1、烧掉数学书BuMathassasWes美杰森.威尔克斯著唐潞译厂-厂里雕湖南科学技术出版社尸甲巨录GNI目言001致专业读者009窜-幂第1章从无到有.1.1忘掉数学. .1.1.1你好,世界!.。.L12“函数”是很可笑的名词.1.1.3我们很少听说的事青.1.1.4人类传统中让人难以忍受的育性11.5等号的不同面貌。.,.L2如何发明数学概念.L2,1发掘我们的思维:发明面积.1.2,2如何把所有的事青做错:愚蠢的12.2如何把所有的事胃做错:愚蠢的0030O300300501001201301501602O027O28O32034038039记Z说教1.2.3不学除法忘掉分数.1.2.4
2、任意和必然:发明斜率。.。.12.5不是你想的那种无政府主义。.12.6向前!只为央乐.1.2.7用言语总结发明的过程.1.2.8用缩写总结发明的过程。.。.00BurnMahClass烧掉数学书1.2.9用我们的发明作为跳板1.3整台.O40O42插曲1:变慢的时间你从未见过的事青捷径.不存在的绝对时间044O44O46048第2章无穷放大镜的无穷力三2,1化繁为简. . . . .。. . .2.1.1奥,我至了!.2.2发明微积分. .2。21问题:弯曲的东西让人困惑. .2。2.2槛勉的真相.。.2.2。3无穷放大镜。. .2.2.4我们的想法有用吗?用些简单例子验证下2.2.5发生了
3、什么?无穷小和极限. .2。2.6理清缩写. .2。3理解放大镜. .2.3.1再会自乘机器.。.2.3.2常规解读:机器的图形是弯曲的.2.3.3解读舞蹈:机器与弯曲无关.2.3.4我们已经做了哪些.23。5更疯狂的机器.2.3.6次性描述我们所有的机器:超级未知的缩写2.3.7将难题分解成简单的问题. . .。.2.38我们的世界中最后的问题.目前为止.2.4在黑暗中狞猎极值. .2。5关于严格性.、.058058058059O59060O60O62064067069069070071073074079082087O89O94002目录2.6整合O95插曲2:如何无中生有.无中生有终极版;
4、从缩写至思想?为什么零次幂必须等于1.,。.为什么负数幂必须倒立.为什么分数幂必须是维方体的边长097097O991001OO第3章仿佛来自虚空3.1谁人主宰?. . .3.L1从缩写到思想.出于偶然;.3.1.2描绘怪兽.。31.3与我们的偶然发现相处并被绝望地难住3。1。4瞎猜.。.3.2诱骗数学.3。3迷人的新角色登场.。. .3.4锤子模式锤子的模式.34。1我们在哪儿?.。.34.2我们在那儿. . . . ,.。. .3.4.3数学炼金术.34.4更有力的锤子.。.3.4,5拒绝乏昧. . . .346可能有用的疯狂想法. .3.4。7模式再次显现.3.5创造过程中的相变.,.3.
5、5。1让我们说下已经做了哪些.36锤子和链条.37整台.。.1031031031O51O8110114117119119120120125128129133133135135139003B1】rnMathCass烧掉数学书插曲3:回望未来结束.开始,.14014O143荤乒二幂第4章论圆和放弃.4。1概念离心机.4.L1有时候“解决”其实就是放弃4.2妄自菲薄.4.3我们不知道的东西是样的.4.4混合物分离。. .4。5什么是有意义. .4.5.1发明坐标就是为了无视坐标4.5.2坐标在数学中的意义.4.6方向难题., . . .4。6占1方向太多.4。62抽象形式的方向难题.4.7莫里哀已死
6、!莫里哀永生!.4.8多余的名字带来的烦人杂音.4.8.1换种方式描绘这切. . .4.9计算不可计算的东西.4.9。1埋葬正切.4.10整合. .14714714715015315615815815916016016216716817O171176177插曲4:怀日装置虚空中无处安放实体怀念加乘机器.179179182004目录第5章美与不动之物,.5.1进入虚空.。5.11无家可归的主题.5.L2从我们知道的事情开始.52四种机器.。.。.5.2.1AA型机器. .。.52.2AM型机器.。,.5.23MA型机器.,。.5.24MM型机器.待续.5.3形式与非形式.。. .。5.3.1拿出
7、怀日装置.5.3.2将乏昧的计算外包给朋友的朋友的朋友5.3.3感谢切.,.5.4MA型机器动物学.5.4。1另些他们从不告诉你的事盲.5.4。2重新缩写锤子救场. .54.3撒谎然后改正让我们止步从而前进.54.4怀日装置再次让生活简单。.,.5.5MM型机器.5.6整合.1921921921931041951972002032032032O9213215217221222223225228插曲5:两朵乌云再也没有疑问了?内曲;元和斯蒂夫子内曲:证明酒吧放大镜回归.、附加曲:存在性难题23O23O23523724O247005BumMathaSS烧掉数学书第三摹第6章台二为.6.1两者等同.
