1、二次函数知识点 （一） 、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如 2 yaxbxc（abc， ，是常数，0a）的函 数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项 系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2. 二次函数 2 yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc， ，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 （二） 、二次函数 2 yaxbxc的性质 1. 当0a时， 抛物线开口向上， 对称轴为 2 b x a ， 顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ， 当 2 b x a 时，y随x的
2、增大而减小；当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y有最小值 2 4 4 acb a 2. 当0a时，抛物线开口向下，对称轴为 2 b x a ，顶点坐标为 2 4 24 bacb aa ，当 2 b x a 时，y随x的增大而增大；当 2 b x a 时，y随x的增 大而减小；当 2 b x a 时，y有最大值 2 4 4 acb a （三） 、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0a） ； 3. 两根式： 12()()ya xxxx（0a，1x，2x是
3、抛物线与x轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函 数都可以写成交点式， 只有抛物线与x轴有交点，即 2 40bac时，抛物线 的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 练习 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量 )( ) A.B.C.D. 2. 函数 y=x 2-2x+3的图象的顶点坐标是 ( ) A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1 ，2) D.(0，3) 3. 抛物线 y=2(x-3) 2 的顶点在 ( ) A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是 (
4、) A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是 () A. ab0，c0 B. ab0 ，c0 C. ab0 D. ab0 ，c4，那么 AB的长是 ( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数 y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的 图象只可能是 ( ) 9、 抛物线 3) 2( 2 xy 的对称轴是（） A. 直线3xB. 直线3xC. 直线2xD. 直线2x 10.把抛物线的图象向左平移 2 个单位，再向上平移3 个单位，
5、所得的抛物线的函数关系式是( ) A.B. C.D. 二、填空题 1、下列函数中，哪些是二次函数？ （1）0 2 xy（2） 2 )1()2)(2(xxxy （3） x xy 1 2 （4）32 2 xxy 2、二次函数5)3(2 2 xy的图象开口方向，顶点坐标是，对称轴 是； 3、当 k 为何值时，函数1) 1( 2 kk xky为二次函数？画出其函数的图象 3、函数)32(xxy，当x为时，函数的最大值是； 4、二次函数xxy2 2 12 ，当x时，0y; 且 y 随x的增大而减 小； 5. 二次函数 y=x 2-2x+1的对称轴方程是 _. 6. 若将二次函数 y=x 2-2x+3配方
6、为 y=(x-h)2+k的形式，则 y=_. 7. 若抛物线 y=x 2-2x-3与 x 轴分别交于 A、B 两点，则 AB的长为 _. 8. 抛物线y=x 2+bx+c，经过 A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为 _. 9、二次函数xxy2 2 的对称轴是 10 二次函数122 2 xxy的图象的顶点是，当 x 时， y 随 x 的增大而 减小 11 抛物线64 2 xaxy的顶点横坐标是-2，则a= 12、抛物线cxaxy2 2 的顶点是)1, 3 1 (，则a、c 的值是多少？ 13已知抛物线y= 2 1 x 2 x 2 5 （）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
7、； （）求抛物线与x 轴、 y 轴的交点坐标； （）画出草图 （）观察草图，指出x 为何值时， y0,y 0,y 0. 14、 （2010 年宁波市）如图，已知二次函数cbxxy 2 2 1 的图象经过A（2，0） 、B（0， 6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点 C，求点 C的坐标 1.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后， 公司经历了从亏损到赢利的过程， 下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与 t 之间的关系） . （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与销 售时间 t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？
