1、1线性代数线性代数XIANXINGDAISHU重难知识点与常考重难知识点与常考试题之经典汇总试题之经典汇总2线线 性性 代代 数数第第一一部部分分 知知识识点点整整理理一一 行行列列式式1，n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2，代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3，代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM 4，设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21( 1)n nDD ；将D顺时针或
2、逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22( 1)n nDD ；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5，行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n ；、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积；、 和 ：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n ；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、( 1)m nCAOAA BBOBC 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6，对于n阶行列式A，恒有：1( 1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；7，
3、证明0A 的方法：、AA ；、反证法；、构造齐次方程组0Ax ，证明其有非零解；、利用秩，证明( )r An；、证明 0 是其特征值；二二 矩矩阵阵1,A是n阶可逆矩阵：0A （是非奇异矩阵）；( )r An（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax 有非零解；nbR ，Axb总有唯一解； A与E等价； A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为 0；TA A是正定矩阵； A的行（列）向量组是nR的一组基； A是nR中某两组基的过渡矩阵；2，对于n阶矩阵A：*AAA AA E无条件恒成立；3，1 *111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()(
4、)TTTABB AABB AABB A4，矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5，关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：3、12sAA AA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）三三 矩矩阵阵的的初初等等变变换换与与线线性性方方程程组组1，一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类
5、；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若( )( )r Ar BAB；2，行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3，初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）1、 若(,)(,)rA EE X，则A可逆，且1XA；、对矩阵( ,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1( ,)(,)cA BE A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果( , )(, )rA bE x，则A可逆，且1xA b；4，初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是
6、列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n ，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；、对调两行或两列，符号( , )E i j，且1( , )( , )E i jE i j，例如：1111111；、倍乘某行或某列，符号( ( )E i k，且11( ( )( ( )E i kE ik，例如：1111(0)11kkk；、倍加某行或某列，符号( ( )E ij k,且1( ( )( ()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；5，矩阵秩的基本性质：、0()min(, )m nr Am n；、()( )Tr Ar A；、若AB，则( )( )r
7、 Ar B；、若P、Q可逆，则( )()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max( ( ), ( )( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B；（）、()( )( )r ABr Ar B；（）、()min( ( ), ( )r ABr A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB ，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）；4、( )( )r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()( )( )r ABr Ar Bn；6，三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的
8、形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01111110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b；注：、()nab展开后有1n项；、0(1)(1)!11 2 3!()! mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：7，伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*( )()1( )10( )1nr Anr Ar Anr An ；、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAAXX AA AA XX；、*1AA
9、 A、1*nAA8，关于A矩阵秩的描述：、( )r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；、( )r An，A中有n阶子式全部为 0；、( )r An，A中有n阶子式不为 0；9，线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；10，线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；11，由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna x
10、a xa xba xa xaxbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、1212nnxxaaax （全部按列分块，其中12nbbb ）；、1122nna xa xa x （线性表出）、有解的充要条件：( )( ,)r Ar An （n为未知数的个数或维数）四四 向向量量组组的的线线性性相相关关性性1，m个n维列向量所组成的向量组A：12,m 构成nm矩阵12(,)mA ；m个n维行向量所组成的向量组B：512,TTTm构成mn矩阵12TTTmB ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一
11、对应；2，、向量组的线性相关,无关0Ax有无非零解;（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）3，矩阵m nA与l nB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax 和0Bx 同解；4，()( )Tr A Ar A；5，n维向量线性相关的几何意义：、 线性相关0 ；、, 线性相关, 坐标成比例或共线（平行）；、, 线性相关, 共面；6，线性相关与无关的两套定理：若12,s 线性相关，则121,ss 必线性相关；若12,s 线性无关，则121,s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上
12、nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7，向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs向量组A能由向量组B线性表示，则( )( )r Ar B；向量组A能由向量组B线性表示AXB有解；( )( ,)r Ar A B（85P定理 2）向量组A能由向量组B等价( )( )( ,)r Ar Br A B8，方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAPPP；、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx 同解、矩阵列等价：cAB
13、AQB（右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；9，对于矩阵m nA与l nB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax 与0Bx 同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10，若m ss nm nABC，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）11，齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx 只有零解0Bx只有零解；、0Bx 有非零解0ABx一定存在
14、非零解；12，设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：1212( ,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：( )()(), (),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；13，、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE( )r Am、Q的列向量线性无关；、对矩阵m nA，存在n mP，nPAE( )r An、P的行向量线性无关；614，12,s 线性相关存在一组不全为 0 的数12,sk k
15、k，使得11220sskkk成立；1212(,)0ssxxx 有非零解，即0Ax 有非零解；12(,)srs ，系数矩阵的秩小于未知数的个数；15,设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为：( )r Snr；16，若*为Axb的一个解，12,n r 为0Ax 的一个基础解系，则*12,n r 线性无关；五五 相相似似矩矩阵阵和和二二次次型型1，正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质：、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A ；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求
16、解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2，施密特正交化：12(,)ra aa11ba；1222111 , ,b ababb b121121112211 , ,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;3，、A与B等价 A经过初等变换得到B；PAQB，P、Q可逆；( )( )r Ar B，A、B同型；、A与B合同TC ACB，其中可逆；Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似1PAPB；4，相似一定合同、合同未必相似；若C为正交矩阵，则TC ACB AB5，A为对称阵，则A为二次型矩阵；6，n元二次型Tx Ax为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使TC ACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于 0；0,0iiaA；(必要条件)7第二部分第二部分 例题精选例题精选第一章第一章8910111213第二章第二章141516171819第三章第三章2021222324第四章第四章252627282930313233343536第五章第五章3738394041424344
