1、分析数学重点难点指导重点难点指导第一章 实数集与函数重点： （1）函数的概念及其有关的性质 ； （2）几个常见函数的表示及图形； （3）上下确界的概念及其证明；难点： （1）实数的表示及其比较； （2）上下确界的概念及其证明； （3）函数有界性的证明；重点难点解析：1、 本教材利用实数的表示及性质证明确界原理，再以确界原理为基础证明其它5个完备性定理。故实数及其性质是基础。重点讲实数的表示方法；可适当介绍数系的发展从而引入实数连续性的概念。2、 证明一个数集是有界集或无界集时应特别强调必须将存在的数具体找出来，这是数学分析的一个特点。为以后的学习奠定基础。3、 上下确界的概念对初学者是个难点，
2、利用图示法帮助理解，教材上只讲了一种定义，补充定义，为以后证明奠定基础；做足够的课堂练习。确界原理重在以后的应用，可简单介绍其证明思路。4、 函数的概念与性质中学学过，这里可以作为复习课小结，另外，重点讲解一些常见函数的表示、图像以及有界函数；单调函数与中学的单调函数有些区别，应讲解清楚。第二章 数列极限重点： （1）数列极限的概念以及产生的背景；子列的概念； （2）收敛数列的性质；（3） 数列极限存在的条件；（4）数列极限的证明及计算。难点： （1）数列极限的概念； （2）单调有界定理及柯西收敛准则的证明及应用； （3）数列极限存在与不存在的证明。重点难点解析：1、 数列极限的概念是数学分析
3、的基础和难点，应再现极限思想发展的过程，从圆的面积等具体实例引入数列极限的描述性定义，抓住随着的无限增大，无限地接近某一常数这两点逐步引入，给出数列极限的定义；2、 为了学生更好的理解数列极限的定义，举例说明如何利用定义验证数列极限，在此过程中注意和学生一起总结证明的思路以及证明方法，即限制法和放缩法；记住一些常见数列的极限，以备后用；3、 从数列极限的定义中分析出极限不为的正面叙述；4、 利用几何直观帮助理解数列极限的概念；分析出数列极限为的等价定义；其中应强调N以后的各项必须在U()内与有无穷项在U()内是有区别的；给出数列极限不为的等价定义；5、 教材中的例8应重点讲解，为学习子列的概念
4、奠定基础；6、 区分无穷大数列与无界数列并举例说明；7、 收敛数列的性质重点讲解保号性及迫敛性；保号性实质由极限的符号可以确定数列某项以后的各项符号；反之也是成立的；迫敛性不仅可以证明数列极限存在还可得到极限值；8、 通过对收敛数列的性质的证明总结利用N证明的方法；四则运算法则重点在应用；9、 在子列的概念中理解的意义以及与的关系，会利用子列证明数列敛散性；10、单调有界定理重点在证明及应用；学生应掌握如何利用确界原理得到数列极限，明确单调有上界数列必有极限且极限为数列的上确界，单调有下界数列必有极限且极限为数列的下确界；应用单调有界定理证明递推数列的极限一般用数学归纳法；11、教材中P38页
5、的例3重点讲解，书中首次利用构造数列的方法证明，讲解如何根据已知条件构造数列；12、 柯西收敛准则也是重点及难点，给出数列收敛与发散的柯西准则，补充例题训练利用柯西准则证明数列收敛和发散；13、 总结证明数列收敛与发散的方法。14、第三章 函数极限重点： （1）函数极限概念；（2） 函数极限的性质；（3） 函数极限存在的条件；（4） 两个重要的极限（5）无穷小量与无穷大量的概念，性质及阶的比较，曲线的渐近线。难点： （1）函数极限的定义及其应用； （2）海涅定理与柯西准则的证明及应用； （3）无穷小量与无穷大量的阶的比较。重点难点解析：1、 函数极限分为两大类：与；当时函数极限类似于数列极限的
6、概念，自然得到定义，强调离散与连续的区别；2、 重点讲解当时函数极限的定义，先通过例子让同学们观察充分靠近时，能无限趋于某个定数，引入定义；3、 单侧极限的定义类似于函数极限的定义，重点在应用，说明的单侧极限，强调极限存在的充要条件是左右极限不仅存在而且相等；4、 函数极限的性质类似于收敛数列的性质，强调局部性；这块内容可采用学生课后分组讨论学习，上课教师简要讲解的形式学习；5、 海涅定理的证明与应用是本章的重点和难点，是沟通数列极限和函数极限的桥梁；必要性的证明不仅利用函数极限定义，也利用数列极限的定义，如何将二者结合是学习的关键，在许多证明中都要用到这一方法，给学生深入分析。充分性的证明中
