1、第二节第二节 相似矩阵相似矩阵 一、相似矩阵的概念 定义4.2 设A、B都是n阶矩阵，如果存在非奇异矩阵P，使得 P1APB我们称A与B相似。记为“AB”；P称为A与B相似的变换矩阵。显然，相似矩阵有如下简单性质：（）AA （只需取PI）（）如AB，则必有BA证明：因为AB，所以存在可逆矩阵P，有 P1APB所以 APBP1 即 A(P1)1 B(P1)即是 BA （）如AB，BC，则必有AC。证明: 因为AB, BC，所以存在可逆矩阵P1、P2 P11AP1B，P21BP2C所以有 P21（P11AP1）P2C即有 （P1P2）1A（P1P2）C所以 AC 二、相似矩阵的性质 n阶矩阵A与B
2、如果相似，则它们会有许多共同之处。 性质1.如AB，则A与B有相同的特征值。 证明：AB，则存在可逆矩阵P有 P1APB 所以 |IB|IP1AP | | P1（IA）P| | P1|IA | P| |IA | 即A与B的特征方程相同, A与B有相同的特征值。 性质2.如AB，则A与B的秩相同。证明：AB，则存在可逆矩阵P有 P1APB (1)由于P可逆，可设 PT1T2Ts (Ti为初等矩阵)代人（1）得 （T1T2Ts）1A（T1T2Ts）B Ts-1Ts-1-1T2 1T1-1A（T1T2Ts）B即A经过2s次初等变换可变成B，所以必有 秩A秩B 性质3.如AB，则AB证明：AB，则存在
3、可逆矩阵P有 P1APB所以有 BP1AP| P1|A| |P|A| 性质4.如AB，则A与B的奇异性相同（利用性质3可得此结论）例1. 已知三阶矩阵A与B相似，A的特征值为1、2、3，求矩阵B22B的特征值。解：A与B相似，则B的特征值也为 1、2、3由上节例3知 B2 - 2B 的特征值为 1、0、3。 例2.设n阶矩阵A与B相似，证明A2-A与B2-B相似。证明：A与B相似。则存在可逆矩阵P，有 P-1APB所以 B2(P-1AP)(P-1AP)P-1A2P可得 P1 (A2 A ) PP1A2PP1APB2B因此可得 A2 A 与 B2 B 相似。矩阵与对角矩阵相似的条件矩阵与对角矩阵
4、相似的条件 一.判定定理.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。（记P为A的特征向量组成的矩阵，对角矩阵是由P的列对应的特征值组成的对角矩阵，则有P1AP，即A）.证明：（i）必要性如果A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P有 P1AP 可得 APP 设 P(X1X2Xn) 其中,Xi为P的第i列,由于P可逆，显然X1X2Xn线性无关。 下证Xi为特征向量再设又 AP = A (X1X2Xn) = （AX1 AX2 AXn）由AP = P得：（AX1 AX2 AXn）=（1X1 2X2 nXn）进而可得：AXi = iXi ( i = 1,2, , n)所以X1X2X
5、n是A的n个线性无关的特征向量。 (ii)充分性设A有n个线性无关的特征向量X1X2Xn，它们依次对应的特征值分别为12n，则有AXiiXi 令 P (X1X2Xn) 则可得 AP = A (X1X2Xn) = （AX1 AX2 AXn） P（1X1 2X2 nXn） APP P1AP 即是 A 证毕.可以得到求与A相似的对角矩阵，以及相似变换矩阵 P 的步骤： 第一步：由IA0求出特征值。 第二步：对于每个，解方程组(IA)X0求出基础解系，最后得到n个线性无关的特征向量X1X2Xn。必有 P 1AP = 第三步：得到例.矩阵求可逆矩阵P及对角矩阵，使P1AP。解:因此特征值112-2当1时
6、方程组（IA）X0为其基础解系为:其基础解系为:当2时，方程组（A）X0为有P1AP因此特征值1224当2时方程组(IA)X0为例:矩阵判定定理2.n阶矩阵A与对角矩阵相似的充要条件是对于每一个ni重特征值i有n个线性无关的特征向量。（即（iIA）X0的基础解系有ni个） 其基础解系为:所以矩阵A不与对角矩阵相似.例.已知 能对角化,求An(n1).解:先求A的特征方程由此可见A有三个特征值, 1=0, 2=3=1. 因为A能够对角化, 必须对应于重根2=3=1有两个线性无关的特征向量, 对于特征值= 1时（A）Y0为对其系数矩阵作行初等变换,可以看出如果此齐次方程要有两个线性无关的基础解系,
7、就必须有两个自由变量,y3已经是一个自由变量,因此需要y2也是自由变量,这就要求上面矩阵的第二行全为零,即x+2=0,得x=-2此时这时候, A能对角化, 所以存在方阵 T 使 上式两边同时左乘T 及右乘T-1可得又例例 2 2设有矩阵(1)(1)问矩阵A是否可对角化,若能,试求可逆矩阵P 和对角矩阵 ,使P-1AP=.(2)(2)使P-1AP=成立的 P、是否唯一，举例说明.解解单击这里求特征多项式和特征值单击这里求特征多项式和特征值（1 1）矩阵A的特征多项式为当时,解方程组即所以A的三个特征值分别为:单击这里开始求解单击这里开始求解解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.当时,解方程组即
8、解之得基础解系为所以是对应于的特征向量.单击这里开始求解单击这里开始求解当时,解方程组即所以是对应于的特征向量.解之得基础解系为单击这里开始求解单击这里开始求解因为线性无关即三阶矩阵A有三个线性无关的特征向量,所以令则单击这里求逆单击这里求逆矩阵A 可对角化.此时且有P-1AP=.（2 2）使P-1AP =成立的P、不唯一.如若取则此时亦有P-1AP=.单击这里求逆单击这里求逆例例 3 3判定下列矩阵是否相似于对角矩阵,若相似,则求出可逆矩阵P,使P-1AP是对角矩阵.矩阵A是个对角线上的元素相同的上三角矩阵,注意任何对角矩阵、上下三角矩阵的特征值都是其对角线上的元素,所以此题A 的特征值为使
9、A=P-1 P,但是 P-1P = P-1EP = E就应有A = E,这显然不对,所以说A不相似于对则A 不相似于对角矩阵,因为如果A相似于对角矩阵 ,则 就是单位矩阵,且应有可逆矩阵P,角矩阵.(1)(1)解解先求特征值，A的特征多项式为A的特征值为再求特征向量单击这里求特征值单击这里求特征值(2)(2)解解 当时，解方程组即得对应于的特征向量为单击这里求解单击这里求解当时，解方程组即得对应于的特征向量为单击这里求解单击这里求解令则P 可逆，且有因为3阶矩阵A找到了个线性无关的特征向量，所以方阵A相似于对角矩阵.例例 4 4 设相似于对角矩阵,求x与y应满足的条件.先求特征值,A的特征多项
