1、4频数605030302010（）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求的估计值；（）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160”.求的估计值；【答案】（）0.55；（）0.3.【解析】（）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为，故P(A)的估计值为0.55.（）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为，故P(B)的估计值为0.3.【总结提升】1.概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随
2、机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率3求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点 求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数【变式探究】1（2020黑龙江哈尔滨三中高一开学考试）将，两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：投篮次数102030405060708090100投中次数7152330384553606875投中频率投中次数8142332354352617080
3、投中频率下面有三个推断：当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是；随着投篮次数的增加，运动员投中频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计运动员投中的概率是；当投篮达到200次时，运动员投中次数一定为160次.其中合理的是（ ）.ABCD【答案】B【解析】：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的频率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故推断不合理；随着投篮次数增加，A运动员投中的频率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故推断合理；频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮200次时，只能估计投中160次，而不能确定一定是160
4、次，故不合理；故选：B.2.(2019沈阳模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【答案】【解析】 (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同
5、时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理，可得顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大考点三 ：互斥事件与对立事件的概率【典例5】（2020海南省高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）A6
6、2%B56%C46%D42%【答案】C【解析】记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，则，所以所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.故选：C.【典例6】（多选题）中国篮球职业联赛（）中，某男篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数记该运动员在一次投篮中，投中两分球为事件，投中三分球为事件，没投中为事件，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（ ）ABCD【答案】ABC【解析】由题意可知，事件与事件为对立事件，且
7、事件、互斥，.故选：ABC.【规律方法】1. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率2. 判断事件关系时要注意(1)利用集合观点判断事件关系；(2)可以写出所有试验结果，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判断所求事件的关系3对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；第三，两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的4对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且
8、仅有一个发生的两个事件，事件的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集中由事件所含结果组成集合的补集，即，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.事件的和记作，表示事件至少有一个发生.当为互斥事件时，事件是由“发生而不发生”以及“发生而不发生”构成的.当计算事件的概率比较困难时，有时计算它的对立事件的概率则要容易些，为此有.这不仅体现逆向思维，同时对培养思维的灵活性是非常有益的.求某些稍复杂的事件的概率时，通常有两种方法：一是将所求事件的概率化成一些彼此互斥的事件的概率的和；二是先去求此事件的对立事件的概率.对于个互斥事件，其加法公式为.分类讨论思想是解决互斥事件
9、有一个发生的概率的一个重要的指导思想.【变式探究】1. （2018全国高考真题（文）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3B0.4C0.6D0.7【答案】B【解析】设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，则因为所以，故选B.2.（多选题）（2020烟台市教育科学研究院高一期末）已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（ ）A
10、事件发生的概率为B事件发生的概率为C事件发生的概率为D从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为【答案】BC【解析】由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共包含个基本事件；“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共个基本事件；“抽取的两个小球标号之积大于8”包含的基本事件有：，共个基本事件；即事件是事件的子事件；因此事件发生的概率为，故A错；事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为；故B正确；事件包含的基本事件个数为个，所以事件发生的概率为，故C正确；从甲罐中抽到标号为2的小球，包含的基本事件为：，共个基本事件，故从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为，即D错误.故选：BC.【特别提醒】求复杂的互斥事件的概率的方法(1)直接法(2)间接法(正难则反)考点四 ：简单的古典概型【典例7】（2020全国高考真题（文）设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取