7、利用反证法从的正面叙述，构造数列得到矛盾。这是本书中第二次出现构造数列，启发同学们自己构造。6、 给出在其它过程中的海涅定理以及它的增强形式，在利用海涅定理证明极限不存在是个重点，补充例题；7、 单侧极限的单调有界定理类似于数列极限的单调有界定理，启发学生自己写出证明过程，提出问题为什么在上没有单调有界定理；8、 柯西准则的应用是重点与难点，给出极限存在与不存在的柯西准则，补充例题增强理解；9、 两个重要极限相对容易，注意讲解它们的变形，即结构的一致性，内的形式必须一致；，幂指函数，+，与互为倒数；10、无穷小量与无穷大量也是本章重点，虽易于理解但内容繁杂， 特别是阶的比较，讲时应条理清楚，重
8、点讲无穷小的性质，阶的比较，无穷大的相应定理可留做课后小组讨论题学生总结，无穷大应讲清概念及它与无界函数的区别；11、渐近线重在应用，会求函数的垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线。第四章 函数的连续性重点： （1）函数在一点的连续性、间断点及其分类、区间上的连续函数的概念；（2）连续函数的局部性质和闭区间连续函数的整体性质及应用；（3）一致连续的概念及证明；（4）利用连续函数计算极限。难点： （1）闭区间连续函数的整体性质及应用； （2）一致连续的概念及证明。重点难点解析：1、 从实际出发让学生理解连续的本质引出函数在一点连续性的两个等价定义以及它们的定义，补充例题增强理解；2、 间断点及其分类
9、也是本章的重点，应增强练习正确判断间断点的类型；3、 连续函数的局部性质类似于函数极限的局部性质可让学生课后分组讨论，上课简要介绍，重点讲复合函数连续性的证明；4、 闭区间连续函数的性质重在应用，可讲清证明思路，也可适当调整注重定理的先后顺序，先讲有界性定理再讲最值定理，先讲根的存在定理再讲介值定理，补充例题增强应用；5、 一致连续的概念及应用是本章的重点难点也是数学分析的重点难点，应讲清连续与一致连续的区别，理解一致连续的本质，会用定义证明一致连续和非一致连续，P82页例10是第四版新增内容，可将其作为定理证明非一致连续；6、 初等函数的连续性可简要介绍，重点练习利用连续性计算极限。第五章
10、导数和微分重点： （1）函数在一点导数的定义，几何意义，函数的导函数的定义； （2）会利用导数定义求导函数；（3）求导法则；（4）参变量函数的导数，高阶导数；（5）微分的概念、几何意义、运算法则高阶微分及微分的近似计算；（6）可微与可导的关系。难点： （1）导数和微分的概念； （2）复合函数的导数计算。重点难点解析：1、 从瞬时速度和曲线的切线斜率引入导数的定义，通过例题加深导数定义的理解；2、 证明函数在一点可导与在该点连续的关系并举例说明；3、 会利用导数定义求函数的导函数；4、 强调函数在点可导的充要条件是曲线在点处存在不垂直于轴的切线；5、 重点讲P96页例8，引出费马定理；6、 求导
11、法则重点讲商的求导公式、反函数的导数、复合函数的导数及其证明；加强复合函数导数、对数求导法的练习；7、 会求参变量函数的导数；8、 高阶导数一般用数学归纳法求解，记住常见函数的高阶导数，重点讲莱布尼兹公式及其应用，分段函数的高阶导数及参变量函数的高阶导数的求解方法；9、 从实例引入微分的概念，证明可导与可微的关系；10、讲解微分的几何意义，明确微分的思想就是以直代曲，用切线代替曲线；11、 简单介绍微分的运算，高阶微分，重点介绍一阶微分不变性。第六章 微分中值定理及其应用重点： （1）罗尔中值定理和拉格朗日中值定理； （2）用洛必达法则不定式极限的求法； （3）带皮亚诺型或拉格朗日型余项的泰勒