8、:. .6.1.1又个变成思想的缩写.6.1.2微积分基本锤子.62基本锤子的实际测试。.。.6.2.1对常数应用基本锤子.6.2.2对直线应用基本锤子.6.2.3点担心.6.2.4全速前进!应用基本锤子6.2.5不熟悉的青形.63打造反锤子. .6。3。1相加反锤子,.63.2相乘反锤子.6.3.3重新缩写反锤子.。. .。.6.3.4汇总反锤子.6.3.5另把基本锤子.,. .64第二朵乌云. . .6.5整合.251251251253254254255256257257258258261265270271274276插曲6:干掉复仇.攻击计划.大堆武器,.用重新缩写捶打抵抗.回到黑板,.
9、。挖出我们埋掉的东西278278279281283286288291006目录发动怀日装置.无穷次用反锤子打散投降.292296297第N章日识新交N。1-座桥梁. .N.1.1坦诚相待.,. .N.12什么是多变量?. . .N.1.3当我们不知道该怎么做的时候怎么办?N.L4等等.当真?.N.2多变量微积分的符号雷区.N.2。1简单的概括和难解的缩写.N2.2拒绝简单表示的简单思想.N.2.3坐标轴:（不能）（没有）（它们）.N.2。4用3还是不用0?缩写影响论证.N.3符号游戏够了!我们如何才能画出这个?.N3。1多维思维诀窍。. .N.3.2技巧实践.N.4就这些?.N4.1不.。.N
10、。5整合.。299299299301304310317317318319320322322323329329330插曲N:误解解读重解误解.重解.334334335第仕章无穷荒野的无穷魁力战。1虚空的惊人统诚1.1认真对待类比.34034O341刁BurnMthCl已S已烧掉数学书342342342343344347347狡。1.2幸运眷顾勇者!.议.2进入荒野.惯.引议2.1为类比建立词典.议.2.2数学中的同类相食.,.比2.3在无穷荒野中度量长度.议.3发明同类相食微积分.狄.3.1同以往样,循旧立新.拭.3.2无穷前数学第1部分:他们从未讨论过的种可能35035235335535535
11、9361361364366370371议.3.3无穷前数学第2部分:更性感的定义敝.3.4在d06的变化中再增加两个6.议.4无穷维微积分的教学缺陷.议4.1对积分泛函的难解偏好.。.比4.2古怪的语法习贯.社5无穷奖池:让我们的思想为我们服务.R5.1通过重新发明已知来检验我们的发明.腆.52数学强加的题外话,.试.5.3打破僵局.社.6整合.。. . . .比（u行胜于言.372372376378383章曲Q:无为有处有还无烧掉数学课堂.,元干扰.。.。.这本书.元评论.386386391术语.从我们的术语至标准术语从标准术语到我们的术语008-目0好、说的任务就是让不安的人得到安慰让安逸
12、的人感到不安戴维福斯特.华莱士与劳瑞麦卡弗里的谈话小说和写实难以区分扬马特尔标本师的魔幻剧本（Ber厂iCegi）烧掉数学书好吧,不要真把数学书或数学教室烧了也不要做其他过激的事情纵火是很严重的罪行。我,我不想这样开始我的书（作者思考了会。）好吧,我想明曰了对不起!（喂）我们应该感到生气些美好的事物被偷走了,而我们却从未感觉到失去过,因为早在我们出生之前就被偷走很久了假设由于某种历史的偶然,使得我们都认为音乐是沉闷而乏味的事情,那么不到迫不得已我们不会去碰假设我们从小就上音乐课音乐老师不断用可怕的表演折磨我们以至于我们都深信音乐只是在葬礼上有用,那么我们可能会认为每个人都应该了解点音乐,但只是
13、出于实用的目的:你需要音乐是因为在（极少的）些场合可能对你有用但大家对音乐的认识更像是某种工具而不是艺术00BumMathasS烧掉数学书当然,世界上仍然会有许多艺术家就像现在样。我说的艺术家不定是艺术院校的学生,或是职业艺术家,或是那些坐在马桶上创作作品然后放到博物馆去的人。我说的是创造新事物的人;坚持做自己的那些人;用自己的方式打破现实让你能用神经末梢真切感受到的人;同世界抗争以至于经常会天折的人我们会认为“音乐不适合他们音乐是为会计师那样的人准备的我们最好别碰。”这种情形看似荒诞数学却正是这样数学从我们身边被偷走了现在是时候将它找回来。在这本书中我将进行思维的纵火全世界的数学教育都退步到
