1、三角函数章概览1本章的知识结构和研究脉络是怎样的？本章的知识结构如下图所示：三角函数是特殊的函数，与指数函数、对数函数、幂函数等并列，是函数的下位知识，因此本章是按照研究一类函数的路径展开的：分析实际问题，抽象得出概念、绘制函数图象、探索发现性质、函数应用等但是三角函数内容较多，关系较其他函数复杂，与其他函数相比，具体的路径又有变化首先在形成定义之前，需要将角的范围从0360拓展到任意角，并引入弧度制将角的大小用实数表示做好这些铺垫，才能学习三角函数的概念第二，三角函数的概念及其性质三角函数种类较多，高中要学习正弦函数、余弦函数和正切函数而且三角函数的定义不同于其他函数，是借助于单位圆给出的，
2、是几何定义因此借助于单位圆的几何性质可以找到三角函数的多重性质，包括：同角三角函数关系，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推论可见这些性质是圆的几何性质的代数化第三，三角函数的图象与性质它不同于第二点中所述的三角函数的性质，是函数变化过程中不变的规律，包括单调性、奇偶性（对称性）、最大（小）值、周期性等等第四，掌握了三角函数之后，就可以应用它解决问题了按照如下的路径展开：事实（周期性现象）角与弧度数学对象（三角函数的定义）图象与性质（周期性、单调性、奇偶性、最大值与最小值等）三角恒等变换联系应用”其中，“角与弧度”是刻画圆周运动的预备知识，而“三角恒等变换”是三角函数的特殊研究内容
3、2依据课标，本章的定位、核心素养、思想方法、育人价值是怎样的？在课标中“三角函数”属于必修主题二“函数”中的内容，函数是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，而三角函数是用来刻画现实世界中周期变化现象，是一类最典型的周期函数本章是多种数学素养培养的载体，具体可以用下表表示：核心素养载 体数学抽象任意角、弧度制、三角函数概念的形成数学建模三角函数概念的形成、函数y=Asin （x+）、三角函数的应用直观想象诱导公式、三角函数的图象与性质、函数y=Asin （x+）逻辑推理诱导公式、三角恒等变换数学运算诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换本章蕴含着丰富的数学思想方法，特别
4、是分类讨论、数形结合和化归转化，等在研究过程中，充分应用了类比、联系、推广、化归等数学研究中的常用方法比如，通过类比长度、重量的不同度量单位引入弧度制；联系一般函数性质的研究思路引出研究三角函数性质的思路；在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决中体现了数形结合思想的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法；研究函数y=Asin（x+）的图象，按照ysin xysin（x+）ysin（x+）y=Asin（x+）的线索展开，体现了从简单到
5、复杂，由特殊到一般的思想方法三角函数是学生在高中阶段系统学习的最后一个基本初等函数，通过本章的学习，学生能进一步理解函数是刻画现实世界规律的重要模型，能巩固并丰富研究函数的方法，提升学生的数学思维水平3本章知识与其他知识之间有什么联系？怎样把握教学的深度和广度？首先，三角函数是刻画周期现象的数学模型，那么它与初中学习的锐角三角函数是什么关系？锐角三角函数，是用直角三角形边长的比来刻画的，它与“解三角形”有直接关系而任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系但是按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦、余弦、正切，与按本章三角函数定义求得的值相等第二，三角函数自身的
6、内容，在本章将完整地学习，并且要达到对三角函数概念本质的理解，准确掌握图象、性质和公式，这样在后续其他主题中才能灵活地应用第三，三角函数与其他学科有紧密联系由于周期现象在现实中广泛存在，例如单摆运动、弹簧振子、圆周运动、交变电流、音乐、潮汐、波浪、四季变化、生物钟等，这些是物理、地理、生物、天文等其他学科研究的对象，因此教学中应充分利用学生的生活经验以及其他学科的知识，使三角函数的学习建立在丰富的背景上从学生的实际来看，由于可能会缺乏某些学科知识，因此在教学中要注意借助信息技术形象化地说明周期变化4本章的学习目标有哪些？根据课标，本章的学习目标如下：（1）角与弧度了解任意角的概念和弧度制，能进
