1、数学建模暑假学习大总结（一）一：矩阵：矩阵的基础知识二：对数学建模，陈东彦 李冬梅 王树忠 编著一书所学内容的总结：（附图片，请拉长观看）1、数学建模概述2、初等方法建模3、插值与拟合4、差分方程方法建模5、数学规划方法建模6、层次分析方法建模7、回归分析方法建模8、灰色系统方法建模注：1、差分方程建模：研究离散模型，一段时间产生的数据所建立的模型；在这些数据中，往往表现为前一段时间产生的数据，对后一段时间产生的数据起到一定的影响。（1）市场经济中的蛛网模型（2）节食与运动模型（3）差分方程简介2、插值与拟合（1） 、插值：（1）利用 Matlab 软件，我们可以运用插值的方法，借助 Matl
2、ab 研究数据的走动趋势，为数据拟合使用哪一种基函数，作出依据，一般来讲我们不使用插值找出数据拟合的基函数，而是直接运用 Matlab 的绘图函数（plot 函数）作图，大概找出函数 的基函数。 （2）插值运用在对数据进行图像化，会给人以直观。（2） 、拟合：为数据找出一种理想的数学模型（方程） ；线性最小二乘法（非线性最小二乘法）（3） 、数值微分法：研究数据在局部某点的变化情况。3、数学规划方法建模（1） 、线性规划模型（2） 、非线性规划模型（3） 、整数规划模型（最优化方法Matlab 使用：0-1 法则，职员对工作的合理分配问题，网络流问题，bintprog 函数、linprog 函
3、数）4、层次分析方法建模（1） 、预备知识：正反互矩阵、一致矩阵（2） 、建模的基本步骤：目标层 准则层（准则矩阵）方案层（方案矩阵）（3） 、建模运用实例（4） 、建模案例：合理分配住房5、回归分析方法建模（1）一元线性回归模型：（2）多元线性回归模型：（3）非线性回归模型（4）建模案例：气象站观测（5）建模步骤：（1）画散点图（2）直观判读（3）设定模型（4）拟合模型中的参数（5）预测6、灰色系统模型方法模型（1）灰色系统理论概述（2）关联分析（3）优势分析（4）灰色系统建模（GM (1,1),模型在预测方面的运用【一】：几个模型的相关 Matlab 编程以及内容（1）插值与拟合（2）差分
4、方程建模【数学建模 Matlab 运用及内容】 （3）数学规划建模（4）回归统计方法建模（5）层次分析方法建模（6）灰色系统理论建模【二】论文写作：1）论文模板： 【数模写作基 本模板】2）几篇数学竞赛论文： 【论文参考 、建模 思路（ 共 6 篇） 】体能测试、地面搜索、输油管铺设、天然肠衣、养老基金、病虫防害三：最优化问题Matlab 的运用【Matlab， 总结.】（附图片，请拉长观看）四、Matlab 的简单运用：（附图片，请拉长观看）五、矩阵的基础知识，矩阵基础知识的广泛运用编程（数学的基础知识） ，数学建模，工程六、数学建模涉及的相关软件计算机语言（1）Matlab 软件（2）C、
5、C+语言【1、C 语 言】【2、C+ +语 言】（3）lingo 软件【3、Li ngo】（二）一、数学建模的基本过程：尽管数学建模的方法多种多样，但是针对实际问题，建立数学模型所经历的基本过程大体相同，一般有如下步骤：1）建模准备：了解实际问题的背景（属于哪个领域） ，明确数学建模的目的（解决什么问题） ，收集数学建模的必要信息（相关数据和参考资料） ，分析研究对象的主要特征（内在机理或输入输出），从而对实际问题有一个比较清楚的了解。2）模型假设：根据所研究对象的特征及建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题作出合理的简要假设，假设的合理性主要是指假设要基本符合实际情况，合理的假设在
6、符合实际情况时，所作假设要结合对所建模的要求以及对这些要求的解决对策，这样更能使得假设对整个建模过程，提供有效的思路、解决条件；假设的简化性主要是为了能够用数学的语言描述问题。能否做出合理的假设，取决于对问题的了解是否准确、深入，还取决于直观判断力，丰富想象力，以及是否拥有足够的知识储备。3）符号说明：采用抽象的符号对所要进行建立的数学模型的相关变量进行说明，为整个数学建模过程做出数学化的第一步。4）模型建立：根据所做出的假设，用数学的语言、符号描述出研究对象的内在规律，并建立起包含常量、变量的等的数学模型，可以是函数表达式公式、数学方程、算法或图形等，建立起模型的原则是尽量用简单的数学工具。
7、5）模型求解：采用各种计算机方法对所建立的数学模型进行求解，可能是求函数的极值、求方程的解、算法（编程）或图形的实现等。此时可以运用计算机工具，特别是计算机技术和教学软件。6）模型分析：对求解结果进行数学上的分析，如：结果的误差分析（误差是否在允许的范围内） 、统计分析（结果是否符合统计规律） 、模型对数据的灵敏度分析（模型的结果是否会因为数据的微小改变而发生大的变化） 、对假设的鲁棒性分析（模型的结果是否对某一假设非常依赖）等。7）模型检验：讲求解结果和分析结果翻译回到实际问题之中，与实际现象，实际数据进行比较，检验是否与实际吻合。如果吻合性较好，则模型及其结果可以运用到实际问题；如果吻合性
