1、第四章 数列等差数列的前n项和教学设计第1课时 教学目标1.能推导等差数列前n项和公式.2.记住等差数列前n项和公式.3.能运用公式进行求和. 教学重难点 教学重点：等差数列的前n项和公式的应用.教学难点：等差数列前n项和公式的推导方法. 课前准备PPT课件 教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第1822页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习等差数列的前n项和公式及其简单应用（2）数列是培养学生数学能力的良好题材.在学习了等差数列的通项及性质的基础上，我们探究
2、等差数列的前n项和公式.等差数列前n项和公式的推导过程中，让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养.设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架问题2：据说，200多年前，高斯（高斯（Gauss，17771855），德国数学家，近代数学的奠基者之一. 他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献.）的算术老师提出了下面的问题： 123100=？你准备怎么算呢？ 师生活动：学生计算答案并说明做法预设的答案
3、：高斯的算法：（1+100）+（2+99）+(50+51)=10150=5050问题3：为什么11002995051呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.师生活动：让学生思考后发表看法.设计意图：通过回顾历史中高斯小故事，提出等差数列求和问题.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.【探究新知】知识点1 等差数列的前n项和 高斯的算法实际上解决了求等差数列：1，2，3， ，n，前100项的和问题.我们知道：等差数列中，下标和相等的两项和相等.设 ann，则 a11，a22，a33，如果数列an是等差数列，p，q，s，tN*，且pqst，则 apaqasat 可得：a1a100a2a99
4、a50a51问题4：你能用上述方法计算123 101吗？你能计算123 n吗？师生活动：学生分组讨论，派代表讲解，教师完善.预设的答案：需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时，当n为奇数时， n1为偶数对于任意正整数n，都有123 n=.设计意图：让学生经历由特殊到一般，分类与整合、数学结合等思想方法，感受等差数列求和公式的推导过程.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.问题5：不分类讨论能否得到最终的结论呢？师生活动：学生分组讨论，派代表讲解，教师完善.预设的答案：将上述两式相加，得所以.设计意图：通过高斯算法，循序渐进的让学生发现规律，首尾组合的思想揭示了等差数列“下标和相等，对应的
5、项和相等”的特征，为等差数列前n项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫.问题6：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列an的前n项和吗？师生活动：学生讨论，教师完善.预设的答案： + 2Sn=n(a1+an),由此得：（公式1）由等差数列的通项公式，有 （公式2）设计意图：让学生用类比，归纳的思想总结出求和方法.通过推导过程，让学生理解等差数列前n项和公式. 方法总结：1.公式也可以这样证得：设有等差数列：公差为，前项和为，则；.将两式分别相加，得：，Sn=n(a1+an)2.由此得到等差数列的前项和的公式.2等差数列的前n项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选用公式3.
6、公式的记忆： 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式：用上、下底分别为a1、an ，高为n的梯形的面积来记忆公式1：，用上、下底分别为a1、an ，高为n的梯形的面积来记忆公式1.【巩固练习】例1 已知数列an是等差数列.（1）若a1=7, a50=101,求S50；（2）若a1=2, ,求S10； （3）若，Sn=-5，求n； 师生活动：学生思考后回答，教师完善规范解题.预设的答案：（1）因为a1=7, a50=101,根据公式可得;（2）因为a1=2, ,所以,根据公式可得;（3）把，Sn=-5，代入，得, ,解得n=12或n=-5,所以n=12.设计意图：通过该例题，加深
7、学生对等差数列求和公式的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn这五个量可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题解题时注意整体代换的思想(2)结合等差数列的性质解题：等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq，常与求和公式结合使用例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？师生活动：学生分组讨论，派代表板演，教师完
8、善规范解题.预设的答案：由题意知， S10=310，S20=1220，把它们代入公式，得解方程组，得.所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差.设计意图：通过典型例题，加深学生对等差数列求和公式的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：求数列的基本量的基本方法是构建方程或方程组或运用数列的有关性质进行处理，(1.)“知三求一”：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，在通项公式和前n项和公式中，都含有四个量，已知其中的三个可求出第四个.(2.)“知三求二”：五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般列方程组求解.追问1：可以计算前30项的和吗？师生活
9、动：学生分组讨论，派代表板演，教师完善规范解题.预设的答案：由前面可知，所以.追问2： S10=310，S20-S10=910，S30-S20=1510，可以发现S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，你能得出什么一般性结论？师生活动：学生分组讨论，派代表给出结论，教师完善规范解题.预设的答案：等差数列中，前n项的和是Sn，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.证明如下：因为，所以，即Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列.设计意图：通过例题的延伸，让学生推出等差数列前n项的和的一个性质.结论：等差数列中，均匀分段和仍成等差数列，这是等差数列的一个重要性质.即等差数列
10、中，前n项的和是Sn，则仍成等差数列，公差为（为确定的正整数）.例3 在等差数列中，求师生活动：学生分组讨论，派代表板书，教师完善规范解题.预设的答案：法一：设该等差数列首项，公差，则，所以，法二：在等差数列中，, , , , , , 成等差数列， 新数列的前10项和原数列的前100项和，10D10, 解得D22 10D120, 110.设计意图：通过本题，加深学生对等差数列求和公式以及性质的理解.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：对于等差数列中的问题，常用方法是基本量法和利用性质，一般能用性质的，就使用性质比较快捷.练习：教科书P22 练习1、2设计意图：通
11、过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养.【课堂总结】1板书设计：4. 2.1等差数列的概念（2）一、探索新知二、初步应用1等差数列的前n项和例1知识讲解1：例22总结概括：课堂小结：1等差数列前n项和Sn公式的推导-倒序相加法；2等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；公式1：；公式2： 师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力3课堂作业：教科书P22 练习3 教科书P24 习题4.2 1、3【目标检测设计】1. 设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5() A5 B7 C9 D11设计意图：通过该题进一步巩固等差数列的通项公式、性质以及前n项和公式.2.等差数列an中，S24，S49，则S6_.设计意图：通过该题进一步巩固等差数列的前n项和性质.3在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.设计意图：通过该题进一步巩固等差数列的性质、前n项和公式的应用.小结论：在等差数列中，Sn是其前n项和，则有S2n1(2n1)an.4已知等差数列an中，a1，d，Sn15，求n及a12.设计意图：通过该题进一步复习巩固基本量法.参考答案：1. A 2. 15 3190 4n12，a124.