14、了让人无法忍受的地步只能全部烧掉重来我们要做的就是这个事情。在这本书中数学不再是已经存在的只需要你去理解的科目在开始的时候数学并不存在我们从头开始自己发明扔掉历史的包袱不用那些堆砌在每本数学书中的晦涩的符号和故作神秘的术语我们并不排斥传统的术语但只是在需要的时候才会用到而我们所创建的数学世界完全是我们自己的传统术语只有经过邀请才能进来.在这个过程中无需记忆鼓励尝试不要求读者接受任何不是我们自己创造的东西不让名字的花哨掩盖思想的简单在这里了解数学就好像次冒险采取的是聊天的形式读起来就像读小说样轻松。我们旅行的目的是寻找快乐而不是为了实用但幸运的是两者并不矛盾你将会真正地学会这个科目并且学得又多又
15、好。在讲述数学的时候不要求听众接受已经确立的些事实这其实与现有的数学教育的个悲剧有关这个悲剧即使是正统教育最苛刻的批评者也从没有指出来过:我们在被教授这门科目时是反着来的我用自己的例子解释一下这句话的意思我的初等代数的成绩是C。我所学会的只有对“多项式”这个词的恨。我的三角函数的成绩也是C我所学会的只有对“正弦”“余弦”和“直角斜边”这些词的恨。数学对我来说只是记忆、无聊和专制的权威而这些都是我最讨厌的到高中快毕002前回业时我终于完成了所有那些不得不学的数学课我快乐的心情无法形容我宁死也不愿再踏足数学课堂步终于自由了。在高中的最后年有次我到书店闲逛我经常去逛书店我看到了本微积分的书我早就听说
16、微积分很难但我从没上过这门课以后也不用上了真轻松。心里没有压力有时候反而会让本书更有吸引力因此我把那本书拿到手里翻了下我预计自己会看到些唬人的符号心想“嗅看起来很难”然后把书放回去再也不去碰它。但是当我翻开它时,我发现里面并不是常见的那种垃圾。作者的语言诚恳而平实说的话类似这样:直的东西比弯曲的东西容易对付但如果你放得足够大弯曲的东西的每小部分看起来都基本是直的因此如果你有个弯曲的问题只需想象不断放大直到看上去像直的在比较容易的微观层面解决问题然后再缩小回去。你就把问题解决了。这个思想让任何人都能理解完全不用涉及数学。如果你遇到了难题可以将其分解成系列比较容易的问题解决后再组合到起这个思想让我
17、感觉到优雅而自然,我在数学课上从没有过这种感觉我继续翻阅这本书当我看到作者抱怨数学传统的授课方式时我知道这个家伙很对我胃口因此我把这本书买了回去没事的时候就拿出来读我喜欢这个作者的写作方式他驱除了我在学校时对数学的厌恶感让我意识到自己对这门课的认识是错误的。我没有打算学习微积分我也不记得高中学过的那些预备知识因此我连微观层面上的那些“简单问题”也解决不了但没关系我已经摆脱了正统教育的束缚做错了也不用担心受到惩罚。就这样我开始了学习微积分的奇怪历程,不懂代数、三角,也不知道“对数”是什么不知道任何他们说的你在学微积分前必须掌握的东西我买了个笔记本开始演算当我遇到不懂的东西时,我就画图尝试让自己确
18、信这是对的我其实经常并不能成功。奇怪地是,微积分的概念其实是这本书中最简单的部分难的反而是那些所谓的微积分的“预备知识”:代数、三角等高中课程中充斥的概念我能理解与缩放有关的东西:导数和积分不仅计算很简单,原理也003BumMathass烧掉数学书很容易理解从它们的动机到定义再到计算方法书中都讲述得条理清晰但偶尔作者也会用到更基础”的东西这些东西我完全无法理解虽然我大致记得在某个乏味的课堂上听老师讲过。我当时不知道那些被认为很简单的事物比如圆的面积或组未经解释的“漂亮等式”从何而来。幸运的是没有人逼我去记忆什么我就这样点点地学着微积分代数和三角则点也没学。我在书中学会了一些微积分的知识也能够理
19、解但很快就会迷失方向因为我不记得怎么做分数加法。有时候盯着那些让人迷惑的步骤看了会之后,我会恍然大悟“哦它们只是乘了两次1它们就好像是在撒谎好让问题变得更简单然后为了不得出错误的答案又圆回了这个谎。有意思”有时候则不那么容易看出来这类问题继续困扰我对数、正弦、余弦、二次式、完全平方,这些名词我都不懂对于它们我只有在学校里学这门课时残留下来的点负面印象。学了些微积分后我还是不懂那些“预备知识”但我开始注意到些有趣的东西。我注意到球的体积的导数就是它的表面积圆的面积的导数则是它的周长。我还是不懂面积和体积公式是怎么得出来的但这种奇怪的“放大”操作表明它们有某种关联。这是我第次意识到数学的个奇怪现象