8、不好，则需对模型假设进行修正和补充，然后重新建模。有时，一个好的模型需要反复修复几次才能得到。8）模型运用；当模型进过检验已成为一个具有合理性和实用性的模型后，即可以运用于解决实际问题了。数学模型是客观对象归纳为抽象模型的产物，它来源于客观实际，又高于客观实际；数学建模的过程就是“实践理论 实践”的过程。数学建模要求具有熟练的数学技巧、丰富的想象力和敏锐的洞察力，需要大量的阅读，思考别人所做的模型，尤其是自己动手，亲身体验。二、模型分类：模型的运用分：人口模型、交通模型、环境模型、资源模型。建模的目的分：预测模型、描述模型、决策模型、优化模型、控制模型。二、数学建模示例:稳定的椅子问题：把椅子
9、往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次就可以使四只脚着地了，即放稳了，这个看来与数学无关的现象能用数学语言给于表达，并用数学工具证明吗？数学建模过程：模型假设：1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处为一个点，四点连线呈正方形。2）地面高度是连续变化的，沿任何方向不会出现间断（没有像台阶那样的情况） ，即地面可视为数学上的连续曲面。3）对于椅脚的间距和椅脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时落地。假设分析：假设一显然是合理的，但是假设一“四脚连线呈现正方形”不是本质的假设；假设二相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在有台
10、阶的地方是无法使四只脚同时着地的；假设三排除这样的情况：地面上椅脚间距和椅脚长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（及时是连续变化的） ，致使三只脚无法同时着地。问题分析：问题是用数学语言把椅子四只脚同时着地的条件和结论同时表示出来。首先要用变量表示椅子的位置。注意到椅脚连续连续呈正方形，以正方形中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。在图 1 中椅子连续为正方形 ABCD，对角线 AC 与 X 轴重合，椅子绕中心 O 旋转角度 后，正方形转至 ABCD的位置，所以对角线 AC与 X 轴的夹角 表示椅子的位置。其次要把椅脚着地用数学符
11、号表示出来。如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么，当这个距离为零时就表示椅脚着地了。椅子在不同位置时，椅脚与地面的距离不同，所以这个距离是位置变量 的函数。模型建立：经过上面对整个要解决的问题的：提供的条件数学化、所解决问题的数学化，的数学分析，现在我们利用数学的相关思想进行问题的解决。椅子有四只脚，因而用四个距离，但是由于正方形的中心对称只要设两个距离函数就可以了。记 A、C 两脚与地面距离之和为 f（） ，B、D 两脚与地面距离之和为 g（） 。由假设二，f（）和 g（）是连续函数。 数学解释：由于地面连续变化，而且椅子沿任何方向都可以转动，这样使得当 变化时，f（）和 g（）的函
12、数之和将随自变量 的改变而改变，即 f（）和 g（）是连续的。 由假设三 椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的 ，f （）和 g（）中至少有一个为零。 当 =0 时，不妨设 f（ ）=0 ，g（）=0。 （1、数学分析，问题数学化；2、同时我们从这里可以感觉到前面所作的假设对模型建立的影响，上面的假设在模型建立的运用，往往合理的假设能够简化模型的建立；同时也照应到模型建立的过程对假设有部分的依赖。 ）这样，改变椅子的位置使四个脚同时着地就归结为如下的数学命题：已知 f（）和 g（）是 得连续函数，对任意的 ，f （）g（）=0，且g（0）=0，f （0）=0,证明存在 0 使 f（
13、0）=g（ 0）=0。模型求解：将椅子旋转 /2，对角线 AC、BD 互换，由 g(0)=0 和 f(0)0 可知 g(/2)0 和 f (/2)=0。令 h()=f()-g(), 则 h(0)0 和 h(/2)0。由 f 和 g 的连续性知 h 也是连续函数，根据连续函数的基本性质，必存在 0 （0 0/2 ）使 h( 0)=0,即 f（ 0）=g（ 0） 。最后，因为 f（ 0）g（ 0） =0，所以 f（ 0）=g（ 0）=0,。模型解释：将一把椅子放在不平的地面上，如果不稳，就将椅子绕椅脚连线的正方形中心沿逆时针旋转，那么一定在某一个位置椅子能放稳。模型分析：假设的鲁棒性分析 （模型的
14、结果是否对某一假设非常依赖）思考：模型假设一中“四脚连线呈正方形”并不是本质的假设，如果将假设其改为“四脚连线呈矩形” “四脚连线呈圆形” 、 、 、结果将如何？（三）对几篇数学建模论文的解说：1、体能测试模型：动态规划、背包问题（贪婪法） 、周期性循环模型2、地面搜索：拓扑分析、目标函数（最值） 、C 语言编程找搜素线路3、输油管铺设：镜面原则 求导取值 权重衡量 （无约束最值 Matlab 求法）4、天然肠衣搭配问题：公式化 程序化 装箱问题 贪婪法5、养老基金保险：多项式拟合 最小二乘 养老金精算 替代率 收支平衡 风险因素 多目标决策6、害虫防害：指数模型拟合、多项式方程拟合、差分方法拟合、回归统计方法、数学图像模型(动态模拟分布图)2012 年 8 月 16 日 暑假
