1、重点难点突破（导数的综合应用）重点难点突破（选修模块）专题一导数及其应用第2讲导数的综合应用(建议用时：70分钟)一、选择题1已知函数f(x)x32x23m，x0，)，若f(x)50恒成立，则实数m的取值范围是() A.B.C(，2D(，2)解析f(x)x24x，由f(x)0，得x4或x0，a1，f(1).答案D3函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为()A.B.C.D.解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因
2、为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案A4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0B函数yf(x)的图象是中心对称图形C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)上单调递减D若x0是f(x)的极值点，则f(x0)0解析若c0，则有f(0)0，所以A正确函数f(x)的解析式可以通过配方的方法化为形如(xm)3n(xm)h的形式，通过平移函数图象，函数的解析式可以化为yx3nx的形式，这是一个奇函数，其图象关于坐标原点对称，故函数f(x)的图象是中心对称图形，所以B正确；由三次函数的
3、图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(，x0 )单调递减是错误的，D正确选C.答案C5已知f(x)是定义在(0，) 上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的0ab，则必有()Aaf(b)bf(a)Bbf(a)af(b)Caf(a)f(b)Dbf(b)f(a)解析因为xf(x)f(x)，f(x)0，所以0，则函数在(0，)上单调递减由于0ab，则，即af(b)bf(a)答案A6(2013辽宁卷)设函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，则x0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既有极大值又有极小值D既无极大值
4、也无极小值解析由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令g(x)ex2x2f(x)，x0，则g(x)ex2x2f(x)4xf(x)ex2.令g(x)0，得x2.当x2时，g(x)0；0x2时，g(x)0，g(x)在x2时有最小值g(2)e28f(2)0，从而当x0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上是增函数，所以函数f(x)无极大值，也无极小值答案D7(2013湖北卷)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)Bf(x1)0，f(x2)0，f(x2)Df(x1)解析f(x)ln x2ax1，依题意知f(x)0有两个不等实根x1，x2.即函数g(x)
5、ln x1与函数h(x)2ax有两个不同交点x1，x2，如图由直线yx是曲线g(x)ln x1的切线，可知，02a1，且0x11x2.a.由0x11，得f(x1)x1(ln x1ax1)0，当x1x0，当xx2时，f(x)f(1)a，故选D.答案D8(2013安徽卷)若函数f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，则关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3B4C5D6解析因为函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1，x2，可知关于导函数的方程f(x)3x22axb有两个不等的实根x1，x2，则方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等的实根，
6、即f(x)x1或f(x)x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)x1和f(x)x2的不等实根的个数之和，若x1x2，如图2同理方程3(f(x)22af(x)b0有三个不同实根答案A二、填空题9(2014温州模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(
7、2)4a，所以解得4a0.答案(4,0)10若函数f(x)x24x3ln x在t，t1上不单调，则t的取值范围是_解析对f(x)求导，得f(x)x4.由f(x)0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t1)内，函数f(x)在区间t，t1上就不单调，所以t1t1或t3t1，解得0t1或2t0，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a能成立，令h(x)，则要使ah(x)在x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在x1,2上单调递减(可利用
8、导数判断)，所以h(x)minh(2)，故只需a.答案三、解答题12某种产品每件成本为6元，每件售价为x元(6x11)，年销售为u万件，若已知u与2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润解(1)设uk2，售价为10元时，年销量为28万件，28k2，解得k2.u222x221x18.y(2x221x18)(x6)2x333x2108x108(6x0；当x(9,11)时，y0.函数y2x333x2108x108在(6,9)上是单调递增，在(9,11)上是单调递减当x9时，y取最大值，且ymax135，
9、售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元13(2014全国大纲卷)函数f(x)ax33x23x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间(1,2)是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)3ax26x3，f(x)0的判别式36(1a)若a1，则f(x)0，且f(x)0，当且仅当a1，x1，故此时f(x)在R上是增函数由于a0，故当a1时，f(x)0有两个根x1，x2.若0a0，故f(x)分别在(，x2)，(x1，)是增函数；当x(x2，x1)时，f(x)0，故f(x)在(x2，x1)是减函数若a0，则当x(，x1)或(x2，)时，f(x)0，故f(x)在(x1，x2)是增
10、函数(2)当a0，x0时，f(x)3ax26x30，故当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当a0时，f(x)在区间(1,2)是增函数当且仅当f(1)0且f(2)0，解得a0.综上，a的取值范围是(0，)14(2014新课标全国卷)已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(
11、2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点15(2013新课标全国卷)已知函数f(x)exln(xm)(1)设x0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时，证明f(x)0.(1)解f(x)ex，由x0是f(x)的极值点，得f(0)0，所以m1，于是f(x)exln(x1)，定义域为x|x1，f(x)ex，函数f(x)ex在(1，)上单调递增，且f(0)0，因此当x(1,0)时，f(x)0.所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)证明当m2，x(m，)时，ln(xm)ln(x2)，故只需证明当m2时，f(x)0，当m2时，函数f(x)ex在(2，)上单调递增又f(1)0，故f(x)0在(2，)上有唯一实根x0，且x0(1,0)当x(2，x0)时，f(x)0，从而当xx0时，f(x)取得最小值由f(x0)0，得ex0，即ln(x02)x0，故f(x)f(x0)x00.综上，当m2时，f(x)0.9 / 99 / 9