10、式为所以A 的特征值为A 相似于对角矩阵的充分必要条件是,A有三个线性无关的特征向量,解解行变换所以x、y应满足的条件为:特征向量.的秩为1,下面把矩阵化为行最简形.应能找到两个线性无关的即A的二重特征值这时就要求矩阵即例例 5 5设3阶矩阵A的特征值为对应的特征向量依次为求A和A100.因3阶方阵A的三个特征值互不相则A=PP-1.等,所以A可对角化,即存在可逆方阵P,使解解令单击这里开始求逆单击这里开始求逆则且P-1AP=所以因为A = PP-1，所以A100=P100P-1,二.约当标准形简介 1.约当块:约当块的特点是主对角线都为,次对角线都为12.约当形矩阵 (约当标准形) 如果一个
11、分块对角矩阵的所有子块都是约当块,即其中J1，J2，Jn，都是约当块，称 J 为约当形矩阵，或称为约当标准形。 例如：下列矩阵都是约当形矩阵而下列矩阵不是约当形矩阵注意:对角矩阵也是一种特殊的约当形矩阵定理.对的n阶方阵A，都有与之相似的约当形矩阵。即是存在n阶可逆矩阵P和约当形矩阵J，有 P1APJ 例如. 如果4届矩阵A的特征值12，2343，但是,如果3的线性无关的特征向量的个数为2,显然A不与对角矩阵相似,但A与J1相似 (此时 r (3 I J1 ) = 2 ) 如果3的线性无关的特征向量的个数为1,显然A不与对角矩阵相似,但A与J2相似 ( 此时 r (3 I J1 ) = 3)。
12、 结结 束束9、静夜四无邻，荒居旧业贫。三月-21三月-21Monday, March 29, 202110、雨中黄叶树，灯下白头人。22:11:1822:11:1822:113/29/2021 10:11:18 PM11、以我独沈久，愧君相见频。三月-2122:11:1822:11Mar-2129-Mar-2112、故人江海别，几度隔山川。22:11:1822:11:1822:11Monday, March 29, 202113、乍见翻疑梦，相悲各问年。三月-21三月-2122:11:1822:11:18March 29, 202114、他乡生白发，旧国见青山。29 三月 202110:11
13、:18 下午22:11:18三月-2115、比不了得就不比，得不到的就不要。三月 2110:11 下午三月-2122:11March 29, 202116、行动出成果，工作出财富。2021/3/29 22:11:1822:11:1829 March 202117、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。10:11:18 下午10:11 下午22:11:18三月-219、没有失败，只有暂时停止成功！。三月-21三月-21Monday, March 29, 202110、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。22:11:1822:11:1822:113/2
14、9/2021 10:11:18 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。三月-2122:11:1822:11Mar-2129-Mar-2112、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。22:11:1822:11:1822:11Monday, March 29, 202113、不知香积寺，数里入云峰。三月-21三月-2122:11:1822:11:18March 29, 202114、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。29 三月 202110:11:18 下午22:11:18三月-2115、楚塞三湘接，荆门九派通。三月 2110:11 下午三月-2122:11
15、March 29, 202116、少年十五二十时，步行夺得胡马骑。2021/3/29 22:11:1822:11:1829 March 202117、空山新雨后，天气晚来秋。10:11:18 下午10:11 下午22:11:18三月-219、杨柳散和风，青山澹吾虑。三月-21三月-21Monday, March 29, 202110、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。22:11:1822:11:1822:113/29/2021 10:11:18 PM11、越是没有本领的就越加自命不凡。三月-2122:11:1822:11Mar-2129-Mar-2112、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿
16、。22:11:1822:11:1822:11Monday, March 29, 202113、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。三月-21三月-2122:11:1822:11:18March 29, 202114、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。29 三月 202110:11:18 下午22:11:18三月-2115、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。三月 2110:11 下午三月-2122:11March 29, 202116、业余生活要有意义，不要越轨。2021/3/29 22:11:1822:11:1829 March 202117、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。10:11:18 下午10:11 下午22:11:18三月-21MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit, eleifend nulla ac, fringilla purus. Nulla iaculis tempor felis amet, consectetur adipiscing elit. Fusce id urna blanditut cursus. 感谢您的下载观看专家告诉