20、:我们可能在面伍两个不同的问题时束手无策两者都无法单独推进然而却能知道它们有相同的答案虽然并不知道答案是什么这个现象初看上去有点像魔法其实是所有层面的抽象数学最重要的个特征这与我在学校里形成的对这个科目的刻板印象截然不同。在进人大学的时候我做了个惊人的决定:我决定选微积分课。作为个每个脑细胞都恨数学的人,由于书店里的这次偶遇我发现自已喜欢上了微积分I。然后又上了微积分。然后教我微积分的教授建议我大二的时候上门研究生水平的数学课。我提醒他自己什么也不懂他这样做是疯了不过我还是选了并且得了最高分进人高年级后系里给了我奖励大意是“祝贺成为数学专业最好的学生”之类的.我必须强调的是我完全没有数学天赋读
21、大学之前13年的数学教育经历004丛月】一回中我没有在这门课中发现任何乐趣。任何教育体系中如果发生了这样的事情就定存在可怕的错误最后数学系这个我在中学时最讨厌的地方成了让我感到最自在的地方o大学毕业后我去了阿尔伯塔大学攻读数学物理学博士学位。在年级暑假我贯不按常理出牌的行为模式再次发作我迷上了心理学和神经科学我申请了攻读这个方向的博士居然被接受了就这样我带着硕学位离开了数学物理专业现在我在加州圣塔芭芭拉用数学研究大脑和行为在进人心理和脑科学系的第年我遇到了不计其数的聪明学生他们和高中时的我样恐惧数学每当我看到在谈及高等数学时他们眼中流露出的怯意时我都想告诉他们他们对这个学科的感觉是错误的他们感
22、觉到的困难完全是教学方式导致的这样的方式我也不喜欢如果在这本书中有需要你去反复理解却又无法理解的地方这是我的错而不是你的。背后的思想极为简单全部都是如此.我向你保证在圣塔芭芭拉的第年我意识到,如果做科学研究的每个人都能多懂些数学各个领域都将得到有力地推动。我说的“多懂些数学”不是说“在头脑里记忆更多数学知识”而是说“更熟练地抽象推理”就数学“天赋”来说十个人中肯定有九个人都比我强（不管天赋指的是什么）我之所以比我的研究生同学懂得多点点纯粹是由于在书店中的那次偶遇让我爱上了这门学科我是为所有恨数学的人写这本书的。不仅仅是年轻人和已经放弃了的人也包括许多不喜欢数学只将其视为必备的职业技能的科学家以
23、及虽然在这方面很努力,但从未感觉到激情、狂热和发自内心的喜爱的人。这将是充满乐趣的旅程除非我失败了然而,我必须强调的o我在大学里幸运地遇到了很好的老师,我首先妥感谢的是里兑.科利马和维基.科利马夫妇、埃里兑马兰德牙口吉夫.希斯特我遇到过许多好老师,但这几位老师对我帮助尤其大,还经常把我叫到办公室问我一些与课程元关的古怪问题o（当然）上面这匀话是作者写的,一个不应受到信任的人的偏激想法不过基于同样的原则前面这句话也不应当信我们似乎陷入了僵局你爱怎么想就怎么想p巴层BumMahC1ass烧掉数学书是这并不是又次“让数学有趣”的尝试这类尝试往往是流于表面的新瓶装日酒虽然这些尝试相对于标准教科书有那么
24、丁点改善,这类书籍讲述数学的方式还是没有达到我的期望:明确指出所有任意给定的东西所有那些看起来天生就是那么回事的东西只是因为曾经有人（有意或无意地）想要是那么回事将历史的偶然与必然的推理过程分开承认大部分时间里大部分学生在大部分数学课上感受到的蔑视是因为传统的教学方法将乐趣弄丢了并且更重要的是:是反看来的。现代教育机构教授数学的方式在某种程度上并不适合具有创造性和独立思考能力的人那些想弥补这个缺陷用“有趣的函数和它们的奇妙图形”作为章节标题的书并不能减轻大部分学生对这门学科的陌生感而数学本身如果剥去不必要的浮夸的东西尽量展示出最真实的面将是人类所能发现的最美的事物。它本身就是种科学的艺术形式不
25、需要标榜自己“有用”虽然旦学会了它就是对你最有用的东西。在我们的旅程的每处我都会集中在我认为最重要的思想上无论它们典型的讲述方式是怎样的6虽然我们是从最基础的层面开始的但最终我们会学到数学专业在大学最后年才讲授的些东西我还从没有看见哪本书从加法和乘法开始一直讲到无穷维空间的微积分如果你能坚持读下去我希望你会发现这并不是天方夜谭在呈现这些思想之前我会尽量将概念分解开。很多课程的讲授方式都是将精髓与历史的偶然混在起即使对于注意力最集中的学生这种混杂也会掩盖背后的思想的简单性我直希望学术界在写书和讲课之前能多花些时间尝试厘清这种混杂在这本书中我做了这种尝试比如第4章“论圆和放弃”的前几页,就是这种例