12、公式和麦克劳林公式； （4）利用导数研究函数的性质；（5）函数极值和最值及其应用.难点： （1）中值定理的证明及辅助函数的作法；（2）泰勒公式； （3）函数的凸性及应用；（4）导数的综合应用.重点难点解析：1、 关于中值定理及其证明（1） 可借助于几何意义使学生初步理解，体会数形结合思想.之后还需通过证明，反例及利用中值定理证明题目加深对数学逻辑思维能力的训练.（2） 通过中值定理的学习使学生逐渐学会利用辅助函数处理问题的方法.一是借助几何意义作辅助函数；二是证明中值定理后再讲利用分析法作辅助函数.（3） 向学生分析利用中值定理讨论单调性、证明不等式一些技巧，并补充例题使学生进一步理解并掌握中
13、值定理.2、 关于洛必达法则及不定式的极限（1） 因为学生对拉格朗日定理尚不熟，故要讲解柯西中值定理中作辅助函数的方法.并可从几何意义说明之.同时应向学生说明罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理定理结论中 是与具体函数有关的，不同函数的一般不同.（2） 柯西中值定理相应的证明题亦是难点之一，尽量分析若题目中涉及两个函数之间的一些关系可考虑使用柯西中值定理.（3） 洛必达法则作为柯西中值定理的一个重要应用，可以作为典型案例说明柯西中值定理的应用.（4） 要强调洛必达法则的应用性.既要举例说明洛必达法则的应用，又要讲解其它不定式化为型或型不定式的方法，还要说明洛必达法则的局限性.3、 关于
14、泰勒公式（1） 泰勒公式是难点之一，重点使学生理解相关概念：泰勒多项式、泰勒公式、泰勒系数、余项、佩亚诺余项、拉格朗日余项、麦克劳林公式及相互关系.（2） 使学生理解泰勒公式的意义用多项式研究函数.（3） 泰勒公式特别是麦克劳林公式，可利用定义直接计算，但涉及高阶导数，计算较难.因此重点分析间接法求一般函数的麦克劳林公式和泰勒公式的方法.（4） 介绍泰勒公式在求极限、近似计算和理论分析中的应用.4、 关于函数的极值与最值（1） 复习函数极值和最值相关概念，包括极值、极值点、稳定点，不可导点、最值、最值点等.做到概念清楚并理解他们的相互区别和联系.（2） 极值充分条件的证明学生应不难理解，但要讲
15、清两个充分条件的差别，尤其是对不可导点是否为极值点的判别.（3） 分析最值点可能在的位置，端点、不可导点、稳定点，在求极值的基础上介绍求最值的方法.讲解闭区间连续函数的最值计算方法，并对非闭区间上的连续函数的最值举一例.可介绍最值的应用，强调求目标函数最值是一种优化建模.5、 关于函数的凸性（1） 分析函数单调性之间的差别，从中介绍数学发展的推动力，不断的寻求差别和共性，并以几何意义引入凸函数的定义，同时给出几种等价的不同表示形式及更一般的形式，并举例说明之，例如几个常见的基本初等函数，亦可用定义证明其中一个函数为凸函数.（2） 分析清楚凸函数、拐点等定义.（3） 凸函数的等价性条件不必全证，
16、举几例说明其应用即可.（4） 利用函数的凸性证明不等式为难点之一，关键在做辅助函数，可借助凸函数定义及所证不等式，用分析法作出辅助函数.6、 关于函数作图分析与函数性态相关的重要概念，单调性、周期性、有界性、凸性、拐点、渐近线等，讲清作图步骤，必要时还可补充一例.结合函数作图讲解利用导数研究函数的性质.第七章 实数的完备性重点： （1）实数集完备性定理； （2）区间套定理与柯西收敛准则、聚点定理与有限覆盖定理.难点： （1）实数完备性基本定理的应用；（2）实数集完备性的基本定理等价性.重点难点解析：1、 实数完备性是整个数学分析的基础，比较抽象且学生难以理解和接受.2、 复习确界原理、单调有界
17、定理、柯西收敛准则，指出它们与后面要学习的几个定理统称为实数完备性定理，使学生对实数完备性理论有一个大致的了解.3、 重点讲授几个概念，如聚点、闭区间套、有限覆盖等，并以例子说明之.4、 能应用实数的完备性定理证明一些简单的理论问题.第八章 不定积分重点： （1）原函数与不定积分的概念以及两者之间的区别；（2）不定积分的性质、运算法则、不定积分的基本公式；（3）不定积分的换元积分法和分部积分法.难点： （1）不定积分计算的技巧；（2）换元积分法与分部积分法； （3）有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、几种无理根式的积分.重点难点解析：1、 原函数与不定积分的概念，这是本章的基本概念，一定要