7、行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性（2）三角函数概念和性质借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、奇偶性借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公式（，2的正弦、余弦、正切）借助图象理解正弦函数在0，2上、余弦函数在-，上、正切函数在（-2，2）上的性质结合具体实例，了解y = A sin（x+）的实际意义；能借助图象理解参数，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响（3）同角三角函数的基本关系式理解同角三角函数的基本关系式：sin2x + cos2x = 1，（4）三角恒等变换经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公
8、式的意义能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，不要求记忆这三组公式）（5）三角函数应用会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型5三角函数是刻画哪一类变化规律的？其定义的形成有什么改变？三角函数是刻画事物周期变化规律的数学模型大纲版的教科书中，任意角的三角函数是通过终边上点的坐标比定义的2003版课标的教科书中，三角函数的概念是由锐角三角函数的定义推广得到的2017版课标的教科书中，是直接从建立周期现象的数学模型
9、出发，利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数并且是直接利用圆周运动进行定义的，突出了三角函数的本质首先，圆周运动是周期性变化现象的典型代表，选择单位圆上点的圆周运动作为载体是不失一般性的，这是一个数学抽象的过程；第二，用单位圆上运动的点的坐标定义正弦函数、余弦函数，清楚地表明了正弦函数、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明了这两个函数之间的关系；第三，如果是弧度数，即xOP= rad，那么正弦函数、余弦函数就是关于任意实数的函数，这时的自变量和函数值都是实数，这就与函数的一般概念完全一致了6单位圆在这一章的研究中起着怎样的作用？在任意角、任意角的三角函数、三角函数的性质
10、（周期性，单调性、最大值、最小值等）、同角三角函数的关系式、诱导公式、三角函数的图象、两角差的余弦公式等，都可以借助单位圆得到认识，这也是人们把三角函数称作“圆函数”的原因首先，在引进弧度制时就渗透了单位圆，并在讲三角函数概念之前给出单位圆概念，然后直接由单位圆引出三角函数定义接着，三角函数诱导公式是圆的特殊对称性的代数化先利用单位圆的对称性发现新的角，然后利用单位圆上对称点的坐标的关系来发现诱导公式，因此诱导公式二公式六都与单位圆上的对称图形（即角的终边的对称性）联系在一起，从而使这五组公式形成一个有机整体再者，两角差的余弦公式是利用单位圆的旋转对称性（任意一个圆绕着圆心旋转任意角后都与原来
11、的圆重合的性质）进行推导首先以单位圆的圆心为顶点、x轴的非负半轴为始边画出角，然后根据三角函数的定义写出角，的始边和终边与单位圆的交点A，P1，A1，P的坐标，接下来，利用圆的旋转对称性，得到等量关系：AP=A1P1，最后根据两点间的距离公式得到两角差的余弦公式可见，以单位圆的几何直观为纽带，将三角恒等变换与整个三角函数内容融为一体7本章中众多公式之间的关系是怎样的？可以说本章中其他公式都是两角差的余弦公式的推论如图所示（1）从两角差的余弦公式，通过整体代换，可以推导出两角和的余弦公式，进而得到两角和与差的正弦、正切公式（2）在两角和的正弦、余弦和正切公式中，令角，相等，可以得到相应的二倍角公
