1、联赛导引(一) 集合 函数 不等式一,基础知识导引,集合1,集合的性质 集合中的元素是确实的,互异的,无序的.2,集合的表示方法 (1)列举法:如1,2,3,4 (2)描述法:如.3,集合的元素个数 有限集合A的元素个数记作,我们有下面的容斥原理(1),(2)4,最小数原理 (1)设M是正整数集的一个非空子集,则M中必有最小数 (2)设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最小数.函数1,函数的图象(1)函数的图象的平移变换与伸缩变换: 平移变换: 伸缩变换: (A0,B0)(2)函数的图象的对称变换与翻折变换对称变换:通过点对称进行研究,翻折变换:; 1,函数的性质 (1)奇偶性:定义域
2、关于原点对称,且(偶)或(奇) (2)单调性:(增)或(减) (3)周期性:对于,有,2,函数的最大值与最小值(1)对于定义域D内的任意,存在,使得,则; 对于定义域D内的任意,存在,使得,则(2)在闭区间内连续,则必有最大值与最小值.(3) 恒成立或.,不等式(1),均幂不等式链设,则(调和平均)(几何平均)(算术平均)(平方平均)(次方平均,),等号成立的条件是.(2),柯西不等式设与,则等号成立的条件是.(3),排序不等式设有两个有序实数组:;.是1,2,n的任一排列,则有 + (同序和)+ (乱序和)+ (反序和) 当且仅当=或=时,等号成立.二,解题思想与方法导引.1,函数与方程思想
3、 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,转化 5,换元法 6,配方法 7,判别式法 8,局部调整法.三,习题导引选择题1,设全集,集合,那么等于A, B,(2,3) C,(2,3) D,2,函数的单调递增区间是A, B, C, D,3,若非空集合,则能使成立的所有的集合是A, B, C, D,4,设是一个函数,使得对所有整数和,都有和 ,则等于A,26 B,27 C,52 D,535,函数A,是偶函数但不是奇函数 B,是奇函数但不是偶函数C,既是偶函数又是奇函数 D,既不是偶函数也不是奇函数6,若对任何,不等式恒成立,则一定有A, B, C, D,填空题7,一次函数的图象经过点(10,1
4、3),它与轴的交点为,与轴的交点为,其中是质数,是正整数,则满足条件的所有一次函数为 .8,函数在区间上的最大值 .9,已知是定义域在上的音调递增函数,且满足,则不等式的解集是 .10,设满足,则的最小值为 .11,已知,.若,则实数的取值范围是 .12,使不等式对一切恒成立的负数的取值范围是 .解答题13,是否存在实数,使函数的定义域为,值域为. 若存在,求的值;若不存在,说明理由.14,设二次函数()满足条件: (1)当时,且; (2)当时,; (3)在R上的最小值为0.求最大的,使得存在,只要,就有.15,求方程的正整数解.四,解答导引1,B M表示直线上除去点(2,3)的部分,表示点(
5、2,3)和除去直线的部分,表示直线上的点集,所以,表示的点集仅有点(2,3),即.2,A 的定义域为,而在上单调递减,在上单调递增,所以,在上单调递增,在上单调递减.3,B 由知,所以,解得.4,A 令,得,令,得,所以.5,A ,.有6,D 由,得,于是,又,有,得.由,得,有,.7,或. 由题意得,有.只能是11,23. 当11时,=143; 当23时,23.8,. 数形结合,分类讨论.9,. 由及单调性,知,得.10,. ,要最小,则,尽量大,尽量小, 于是,得,这时.11,. 可得,设,要使,只需,在(1,3)上的图象均在轴的下方,则,由此可解得结果.12,. 原不等式可化为,由,知当
6、时,函数有最大值,于是,解得或(舍去).13,解:,对称轴是.(1)当时,在上是减函数, 有,得;(2)当时,有,得;(3)当时,有,得;(4)当时,在上是增函数,有,得.于是存在,使的定义域为,值域为.14,解:由,可知二次函数的对称轴为,又由(3)知,二次函数的开口向上,即,于是可设 ()由(1)知,由(2)知,所以,得,有,所以得.因为的图象开口向上,而的图象是由的图象平移上,使得的图象在的图象的下方,且最大,则1和应当是关于的方程 的两个根 令代入方程,得或.当时,方程的解为,这与矛盾!当时,方程的解为,所以.又当时,对任意,恒有 ,即也就是,所以,的最大值为9.15,解:由对称性,不妨设,则, 有,得. 又是正整数,所以1或2或3.(1)若,无正整数解,(2)若,则,得,是正整数,且,于是.当时,(舍去);当时,;当时,;当,(舍去).(3)若,则,得, 是正整数,且,于是或4, 经检验,这时方程无正整数解,所以原方程的正整数解为或(2,5,10).参考题:是实数,对任意三个实数存在一个以为三边长的三角形,求的取值范围.(答案:)
