 例1.2.1 考察函数在当x趋向于1时函数值 的变化 。 解 如图，该函数定义域为 考察x从x=1的左侧及右侧接近1时， 其函数值的变化情况 。 列表如下 2 2 结论：当x充分接近1（但不等于1）, y的值接近于常数2. 2.0000011.
2、0000011.9999990.999999 2.0011.0011.9990.999 2.011.011.990.99 2.11.11.90.9 一般地，我们有 3 3 定义定义1.2.1 1.2.1 设函数设函数在点的某去心邻域内有定义 , 或 反之， 若不存在这样的常数 A， 则称当时 没有极限或极限不存在。 则例1.2.1可表示为 的值任意地接近常数A, 函数 如果当x充分接近时， 则称当的极限为A, 记作时函数 4 4 例1.2.2 设函数 求 解如图， . 观察其函数图象，得 结论：函数在某点的极限的存在与否与函数在该点是否 有定义或等于什么并无关系. 5 5 例例1.2.31.2
3、.3 求求 解如图， 观察其函数图象，得 解如图， 观察其函数图象，得 例例1.2.41.2.4 求求 6 6 例例1.2.51.2.5 求求 不存在 . 解如图， 观察其函数图象，得 7 7 1.2.21.2.2. . 单侧极限单侧极限 定义定义1.2.2 1.2.2 设函数设函数在点右（或左）邻域内有定义 , （或 函数如果当x从的右侧（左侧）充分接近时， 的值任意地接近常数A, 则称在处的右（或左）函数 记作 极限为A, 有时记为 （或 8 8 例例1.2.6.1.2.6. 设函数设函数 讨论 时的左右极限是否存在 . 解: 如图 9 9 例1.2.7 设函数求 解如图， 和 由这两个例
4、子，得一般地 定理1.2.1 . 1010 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.31.2.3、自变量趋于无穷大时函数的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限 例1.1.8 1111 一般地，一般地， 定义定义1.2.3 1.2.3 设函数设函数对大于（或小于）某个数X的x都 （或 记作 的极限为A, 函数有定义， 如果当x无限地趋向时，（或 的值任意地接近常数A, 则称当（或 时函数 1212 又设函数又设函数对绝对值大于某个正数X的x都有定义， 记作 的极限为A, 函数如果当|x|无限地趋向时，的值任意地接近常数A, 则称当时函数 于是在例1.1.8中 1313 定理1.2.2 . 例1
5、.1.9 设 求 解如图 所以不存在 。 1414 有一类特别地、重要的极限 定义1 .2.4. 若 时 , 函数则称函数 为 时的无穷小 . 例1.1.10 因为 故当时函数 为无穷小 . 例1.1.11 因为 故当时函数为无穷小 . 1515 例1.1.12 如图 故当时函数为无穷小 . 当时函数接近于0 ， 所以 但当时函数不是无穷小 . 注1: 无穷小与很小的数。 注2: 无穷小是与x的变化过程有关。 1616 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.2.41.2.4、无穷极限、无穷极限 例1.1.13 y值不断增大， 且有一种趋势，趋向正无穷大 。 此时极限并不存在， 记为 y值不断
6、减小，且有一种趋势， 趋向负无穷大 。 此时极限并不存在， 记为 1717 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.2.51.2.5 设函数设函数在点的某去心邻域内有定义 , 或 记作 则称当趋向于正无穷大（或负无穷大）时函数 变得任意大， 函数如果当x充分接近时， 如果上述定义中将(或叙述成则称 当x趋近时函数趋向于无穷大，记作 1818 注1: 上述中的极限称为无穷极限. 注2: 无穷大是与x的变化过程有关。 无穷极限并不代表 极限存在。 注3: 和无穷小类似，不要把无穷大与很大的数(如一 亿)混淆. 注4: 无穷大一定无界, 反之不然 . 1919 机动 目录 上页 下页 返回
7、结束 例1.1.14 求 解 如图 所以 2020 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.1.14 求 解 如图 所以不存在。 2121 定理1.2.4(局部有界性 ） 若则存在 1.2.5 极限的性质 最后无穷大与无穷小有如下的关系 定理1.2.3 在自变量的同一极限变化过程中, 如果函数 为无穷大， 则 为无穷小； 反之如果为无穷小， 则 为无穷大。 的一个 邻域， 使得函数 在该邻域里有界 。 定理1.2.5(唯一性） 若存在， 则极限唯一 。 在自变量的其他极限变化过程中,也成立。 2222 思考与练习 1. 若极限存在, 2. 设函数 且 存在, 则 是否一定有 ？ 作业 P46： 5 2323