12、式，以及这些公式的变式（3）在两角和与差的公式中，给角或赋特值，就可以得到诱导公式，即诱导公式是特殊的两角和的正弦、余弦、正切公式（4）从两角差的余弦公式中，令=可以得到同角三角函数关系可见，和角、差角、倍角的三角函数及同角三角函数关系、诱导公式之间存在紧密的内在联系，要善于运用数学内在的逻辑关系展开探索发现，比如你可以沿着上述的知识结构图进一步探索，还可以拓展研究思路和办法，比如对它们进行运算，一定会有意外的惊喜这是学数学的方法之一，也是乐趣所在8与2003年课标下的教科书相比，本章内容主要有哪些变化？与按照2003年颁布的课程标准编写的教科书相比，本章内容主要有如下一些变化：（1）弧度制：
13、强调引入弧度制的必要性，加强了用初中已学的弧长与半径的关系解释弧度制定义的合理性；（2）三角函数的定义：直接从建立周期现象的数学模型出发，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，然后再建立与锐角三角函数的联系； （3）正弦线、余弦线和正切线：根据课程标准（2017年版）的设置，删除正弦线、余弦线和正切线；（4）诱导公式：从单位圆关于原点、坐标轴、直线y=x等的对称性出发探究诱导公式，即通过把圆的对称性“代数化”，获得诱导公式；（5）正弦函数的图象：体现函数图象与三角函数定义之间内在的逻辑联系图象是函数的一种表示法，先根据定义画出任意一点，掌握了任意一点的作法原理后，通过选择具体的、足够多的点进行描点
14、，最后借助技术描任意多的点，连续成线画三角函数的图象，这里加强了信息技术的应用；（6）三角恒等变换：一以贯之地强调单位圆的作用，两角差的余弦公式利用圆的旋转对称性导出；（7）函数y=Asin（x+）：为体现数学建模的过程，在本节的开始先借助筒车运动的实际背景探究匀速圆周运动的函数模型，体现函数y=Asin（x+）的现实背景，然后借助信息技术研究参数A，对函数y=Asin（x+）图象的影响，最后以摩天轮为实际背景，应用这个模型解决典型的周期性变化的实际问题； （8）三角函数的应用：体现三角函数应用的层次性，有关三角函数应用的问题大致分成三类：第一类是匀速圆周运动的问题，如筒车匀速圆周运动的问题；
15、第二类是弹簧振子、交变电流等物理学中的周期性现象的刻画；第三类是现实生活中仅在一定范围内呈现出近似于周期变化的问题，如温度随时间呈周期性变化的问题，港口海水深度随时间呈周期性变化的问题 与原教科书一样，本章仍然强调三角函数作为刻画现实世界中一类周期变化现象的数学模型，借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等，强调“削枝强干”因此，教学中应把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上9数学建模与数学应用的差异是什么？以“函数y=Asin （x+）”为例解释数学建模是对于所研究的变化现象的规律是什么还不确定的情况下，
16、通过探索，发现变量之间的关系，并将实际问题转化为数学问题研究，再将研究结果返回到实践中进行检验，如果与实际相符合，那么所求关系，即为针对此类问题建立的数学模型，否则进行校正修改，依次进行前述的过程，直到形成恰当的数学模型本章“5.6函数y=Asin （x+）”就是典型的数学建模范例即数学建模遵循如下的流程：5.6函数 y=Asin（x+）1本节课的研究路径是怎样的？实际问题（水车模型）数学模型（函数 y=Asin（x+）函数 y=Asin（x+）的图象规则应用模型应用2本节课的定位是怎样的？对函数 y=Asin（x+）的研究是怎样展开的？本节名称“函数 y=Asin（x+）”就明确给出了定位：
17、研究一个新的函数 y=Asin（x+），它与三角函数、指数对数函数等地位等同的函数，而不是三角函数的一个附属品函数是刻画现实世界变化规律的重要的数学模型，本节课又选择了水车这个实际问题作为背景，更突显了函数的这一特点，因此，这节课是数学建模的一个典范基于这样的定位，我们要按照研究函数的系统方法进行研究，其途径如1所述但是因为在前面已经渗透了对函数 y=Asin（x+）性质的研究，因此本节课重点研究函数的图象，及模型的应用3本节课中“水车问题”与“摩天轮问题”定位有何不同？解决办法有什么联系？“水车问题”是建立数学模型的实际背景，水车的运动规律有怎样的函数刻画，学生可能有所感觉与三角函数有关，但