26、子另外在我们发明微积分后很久圆才被弓人进来也应当如此如果在前面弓人会让人极为困惑。有个例子能说明我们的不同之处勾股定理”是我记得的在高中o客观地说,这其实是一本写得很好的书的章节标题马允瑞安希望我们哪天能见个面你是很棒的老师006前一曰数学中学过的少数事物之但我不知道它为什么是对的也不知道我们为什么要学我不喜欢这个奇怪的名词。我们将这样避开这些问题:我会用“捷径”这个词而不是“直角三角形斜边”我会用更容易理解的名词替代“勾股定理”我也会给出我所知的它为什么成立的最简单的解释（大概半分钟就能讲清楚）而一旦我们自己发明了它我们就能简单推演出当你移动的时候时间会变慢的事实。o这个事实来自爱因斯坦的狭
27、义相对论但对它的解释无需比“勾股定理”更复杂的数学思想因此到时候你可以彻底理解它。当然结论依然很惊人。对于任何具有正常思维的人来说都很惊人无论你知道它多久了!旦我们发明了关于捷径的公式（也就是所谓的勾股定理）其中的论证就很容易理解了让人遗憾的是这样简单的论证不是高中几何必须讲授的内容他们应当在讲完勾股定理后就马上开始摇铃挡和抛洒彩条然后向你解释这个现象。但是他们没有不过没关系我们来做o这本书打破了许多传统和规矩也许太多了没有哪种学习方式适合所有人这本书也不是数学教育的万能解药我也不能保证这本书适合所有人的学习风格。如果这本书不适合你,请停止阅读另找本。你的时间很宝贵不应当在本不对你胃口的书上浪
28、费时间我写这本书是因为热爱因为快乐而不是为了完成工作。你读这本书也应当是出于同样的理由无论这个实验是否会具有长久的价值教育都必须进行大刀阔斧的改革。就其目前的状态来说各层次的教育机构从小学到研究生到学术期刊的风格偏好的设计似乎都是为了弓发某种反向的斯德哥尔摩综合征,使得我们诅咒本应当热爱的学科.从这些机构毕业的学生对脑袋中填满的各种人类所发现的知识深感厌倦。如果他们感到数学、物理、进化生物学、分子生物学、神经科学、计算机科学、心理学、经济o更准确的说法走,当两个物体以不同的速度或朝不同方向运动时,它们的“时钟,运行的速度会变得不一样但这并不是时钟的特性这是时间本身的物理属性宇宙很疯狂更疯狂的还
29、在后面你得自己准备铃错和彩条.不是我不愿意给你提供只是怕到时候我不在场007BurnMathass烧掉数学书学等学科都很乏味无趣,这不是他们的错这是只擅长压抑创造性的教育体系的错;这个体系只会自欺欺人地教授学生背诵各种名词而不是教他们思考;在这个体系中对待自然规律的方式与对待句子末尾不能用介词之类的专断禁令的方式是样的就好像它们在描述自然现象时具有同样的效力;而我们年轻时的大部分时间都不得不待在这个体系中这本书是给所有曾经有类似经历的人的封致歉信.008致专业读者这一份前言是写给教授或者数学专家或者数学背景较强能够理解这一节的学生或者没有数学背景但有好奇心的学生或者中学老师或者喜欢偶尔思考数学
30、的人这不是你的数学课本中的那种“弓论”。与你见过的大多数书比起来这里更为浅显同时也更加深奥这是次新的试验什么样的试验?这本书很容易被人误认为是数学课本当然它与数学课本有很多共性也的确可以用来当作课本。为了解释这本书的目的和结构我必须创造个新名词:前数学（premathematics）我所说的前数学不是指代数或微积分的预备知识这类用来折磨天真学生的让人厌烦的玩意这个词指的是发明那些数学概念的人头脑里的整套想法、问题和动机,驱使他们定义和研究新的数学对象的东西例如导数的定义以及从中衍生出来的大量定理都是很重要的数学内容在每本微积分教材中都会讲到但是这个概念为什么要这样定义而不是采用其他各种可行的定
31、义方式,以及人们（在这些东西还没有写人数学课本之前）为何选择了这个标准定义而不是其他备选定义的这其中的过程并没有被给予足够的关注。而前数学词指的正是这些可能性和推理的过程.前数学不仅包括数学概念的其他可行定义（用这些定义能推导出本质上相同的定理）还包括在尝试发明标准的数学定义和定理的过程中各种可能的摸索路径这点可能更为重要。这是从无到有创造009BumMathClaSS烧掉数学书个数学概念必须经历的思维路径.如果数学是香肠,前数学就是香肠的制造过程这就是这本书的主题:讨论从模糊和定性到精确和定量的过程或者说,如何自己发明数学。我所说的“发明”不仅仅是创造新的数学概念还包括学习如何重新发明已经被
32、其他人发明了的数学知识从而获得对这些概念更深人的理解仅仅阅读标准教科书是无法做到这一点的。这个过程以前从没有被明确讲授然而它比任何数学课程都更为重要。无论是对于纯数学还是应用数学,学会自己（重新）发明数学都极为重要其中包括纯数学的问题例如“数学家是用什么方式定义曲率从而可以讨论无法描绘的17维空间?”也包括应用数学的问题例如“根据已知条件,应该怎样给研究的对象建立模型?”这些问题在教科书中也经常见到但往往是作为思考题篇幅不多地位也远不如定理和结论之类的事情重要在各个层次的数学课程中,从小学到博士后水平都缺失了重要的环,就是对模糊和混乱的创造过程的忠实描述而这个缺失是数学课让最积极的学生也感到厌
