1、2.2.3 向量数乘运算及其几何意义问题提出1.如何求作两个非零向量的和向量、差向量？2.相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如33333=53=15.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？这需要从理论上进行探究. abaabba+ba- b探究一：向量的数乘运算及其几何意义思考1：已知非零向量a，如何求作向量aaa和（a）（a） （a）？aaOaaABCaaaOMNPaaa （a）（a）（a）思考2：向量aaa和（a）（a）（a）分别如何简化其表示形式？ aaa记为3a，（a）（a）（a）记为3a.思考3：向量3a和3a与向量a的大小和方向有什么关系？aaOaaABCaaaOMNP
2、思考4：设a为非零向量，那么 a和 a还是向量吗？它们分别与向量a有什么关系？aaa思考5： 一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作a，该向量的长度与方向与向量a有什么关系？（1）|a|=|a|；（2）0时,a与a方向相同； 0时,a与a方向相反； =0时,a =0.思考6：如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？ABCDM探究二:向量的数乘运算性质 思考1：你认为2（5a），2a2b， a可分别转化为什么运算？-2 (5a)= -10a ；2a 2b = 2(a+b)； (3 )a =3a a.思考2：一般地，设，
3、为实数，则(a)，() a，(ab)分别等于什么？(a)=() a ；() a =a a； (a b)=ab.思考3：对于向量a（a0）和b，若存在实数，使b=a，则向量a与b的方向有什么关系？思考4：若向量a（a0）与b共线，则一定存在实数，使b=a成立吗？思考5：综上可得向量共线定理：向量a（a0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a. 若a0，上述定理成立吗？思考6：若存在实数，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？思考7：如图，若P为AB的中点，则 与 、 的关系如何？ABPO思考8：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、x、y，(xayb
4、）可转化为什么运算？ (xayb）=xayb. 理论迁移 例1 计算（1）（3）4a； （2）3（ab）2（ab）a；（3）（2a3bc）（3a2bc）.2b3babO例2 如图，已知任意两个非零向量a， b，试作 =ab， =a2b， =a3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abABC例3 如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且 =a， =b，试用a,b表示向量 、 、 、 MA B D Cab小结作业1.实数与向量可以相乘，其积仍是向量，但实数与向量不能相加、相减.实数除以向量没有意义，向量除以非零实数就是数乘向量.2.若a=0，则可能有=0，也可能有a=0.3.向量的数乘运算律，不是规定，而是可以证明的结论.向量共线定理是平面几何中证明三点共线，直线平行，线段数量关系的理论依据.作业：P90练习：3，4，5，6.同学们来学校和回家的路上要注意安全同学们来学校和回家的路上要注意安全