18、解析式却是未知的，因此在探索过程中只能引导学生寻找“与盛水桶运动有关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？”然后利用三角函数的定义，找到变量之间的关系，建立函数模型“摩天轮问题”是函数模型建立后的应用，因此对其分析重在化归与转化，即先分析“摩天轮上的座舱运动可以近似地看做质点在圆周上作匀速圆周旋转”吗？经过比较，认为可以，于是确定“摩天轮问题”可以用函数 y=Asin（x+）刻画，是该函数模型的应用接下来根据三个参数A，的意义，结合情境确定它们的值即可可见两个问题的定位不一样，解法不同，前者是建模的基础，后者是模型的应用4之前研究过含有三个参数的函数吗？是怎样研究的？对本节课的研究有什么启示？初中
19、学习过的二次函数y=ax+bx+c（a0）对二次函数的研究，具体的操作办法是“控制变量法”具体的研究路径是：令h=k=0研究a对函数y=ax图象的影响，从特殊到一般进行归纳：令a=2，3等画出函数y=2x，y=3x等的图象归纳得出y=ax（a1）图象特征；类似地，归纳得出y=ax（a1且a0）图象特征再控制变量，令k=0，研究h对函数y=a（xh）图象的影响，取a=2，归纳出函数y=a（xh）的图象特征 类似地，研究k对函数y=a（xh）+k图象的影响，可以采用与上面类似的办法这个研究经历了：特殊一般再特殊一般这样的过程函数 y=Asin（x+）中也含有三个参数，因此可以采用类似的“控制变量法
20、”这种梳理已有知识经验，确定新问题的解决办法的思路，也体现在数学学习中要注重应用一类问题的研究方法的意识和能力5在“水车问题”中的物理意义是什么？如何利用其物理意义，判断函数 y=sinx与函数 y=sin（x+）上对应点的位置关系？在“水车问题”中表示筒车运动的起点如图（1）（1）先以=为例解释（1）在半径为1的水车上，筒车以单位角速度运动，如果动点P0以Q0为起点，对应的函数关系为y=sin x从行程的角度来理解，此时，点P的运动速度为1rad/s，因此x s走过的路程为x rad，x s后运动到点P，它的纵坐标y=sinx，于是就得到正弦函数y=sinx的图象的点F（x，y）（2）在半径
21、为1的水车上，筒车以单位角速度运动，将起点Q0绕O1旋转到Q1，让动点P1以Q1为起点，按照与P0一样的方式运动，得到的函数是ysin（x）按照行程问题来思考此时运动的速度没有改变，还是为1rad/s，只是起点变了，从点Q1按照逆时针方向运动到点P，路程变为（x-），因此需要的时间为：（x-）所以对应的函数ysin（x）图象上点G的坐标是（x-，y）即将点F向左平移个单位得到点G（3）根据两个函数图象上任意点的变化关系，可知从函数y=sin x的图象得到函数ysin（x）的图象：只需要将函数y=sin x的图象向左平移个单位即可（4）对于函数y=sin x的图象得到函数ysin（x）的图象之间
22、的关系可以类比理解6在“水车问题”中的物理意义是什么？如何利用其物理意义，判断函数y=sin（x+）与函数 y=sin（x+）上对应点的位置关系？在“水车问题”中表示筒车运动的角速度如图（2），以=2为例解释（2）（1）在半径为1的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度=1运动，对应的函数关系是ysin（x）假设从点Q1按照逆时针方向运动到点P，需要的时间是x，那么对应函数图象上的点G（x，y）（2）在半径为1的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度=2运动，对应的函数关系是ysin（2x）按照行程问题来思考此时运动的速度为2rad/s，是原来的2倍运动的起点和终点不变，依然是从点Q1按照逆时针方向运
23、动到点P，路程没有改变，因此需要的时间变为原来的，即为：，因此对应函数图象ysin（2x）上的点K（，y）即将点G的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到点K（3）根据两个函数图象上任意点的变化关系，可知从函数y=sin （x）的图象得到函数ysin（2x）的图象：只需要将函数y=sin （x）的图象上点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变即可（4）对于函数y=sin （x）的图象得到函数ysin（x）的图象之间的关系可以类比理解7在“水车问题”中A的物理意义是什么？如何利用其物理意义，判断函数y=sin（x+）与函数 y=Asin（x+）上对应点的位置关系？在“水车问题”中A表示筒车的半径如图（3）
