1、等差数列的前n项和公式教学设计引入新课问题1：据说在200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：？，你能回答这个问题吗？答案：5050.当同学们忙于把这100个数字逐个相加时，10岁的高斯却早就有了答案.追问1：你知道高斯使用什么方法迅速得到答案的吗？答案：.追问2：“.”解决的是数列的什么问题？答案：等差数列1，2，3，n，前100项的和的问题.追问3：高斯在求和过程中用到了等差数列的什么性质？答案：数列是等差数列，p，q，s，t，且p+q=s+t，则.对于数列，设，那么高斯的计算方法可以表示为.追问4：你能用高斯的方法求吗？答案：.这时数列的项数n为奇数，与项数n为偶数的情况不同的是，项
2、数为奇数的数列求和时需要确定配对后的余项，即中间项51.追问5：高斯的求和方法可以给我们什么启示？答案：(预设答案1)所有等差数列都可以通过“首尾配对”的方法求和.(预设答案2)通过等差数列的性质当角标和相等时，两项和相等，可以问题中n个不同数字组成的等差数列求和问题，转化为（n为偶数）或（n为奇数）个相同数字的和的问题.(预设答案3) =，高斯求和的方法可以看作是把同一个等差数列“倒序相加”.(预设答案4)从图形上解释，倒序相加可以看作是将一个从1到n的三角点阵的求和问题，“拼图”解决(如图所示). 将图旋转90度得到图，图一中所有点数之和即为所求，将图旋转90度得到图拼接如图，得到的矩形点
3、阵所表示的点数之和为，每行点数为，共有行，因此，.课堂探究问题2：如何计算首项为1，公差为1的等差数列前n项和？答案：将高斯的方法推广到一般，可以得到：当n是偶数时，有，于是有.当n是奇数时，有.所以对任意正整数n,都有.追问1：在求前n个正整数的和时，要对n分为奇数、偶数进行讨论，比较麻烦，能否设法避免分类讨论？答案： . 将两式相加,可得 ，所以.追问2：上述方法可以推广到求等差数列的前n项和吗？答案：设等差数列的前n项和为，则,由前面的例子，不难用倒序相加法推出 将两式相加,可得 , 所以.追问3：如果已知等差数列首项，公差可以求得前n项和吗？答案：.将等差数列的通项公式代入公式，可得.
4、结论：等差数列的前n项和公式.知识应用例1 已知数列是等差数列.(1)若求;(2) 若求;(3) 若求n.解：(1) 因为根据公式，可得.(2) 因为所以.根据公式,可得.(3) 把代入,可得.整理得.解得或(舍去).所以例2 已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？解：把它们代入公式,得解方程组，得所以，由所给的条件可以确定数列的首项和公差.例3 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排其后一排都比前以排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次
5、排成一列，构成数列，其前n项和为，根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且由，可得.因此，第一排应安排21个座位.例4 已知一个等差数列前n项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.解:(解法1)由得所以是递减数列.又由可知：当时，；当时，；当时，.所以.也就是说，当或时，最大.因为，所以的最大值为30.(解法2) 因为，所以当取最接近的整数即5或6时，的最大值为30.追问1： 等差数列前n项和在什么情况下有最值？答案：对于无穷等差数列，当d0时，数列为递增数列， 逐项增大，Sn有最小值；当a10时， Sn的最小值为所有非正项的和的值；当
6、a10时， Sn的最小值为S1.当d0时， Sn的最小值为所有非负项的和的值；当a10时， Sn的最大值为S1.追问2：等差数列通项公式与函数的关系是什么？答案：等差数列通项公式，an与n之间的函数关系可以表示为f(x)=kx+b（xN*， k，b为常数）追问3：等差数列前n项和公式与函数的关系是什么？答案：等差数列的前n项和公式当d=0，a1=0时，Sn=0（nN*），Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=0（xN*）； 当d=0，a10时，Sn=na1（nN*），Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=kx，（xN*，k为常数）； 当d0时，Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=ax2+bx，（xN*，a,b均为常数，且a0）.追问4：由于等差数列(d0)的前n项和Sn也是关于n的二次函数，那么你能否从函数的角度来分析一下Sn的最值问题.答案：当d0时，Sn=d2n2+a1-d2n. 当d0时，Sn关于n的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最小；当d0时，Sn关于n的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点，所以当n取离对称轴最近的整数时，Sn最大.
