1、第十一章 曲线积分与曲面积分在第十章中，我们已经把积分的积分域从数轴上的区间推广到了平面上的区域和空间中的区域. 本章还将进一步把积分的积分域推广到平面和空间中的一段曲线或一片曲面的情形. 相应地称为曲线积分与曲面积分，它是多元函数积分学的又一重要内容. 本章将介绍曲线积分与曲面积分的概念及其计算方法. 以及沟通上述几类积分内在联系的几个重要公式：格林公式、奥-高公式和斯托克斯公式.第一节 第一类曲线积分分布图示 引例 曲线形构件的质量 第一类曲线积分的概念 第一类曲线积分的性质 第一类曲线积分的物理意义 第一类曲线积分的计算 例1 例2 例3 例4 例5 例6 内容小结 课堂练习 习题111
2、 返回内容要点 一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是面内的一段曲线（图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质性质1 设，为常数，则；性质2设由和两段光滑曲线组成(记为 )，则注： 若曲线可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称是分段光滑的，在以后的讨论中总假定是光滑的或分段光滑的.性质3 设在有，则 性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一点，使 其中是曲线的长度. 三、第一类曲线积分的计算： (1.10)如果曲线的方程为 ，则 (1.11)如果曲线的方程为 ，则 (1.12)如果曲线的方程为 ，则例题选讲第一类
3、曲线积分的计算例1（E01）计算曲线积分其中L是中心在、半径为的上半圆周（图11-1-2）.解 由于上半圆周的参数方程为所以 例2（E02）计算半径为R, 中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I (设线密度).解 取坐标系如图(图10-1-3),则为计算方便, 利用的参数方程故 例3 计算 其中是抛物线上点与点之间的一段弧.解 如图(见系统演示), 的方程因此例4 计算, 其中积分弧段是由折线组成, 而 解 在上，所以 在上，所以从而例5（E03）计算 其中L为双纽线（图10-1-4）的弧.解 双纽线的极坐标方程为 用隐函数求导得 所以 例6（E04）求 其中为球面被平面所截得的圆周.解 由对称性,知所以其中为球面的大圆周长.课堂练习1.计算曲线积分, 其中为螺旋线上相应于t从0到的一段弧.2.有一段铁丝成半圆形其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标, 求其质量.