24、，以A=2为例解释（3）（1）在半径为1的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度=2运动，对应的函数关系是ysin（2x）假设从点Q1按照逆时针方向运动到点P，需要的时间是x，那么对应函数图象上的点K（x，y）（2）在半径为2的水车上，筒车以Q1为起点，以角速度=2运动，对应的函数关系是y2sin（2x）假设从点Q1按照逆时针方向运动，运动时间为x，因为与（1）中的运动具有相同的角速度，所以由图（3）可知，筒车运动到点T，那么对应函数图象上的点N（x，2y）即将点K的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍得到点N（3）根据两个函数图象上任意点的变化关系，可知从函数y=sin （2x）的图象得到函数y2
25、sin（2x）的图象：只需要将函数y=sin （2x）的图象上点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍即可（4）对于函数y=sin （2x）的图象得到函数yAsin（2x）的图象之间的关系可以类比理解8借助筒车模型，如何理解从函数y=sinx的图象变换到函数y=sin（x+）的图象的平移单位是？（1）根据，的物理意义可知两个函数描述的运动分别是：（1）函数y=sinx描述的筒1运动是以水平位置Q0为起点，角速度为函数y=sin（x+）描述的筒2运动是以Q1为起点，角速度为（2）从行程问题的角度分析筒1与筒2的运动速度相等，起点不同，若终点都是点P，那么筒2的路程比筒车1 的路程少|个单位如果筒1
26、从点Q0运动点P所用时间为x，那么筒2从点Q1运动点P所用时间应该少：即如果在函数y=sinx的图象上有一点M（x，y），那么在函数图象y=sin（x+）图象上有一点N（x-，y）即点N是由点M向左平移个单位得到的9“5.6 函数 y=Asin（x+）”教学建议本节是典型的数学建模课，因此教学过程要充分体现数学建模的思想方法，提升学生的数学建模核心素养首先是实际问题（水车问题）抽象成数学问题：将水车看做圆，将筒看做质点并最终抽象成一个数学问题，提升学生数学抽象核心素养第二，根据三角函数定义建立变量之间的关系三角函数定义是依托单位圆形成的，水车是抽象出来的是一个一般的圆，要注重建立二者之间的联系
27、如果从几何的角度建立变量之间的关系，变量取值范围受限，形成的模型表达式一致，但过程是不严谨的教学中要通过比较引导学生提升逻辑推理核心素养第三步，按照函数研究的系统方法对函数y=sin（x+）进行研究不再赘述在研究函数图象的过程中，要注重直观化，要充分利用水车问题，探索清楚一对点之间的关系是基础然后由具体上升到一般在这个过程中提升学生的直观想象核心素养此外要理解例题的定位例1是第三步形成的函数图象变换规则的应用，并在此基础上形成绘制函数y=sin（x+）图象草图的“五点法”例2则是模型的应用5.7三角函数的应用1本节课的研究路径是怎样的？物理中的应用生活中的应用物理中的弹簧振子问题、交变电流问题
28、中变量之间的关系都可以用函数y=sin（x+）关系表示生活中的问题，温度随时间的变化问题，港口水深随时间的变化问题，其中的变量之间的关系可以近似地用函数y=sin（x+）关系表示可见两类应用是不同的2本节课的定位是什么？如何实施教学？本节课的定位与“5.6 函数y=sin（x+）”中“摩天轮问题”的定位是一样的，因此可以采取相同的方式实施教学先分析这些实例中变量的关系符合或者可以近似地看做质点在圆周上作匀速圆周旋转吗？如果可以利用函数y=sin（x+）表示，那么根据三个参数A，的意义，结合情境确定它们的值即可建立函数关系之后再利用它解决具体问题当数学问题的解转化到实际情境中，回答实际问题时，要注意结合情境进行必要的调整比如港口水深随时间的变化问题中确定轮船进出港的时间，要根据实际情况提出合理的建议3“5.7三角函数的应用”教学建议首先要总结“摩天轮问题”的求解程序及解决实际问题的经验，然后利用已有知识经验解决本节中的实际问题，并进一步完善求解程序，丰富解决实际问题的经验在这个过程中提升学生的数学运算素养数学应用问题的解决，通常不需要经历如上复杂的流程，甚至，有的应用问题能根据其特征判断出应该应用哪个函数来解决，于是直接确定函数中系数的值即可