33、倦的主要原因之如果对数学概念创造过程中的思想之舞没有深刻认识就无法充分领悟数学的优雅和美丽。这个过程不像看上去那样难但是需要我们彻底改变讲授数学的方式。我们需要在教科书中至少纳人些错误的假设、推理和结论,让学习者在接触现代形式的定义之前体验到这些。我们需要像讲故事样写教科书让书中的角色经常被难住不知道下步该往哪里走。这本书就是我描绘前数学的些核心概念和分析策略的次不成熟的尝试:职业数学家每天都要用到这些策略但是在教科书中和课堂上很少拿出来讨论这凸显了个要点。强调前数学需要彻底改变数学的教学方式但是并不需要职业数学家改变他们思考数学的方式。前数学是他们的生活必需品这就是他们用于思考的语言他们正是
34、这样创造或者说发现了这门学科从这个角度来说这本书的内容并不新鲜。这本书只不过是将通常隐藏在（“不友善的”课本中的）形式化证明或（“友善的”课本中的）基本未加解释的事实陈述后面的内容呈现到聚光灯下之前无论致专业读者是友善的人门教材还是格罗膝迪克式的让人生畏的专著o都没有以便于教学的方式呈现过这个创造过程对于某个给定的概念,任何本书都不可能在讲述其中的数学之前穷尽其所有的前数学本书也不例外。我的做法是构造种前数学的叙事,从个概念弓出另个概念,从加和乘开始很快推进到单变量微积分然后又回到通常被认为是预备知识的（其实更高深的）主题最后进入有穷维和无穷维空间中的微积分在这个过程中会引人大量数学这也是为什
35、么这本书可以用作数学课本旦某个给定概念的前数学得到了充分阐释,数学本身就会变得顺理成章因此我们重点关注前者。这并不是说这本书会穷尽所讨论主题的方方面面远非如此!这里只是我个人认为缺失的东西包括信息、动机以及合理的教学方式这本书是对概念的鳖脚证明而不是打磨好的钻石。我希望它能弓发讨论而不是下最后的结论。另外必须明确我没有批评的东西。数学教学的基础不能等同于数学的逻辑基础虽然它们在大部分教科书中被混为谈我并不是在批评这个领域的逻辑基础所谓的逻辑基础指的是选择阶谓词演算作为逻辑推理规则选择ZFC、NBG或某个你喜欢的集合论公理系统作为推理的出发点。我批评的是用数学的逻辑基础作为数学教学的出发点,这是
36、我们绝大多数人要接触的东西为什么前数学被忽视?前数学推理在职业数学家的思维中普遍存在因此有必要问问为什么在课本和期刊论文中却很少出现。原因有很多但我认为罪魁祸首是专业性.虽然前数学对于理解这个领域很重要但在要求专业性的场合,包括（但不限于）学术期刊上的数学论文,却绝对禁止这样做为什O格罗膝迪克（AlexanderGrothendieck,9282014）,犹太裔数学家,代数几何学大师,他的著作被普遍认为艰深难懂。译者注哥德布拉特（RobertGoldblatt的传统主题;逻辑学的范畴分析（Tb户oi:7leCbmego厂m【A1Osf5oLog文）对用某合论作为数学的逻斡基础的标准做法进行了精
37、彩的评论0BurnMathClasS烧掉数学书么?因为真正的前数学不够正式推动严格的数学理论发展的是各种预感、猜测和直觉,而要忠实准确地解释这个不严格的思维过程,就只能用不严格的语言表述不严格的论证:这种语言会向读者准确呈现出我们不是100确信自己的直觉位于正确的轨道上而且我们（在某种程度上）总是在黑暗中摸索。这种不严格的语言并不仅仅是为了让傻瓜也能懂它能准确地描述创造新数学概念过程中的推理链条。如果对数学的创造过程没有深刻的理解对这个学科的理解就只能停留在如果不这样就会怎样的水平需要澄清的是这并不是批评数学的严格表述或严格证明。但严格的证明并不是下就蹦出来直接就成形了包括（更重要的）其中所依
38、赖的数学概念的严格定义也是如此对不严格的思考过程的过于严格的描述会给出不存在的原理的证据从而误导读者使得他们认为自己没有认识到如何从A推出B肯定是因为自己的知识有缺陷而事实上这通常是因为背后的前数学推理本身缺乏精确性。要完整地揭示这个过程我们就需要给出不严格的过程的不严格的描述。专业性有它本身的目的但它的主要作用是审查正确性因此在其中基本已经没有前数学的位置了。我希望这本书是怎样的初衷是什么这本书的目的是尽可能诚实可信地解释数学世界的部分确保每步的秘密都毫无保留在每步我都会尽量将必要的推演与历史偶然导致的传统区分开来;我要强调,“方程”和“公式”这些唬人的字眼只不过是“句子”的另套说辞;我会尽