18、弄清二者之间的区别.2、 换元积分法和分部积分法是不定积分计算的最基本、最重要的方法.同时让学生掌握选取替换函数的原则，能恰当地选用替换函数，熟练地应用变量替换公式.3、 分部积分法的应用大致上可以归纳为“降幂”、“升幂”、“循环”、“递推”.对于分部积分公式，要了解分部积分公式使用的基本类型，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式.在本节中，学生必须独立完成大量的不定积分的练习题，从而能迅速，准确地求出不定积分.4、 有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数不定积分的基础.要求掌握代数学中关于化有理函数为部分分式的方法;会求四种有理最简真分式的不定积分.知道有理函数的
19、不定积分还是初等函数.学会求某些有理函数不定积分的技巧.在此基础上掌握求两类简单无理函数和三角函数不定积分的方法.第九章 定积分重点： （1）定积分的概念及性质，构造积分和与积分和极限的意义；（2）可积的条件，可积函数类；（3）变限积分与原函数的存在性、微积分学基本定理.（4）牛顿莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法.难点： （1）定积分的概念的理解；（2）换元积分法与分部积分法； （3）可积的充要条件及可积性的证明.重点难点解析：1、 定积分的概念是本章的重点与难点，从定积分的几何模型曲边梯形的面积和物理模型物体运动的路程或变力作功引入函数在区间上可积和定积分的定义.可适当介绍（或要求学
20、生自己阅读附录I）了解微积分的产生背景及数学史上微积分发明权之争，使学生了解定积分的客观背景以及解决这些实际问题的思想方法.2、 定积分的性质在积分论中占有重要地位，在定积分的计算问题和论证问题中经常应用它们，对这部分内容，要求记住定积分的性质，并掌握每个性质的证明方法.另外要适当补充一些例题，逐步学会应用定积分的性质证明定积分的有关问题.3、 在应用可积准则证明函数的可积性时，使学生掌握这样的方法：要证明，需从两个方面入手，一是，所有小区间上的振幅都可任意小，例如，连续函数的可积性的证明；二是所有小区间的长都一致地小于，如单调函数的可积性.一般情况，是将振幅和分在两部分，一部分是第一种情况，
21、另一部分是第二种情况，例如，只有有限个间断点的有界函数的可积性的证明.另外还要求学生掌握可积的必要条件，充要条件，可积函数类及相关结论.第十章 定积分的应用重点： （1）“微元法”的基本思想及应用“微元法”解决一些实际问题的处理方法；（2）定积分在几何上的应用；（3）定积分在物理上的应用；难点： （1）“微元法”的思想与方法.；（2）利用“微元法”解决实际问题.重点难点解析：1、 平面图形的面积.在这一节要求学生掌握在直角坐标系、参数方程，极坐标系中计算封闭曲线围成区域的面积公式.对直角坐标系下平面区域的面积计算，注意分清X-型区域和Y-型区域，为以后二重积分的计算打好基础. 2、 微元法是将
22、实际问题化为定积分的简单适用的方法，是本章使用的主要方法.3、 不用严格推导由截面面积函数求体积的公式，并由此得出旋转体的体积公式.4、 平面曲线的弧长. 在本节中首先建立曲线弧长的概念，继而介绍可求弧长的曲线满足的一个充分条件,再介绍三种形式下弧长微元及弧长计算公式, 并由此导出相应的旋转曲面面积公式. 曲率虽为选学内容，但与实际联系较为紧密，可作简要介绍.在本节中，可通过求椭圆的周长，简单介绍椭圆积分的来源.5、 定积分在物理中的应用.在本节中，介绍利用定积分计算液体静压力、引力、和功. 注意引导学生探求这些问题内在和相互之间的联系，进一步理解和掌握微元法的基本思想和处理方法. 7 / 77 / 7
