1、环节二 不等式的性质（二）教学设计问题导入问题1 上节课我们知道了现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类，学会从现实问题中抽象出不等式，知道解不等式要用不等式的性质，今天我们来学习不等式的性质因为不等式和等式一样，都是大小关系的刻画，所以我们可以从等式性质及其研究方法出发，通过类比研究不等式性质首先梳理一下，等式都有哪些性质？答案：性质1：如果a=b，那么b=a；性质2：如果a=b，b=c，那么a=c；性质3：如果a=b，那么ac=bc；性质4：如果a=b，那么ac=bc；性质5：如果a=b，c0那么追问 观察等式的5条基本性质，哪些性质具有共性？是什么？答案：性质3，4，5具有共性，它
2、们都是在等式的两边进行了相同的运算，是从运算的角度提出的，性质3可以看作同一种运算，即加法运算，性质4和5可以看作是乘法运算 性质1是等式的对称性，性质2是等式的传递性，是等式自身的特性总之，等式的基本性质有“等式自身的特性”和“等式对运算的不变性”两种这两个方面反映了等式大小关系的本质属性它告诉我们什么是代数的性质：运算中的不变性就是性质也揭示了研究代数性质的方法：寻找运算中的不变性新知探究1类比猜想、证明结论问题2 类比等式的性质，我们可以从哪两方面猜想不等式的性质？并写出你猜想的不等式的性质答案：从“不等式自身的特性”和“不等式对运算的不变性”两方面研究不等式的基本性质猜想1：如果ab，
3、那么bb，bc，那么ac；猜想3：如果ab，那么a+cb+c；猜想4：如果ab，那么acbc；猜想5：如果ab，c0，那么追问1 我们知道，类比得到的猜想不一定正确，那么如何论证或者反驳呢？请说明你的猜想正确与否答案：要说明猜想正确，需要给出证明；要说明猜想错误，只需举出反例猜想1证明：ab，ab0，又正数的相反数是负数，(ab)0，即ba 0bb，那么bb，bc，ab0，bc0根据两个正数的和还是正数，得(ab)+(bc)0,ac0, ac性质2：如果ab，bc，那么ac猜想3证明：ab， ab0，(a+c)(b+c)= ab0a+cb+c性质3：如果ab，那么a+cb+c追问2 从不同角度
4、表达不等式的性质，可以加深理解，用文字语言怎样表达性质3呢？答案：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向追问3 两个实数大小关系还可以直观地在数轴上表达出来，你能从几何意义的角度对这个性质进行解释吗？答案：如图1，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等的距离，得到另外两个点A1和B1，A与B和A1与B1的左右位置不变追问4 在等式中，如果a+b=c，那么a=c-b，你能利用性质3得到不等式中的移项法则吗？答案：如果a+bc，依据性质3得ab(b)c(b)，所以ac-b即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边问题3 上述猜想4和5正确吗？为什么？如果不正确，应该怎
5、样修正？答案：两个结论不正确比如32，c=1，3(1)2(1)，所以猜想4不正确；3(1)0，所以(ab)c的正负由c的正负决定，从而需要分析讨论 性质4：如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acb，cd，那么a+cb+d 证明：ab，cd ，a-b0 ，c-d0(a-b)+(c-d)0，即(a+c)-(b+d)0a+cb+d追问1 你能用不等式性质证明吗？证明：由性质3，得a+cb+c，c+bd+b，由性质2，得a+cb+d性质5：如果ab，cd，那么a+cb+d 问题6 在基本性质4中，不等式的两边同乘同一个实数将之一般化，如果同乘不同的实数，能得到什么结论？答案：猜想：如果
6、ab，cd，那么acbd追问1 你认为上述结论是否正确？为什么？如何修正？答案：不正确例如：32，45，而3(4)b0，cd0，那么acbd 追问2 再将性质6特殊化，即令a=c，b=d，能得到什么结论？答案：如果ab0，那么a2b2，并能推广到“如果ab0，那么anbn（nN*, n2）”这是不等式的性质7，它是性质6的特例性质7：如果ab0，那么anbn（nN*，n2）2应用结论，加深理解例1 已知ab0，cb0，ab0，于是，即又由c0，得例2 实数a，b满足，求实数a，b的取值范围求的取值范围解：，；设，解得，即归纳总结，布置作业问题8 本节课我们重点学习了不等式的基本性质和不等式的常用性质，你是怎样研究不等式的基本性质的？在探究不等式性质时经历了什么过程？并继续补充本单元的知识结构图答案：先梳理等式的基本性质及蕴含的思想方法，通过类比，从不等式的自身性质和运算的角度猜想并证明不等式的基本性质，由不等式的基本性质推出不等式的一些常用性质经历的过程：前备经验归纳特点类比猜想推理证明（修正）理解表达探究个性应用反思延续上节课，这两节课的研究过程和内容结构图如下：