39、量澄清所有的数学符号都只不过是我们可以用口语表述的事物的缩写;在这个过程中我会尽量请读者参与发明好的缩写;我会对其他课本中是如何做的与它们为何这样做加以明确的区分;我在呈现事情的渊源时不会用事后的标准形式这些标准形式都被梳理过体现不出之前的思维过程我至少会展现些死胡同我们大多数人在最终得出答案之前都会受诱惑遣巡其中;我会尽我所能地深人解释切同时保持叙述的连贯性;我发誓宁可把书烧掉,也绝且】致专业读者不说“请记住”之类的话我对这本书还有很多愿景但首先要做到上面这些我也会尝试解释这个领域在结构的必然和条件的随意之间的边界上的奇怪舞蹈这点我们实际上从未向学生解释过因此且有可能我就会加以强调。我的意思
40、是这样方面存在随意性。我们可以随意选择我们喜欢的公理甚至是不致的。定义并推演套不致的形式系统并不是不合法只是很无趣。例如“被零除”就并非不合法所有数学教授都知道这点我们完全可以定义个符号具有如下性质对于所有都有0许多数学分析的书正是这样做的这节通常被称为“扩展实数系”。o但如果你坚持要定义这个符号你得到的代数体系就不会是场如果你坚持说它是场呢?也行但那样你就只能谈论“个元素的场”如果你坚持认为还有其他元素或者根据你的定义这个场至少有两个元素呢?也可以但这样你得到的就是个不致的形式系统你就是想这样?也行但这会使得任何语句都是可证的因此没有什么意思要强调的是即便像这样踢到了石板我们也没做什么不台法
41、的事情我们只是使得讨论变得无趣所有数学家都明白这点至少在选择研究对象时在数学中是没有律法的。数学结构只有是不是优雅和有趣。是谁决定什么是优雅和有趣呢?我们。证毕。另方面数学中存在结构。旦结束了“什么都行”的阶段决定了所作的假设和探讨的对象接下来我们就会发现我们构想了个不由我们决定的真理世界我们对它可能知之甚少我们的任务是探索它。显然如果我们没有告诉学生这个关于随意和必然的基本事实,我们就是在误导他们对数学本质的认识不知为何,我们几乎没有告诉过他们这个随意的创造和必然的推演之间的奇怪关联我认为正是因为这点使得许多学生觉得数学是某种极权主义者的荒野充斥着未经界定o当然这些书中通常是写成而不是,我用
42、是为了提醒后面论证的问题与“元穷”无一旦我们假设加性单位元（0）具有导数这个无趣的问题就会败坏我们的数学世界03关BtmhMathClas5烧掉数学书的法律没有人向你解释,你总是担心会不小心犯错.这就是我在中学时的感觉我在前言中讲的那个故事之前发生的事青。这也是我在这本书中试图弥补的事情这本书决定它还想要这样虽然我想尽可能的多讲些数学整体上的格局但我还是需要花时间讲一下标准教科书中讲述的那些思想也许这样才能真正对学生有所帮助为达此目的我需要做点叙述让我们能够得到标准课本上的许多定义然后才能解释从中衍生的数学论证。不过,基于这本书的目的我保证不会以标准形式引出这些定义标准形式通常让人感觉很突顶多
43、稍加解释下这样做的动机可能是思想或历史方面的然后就猛地下跨越到数学定义本身。为了避免用这样的方式,我发现自己面临着诸多限制问题可以总结如下:假设你除了基本的力口和乘不具备其他任何数学知识不必知道具体的计算步骤但是你知道“两倍大”之类的说法是什么意思你也知道计算的妥点。你的世界里没有课本。你如何才能发现哪怕是最简单的那些数学呢?举个例子你女口何才能知道长方形的面积是“长乘以宽”?说面积在测度论中是怎么定义的或者说公理或欧几里得的第五公设或者说公式Am在非欧几何中不成立之类的都是扯淡这个问题关心的不是严格性,也不是历史,而是要创造某种东西。这个问题问的是如果没有人帮助你或替你做,如何从模糊的、定性
44、的、日常的思维过渡到精确的、定量的、数学的思维。最初是我最好的个朋友艾琳霍洛维茨（ErinHorwitz）问我这个问题在我刚开始写这本书的时候,我们偶尔会在起聊几个小时的数学.她不是学数学的但她很好奇总是想知道事情的缘由我们会谈论形式语言、泰勒级数、函数空间等等内容不拘随心所欲有04致专业读者天她问我上面这个问题关于数学思想是如何创造出来的。这个问题用这样的方式提出来用长方形的面积作为测试并不是很难回答我给出了我能想到的最简单的论证这就是你将在第1章“如何发明个数学概念”中看到的关于面积的论证。等我讲完她又问为什么在学校里从不这样教她完全理解了这个简短的论证任何人都能理解不可思议地是:这个论证
45、涉及解泛函方程数学系很少有课程专门讲泛函方程我不敢说是不是应该有更多,但这其实是件相当让人困惑的事情毕竟每个数学系的本科生肯定都会遇到大量微分方程他们必然也会遇到积分方程但研究和解决未知函数的般表达式的数学领域在很大程度上却被忽视了虽然这个领域实际上是数学最古老的部分我们却没有经常听到它阿克塞尔（J.Acz白l）在他的名著泛函及其应用讲义（LectsoF观涧crjo冗Eq凹rios冗Tlej厂A户户tcrjo冗5）中这样说道:“这个领域多年以来没有得到应有的重视虽然它历史悠久在应用中也很重要。”此后我吃惊地发现只要讲述的方式适当泛函对于解释即便是最简单的数学概念也很有帮助。o做法是这样。不用“
46、泛函方程”的说法如果有可能连“函数”的说法都不要用。大部分人在数学课上都有糟糕的体验,如果采用太多正统的数学术语很容易吓到他们从而封闭他们天生的创造性你可以这样说:我们有一个模糊的、日常的概念想妥把它变成精确的数学概念.没有哪种做法是错误的,因为是我们自己决定我们进行的这个转换有多成功。不过我们想尽可能多地将日常概念都转换成数学概念。我们从说一些关于日常概念的匀子升始然后我们得出这些句子的缩写然后我们从思维上易除那些不符合妥求的可能如果有需妥,我们可以反复厘清,将越来越多o不是用阿克塞尔的专著中那样抽象的泛函方程,而是以某种非正式的伪装,类似于在讲授分析之前讲授微积分的方式这时候他们其实是在写
47、泛函方程,只是自己没意识到尸B1mMathaSS烧掉数学书的模糊的日常信息转换成缩咯形式然后从思维上抛弃那些不合适的通过将例子写下来,我们偶尔会逐渐意识到,我们寻找的精确定义必须具有某种形式。最终我们可能会得到不止一种可能即便只有一种我们也不知道这是不是就是唯一的,但这不重要如果有多个候选定义符合我们的妥求,我们可以像数学家只做不说的那样,挑选一个我们认为最漂亮的。什么样的是“最漂亮的”?这取决于我们虽然看上去很疯狂我认为借助于泛函方程的非正式数学论证不仅提供了条更好的解释各层次数学中的定义的途径同时也提供了一条反权威的教学风格让读者能够以在传统课本中闻所未闻的方式参与创造数学概念的过程。常常
48、（虽然不总是）让人吃惊地是很少讨论的从模糊的定性概念转化到定量的数学概念的前数学实践居然涉及泛函方程在第1章我们用这个思想去发明”面积和斜率的概念得到标准的定义不是通过简单的假设,而是从日常的定性概念推演出来这个简单的例子展示了前数学教学法是怎么回事但肯定还有改进的空间。在后面我们还将继续用这种方式“发明”大量数学,有时候用到泛函方程有时候不用但都会明确我们想做什么以及如果不这样还能怎么做。这样有何作用强调前数学的教学方式与标准的方式不同我们可以通过个例子来看看目前的教学实践是如何让自己陷人困境的。我们来看看教师和课本在介绍斜率的概念时所面伍的问题。一方面你需要启发思想另一方面你需要最终得出传
49、统定义2yl或者像人门课本中说的那样,“2工1“平移的同时爬升。”所有微积分都依赖于这个公式和极限的思想因此它的重要性毋庸置疑教师和人门教材的作者面临这样的问题。他们也许能想出组假设条件使得“跑的过程中爬升”成为满足这组假设条件的唯定义但证明过程对于人门级的学生显然太过复杂而且可能会让人更加困惑因此他们只好简单给出“跑的过程中爬升”作为斜率的定义06致专业读者可能还会给出点动机考虑到实际情况,这样做似乎完全是合理的然而我认为这种做法实际上会让很多学生感到困惑并使得他们远离数学当我第次在高中学到斜率的定义时它唯的作用就是进步打击我的学习热情。用这样的方式介绍概念（1）会留下无穷的疑问（2）会让学
50、生感觉自己是不是遗漏了什么（3）暗示学生不能理解这个是他们自己的错学生的确遗漏了些东西但这不是他们的错;他们之所以遗漏是因为这些被刻意向他们隐瞒了并且这种隐瞒是出于他们老师的好心就我自己的经验来说我的感觉就像“我自己无法从源头发明这些定义肯定是有些东西超出了我的理解范围。”当然在当时我没有这样明确的想法。我的想法就是我不理解这玩意。多年后当我在给别人讲解数学时我总是强调我们可以将斜率定义为“爬升3倍于跑2或者“爬升是跑的5次幂”甚至爬升的同时平移”,并且我们可以接着用这些定义发展微积分我们的公式可能稍有不同（甚至可能差别很大取决于采用哪种定义）我们也可能用稍有不同甚至认不出来的形式陈述些熟悉的
